Historical Irish Corpus
1600 - 1926
Historical Dictionary of Irish
Search the corpus
Browse the Text Archive 1600-1926
Tús na Céimseatan - Leabhar a hAon
Title
Tús na Céimseatan - Leabhar a hAon
Author(s)
Browne, Joseph,
Translator
Ó Neachtain, Eoghan
Composition Date
1923
Publisher
Connradh na Gaedhilge
Téacs
Comhad TEI
Gnáth-Théacs
Comhad ePub
Search Texts
Enter word/phrase
Search Type
Headword
Standardised
Exact match
Phrase
Word Type
All
Adjective
Noun
Preposition
Pronoun
Verb
Verbal Noun
Poetry/Prose
Both
Prose
Poetry
Set Dates
1600
1926
<N A008> <L iii> <B 1923> <C Prós> <M 8> <T Tús na Céimseatan - Leabhar a hAon> <U Joseph Browne, aistrithe ag Eoghan Ó Neachtain> <F Connradh na Gaedhilge> TÚS NA CÉIMSEATAN BROLLACH. Is é Joseph Brown, M.A., T.C.D., a chuir i n-eagar an chéad leabhar seo den chéimseata as a ndearna mé an t-aistriú seo; agus is é Cormac Breathnach, Uach- tarán ar Chumann na Múinteoirí Náisiúnta, a mhol dom gan gach a raibh ag an mBrúnach a thabhairt liom san aistriú, go madh leor tuairim le leath a raibh de chleach- taí aige, agus tuille dá raibh aige nach raibh aon chall leis faoi láthair sa nGaedhilg. Tá sé 15 bhliana ó rinneas aistriú cheana ar an leabhar seo, sa mbliain 1908. Bu gnáthach an uair son eagar áirithe a bheith ar an ealadhain, ach do réir mar chuaidh lucht na healadhaine isteach insna ceisteanna dorcha docamhlacha a bhain léi, dhá mion-sgrúdú, fachtas dóibh nár mhiste eagar nua a chur ar an obair. Rinn- eadar sin, agus ní hé leagan amach Euclid a leanadar go hiomlán. Sin é an t-údarás a bhí ag an mBrúnach leis an gcaoi ar leag sé féin amach an leabhar seo. Mo chuid-se dhe, bhí mé sásta leis an aistriú a dhéanamh, agus rinneas é sin glan as a nua. D'fhága mé an t-eagar mar bhí sé ag an bhfear eile. Tá corr- fhocal nár chuireas síos den chor seo mar bhíodar shíos cheana agam, agus beagán beag focal atá litrighthe agam anois féin an dhá shlí. Na cleachtaí atá ag gabhail le gach tairisgint tá gaol gairid idir iad agus an tairisgint ónar fhásadar, agus má shaothruigheann an sgoláire na cleachtaí, agus a dtuisgint i gceart — agus níl ceachtar acu doiléir — ní dhéanfha sé aon dearmad feasta ar an méid sin den obair. Ach níor mhór dhó uirnis a bheith aige le n-a dtomhaisfeadh sé uille agus achar agus líne, 'sé sin compás agus rial agus neithe mar sin; má bhíonn an uirnis aige agus é fhéin ghá n-oibriú is cumasach an congnamh dhó é. E. Ó. N. Bleáclia, Abráin, 1923. <L iv> Má fiafruightheach ba fiosach, Glic an éigse fhor-cheasdach; Fuasglann ceisd ceisd eile, Dorus fiosa fiafruighthe. GODFRAIDH FIONN O DALAIGH. An fhoghluim do-gheibh duine i n-aois a leinbh leanbuidhe Ní bhaintear as ach tre dhóghruing, má olc maith an chéan-fhoghluim. SEAN-RANN. <L v> <L 1> TÚS NA CÉIMSEATAN INNSEO SÍOS. Sgrúduigh bloc dronuillinneach, nó bríce nó bloc cúbac. Síneann sé i dtrí threo, 'sé sin le rádh tá fad leithead agus tiughas ann. Tá sé pháirt ann, ar an taobh amuigh dhe. An falach iomlán atá mar thórainn leis, ar an taobh amuigh dhe sin é a dhromchla, agus na sé pháirt sin iad éadain an bhluic. Gach éadan díobh tá sé comhréidh agus tá fad agus leithead ann Níl aon tiughas san éadan, 'sé sin sa dromchla. Dromchla comhréidh sin dromchla cothrom, nó coth- román. Gach éadan den bhloc is línte atá mar thórainneacha leis. Cé mhéad líne le gach éadan? Isiad ciumhaiseanna an bhluic na línte sin. Cé mhéad ciumhais ann? Líne céimseatan níl ann ach fad, níl léithead ná tiughas ann. Ní féidir líne céimseatan a tharraint ar pháipéar. Tuige? An rud a tarraingítar ar pháipéar níl ann ach go spáineann sé céard é líne. Trí chiumhais bluic tagann siad un a chéile i bpoinnte. Dhá líne tórann atá leis an éadan tagann siad un a chéile i bpoinnte. Cé mhéad treo i bpoinnte? Ní féidir poinnte ceart a dhéanamh ar pháipéar le peannluaidhe; teasbáineann maircín beag áit an phoinnte, ach sin é a ndéanann sé. Do réir cinnlitreacha iseadh a hainmnightear poinntí, agus curtar an litir i ngar don phoinnte a bhfuil sí mar ainm air. AN CEARCALL. Tarraing dronlíne AB, bíodh 1.4 ór. ina fhad, agus fágh poinnte O mar atá i bhfig. 1. Cuir an bior gear den <L 2> chompás ar an bpoinnte A, agus osgail an compás go dtí go mbeidh an chos eile dhe ar an bpoinnte B. Fágann sin 1.4 ór. go díreach idir A agus B dhá phoinnte an chompáis. Coinnigh dhá chois an chompáis an fhad sin ó n-a chéile, cuir an poinnte géar dhe ar O agus cas an chos eile a bhfuil an peannluaidhe ann thart timcheall go ndéana sé líne ar an bpáipéar. An líne lúbtha a rinneadh leis an bpeannluaidhe isé tórainn an chearcaill é agus timcheallaí a tugtar air. Stuagh cearcaill a tugtar ar chuid ar bith den timcheallaí, ar EC cuir i gcás. Isé an poinnte O lár an chearcaill. Ga cearcaill a tugtar ar dhronlíne ar bith atá ag dul ón lár go dtí an timcheallaí. Isé an lárlíne an dronlíne atá ag dul ón timcheallaí thríd an lár agus go dtí an tim- cheallaí thall. Is gaethe iad OC, OD, OE agus is lárlíne é DE. Cuir an poinnte géar den chompás ar an bpoinnte O arís, agus féacha, agus tú a' tarraint an pheannluaidhe arís ar an timcheallaí, gur b'é an fhad céadna atá ins an nga i gcomhnuidhe atá idir dhá chois an chompáis agus dá bhrígh sin: Tá gaethe cearcaill comhada. Tomhais lárlíne cearcaill. An bhféadfá a fhagháil amach gan a thomhas cé an fad atá ann? Cé mhéad lárlíne is féidir a bheith i gcearcall? An bhfuil siad comhada? <L 3> CLEACHTA I. 1. Tarraing cearcall ar rúinne pháipéir agus tarraing lárlíne. Gearr amach an cearcall le siosúr agus fill é agus bíodh an fithín ar feadh an lárlíne, nó gearr ar feadh an lárlíne agus déan dhá leith chomhmhóra den chearcall. An dá leith a déantar den chearcall an dtuilleann siad go cruinn ar a chéile? Leith-chearcall a tugtar ar gach roinn díobh. 2. Tarraing cheithre chearcall agus bíodh an poinnte céadna mar lár ionnta. 1.3 órlaí fad an ghaethe insan gcearcall is mó, 1.1 órlaí fad an ghaethe ins an gcéad cheann eile, .9 órlaí sa gcéad cheann eile agus .7 órlaí fad an ghaethe sa gceann is lugha. Ní mór an peannluaidhe a ghéarú agus béal siséil a chur air, cuir sa gcompás é innsin sa gcaoi go mbeidh leithéad an bhéil ar aghaidh na coise eile. Is féidir líne an-tanaidhe a tharraint le peannluaidhe den tsórt sin líne nach mbeadh ann ach go bhfeicfí é agus isé sin an sórt líne bu chóir a bheith mar thimcheallaí le cearcall. 3. Tarraing dronlíne AB a bheas 2 órlach ar fad. Déan lár-phoinnte de A agus tarraing an cearcall a mbeidh an ga 1.2 órlaí ar fad ann. Agus déan lár de B agus tarraing cearcall eile a mbeidh an ga .8 órlaí ann. (Fágh amach i dtosach an poinnte C insan líne AB agus bíodh C 1.2 órlaí ó A). An gcasann na timcheallaíthe dá chéile? An ngearrann siad a chéile? 4. Tarraing an dronlíne AB agus bíodh 3 chéadaméadar ina fhad. Déan lár-phoinnte de A agus tarraing an cearcall agus bíodh 5cm. ar fad ina gha. Tarraing cearcall eile, bíodh B mar lár ann agus bíodh 2cm. ar fad ina gha. UILLINNEACHA. Dhá dhronlíne a tarraingítar ó phoinnte ar bith déanann siad uille le n-a chéile insan bpoinnte sin. San bhfig. 2 cuir i gcás, déanann an dá líne OA, OB uille le <L 4> chéile insan bpoinnte O; déanann an dá líne PC, PD uille eile le chéile san bpoinnte P; agus an dá líne RE, RF uille eile insan bpoinnte R. Rinn na huillinne tosaigh a tugtar ar O agus a géaga sin iad OA, OB. Ag ainmniú uillinne is iondamhuil go ndéantar úsáid de thrí litir, agus thiubhrfaidhe an uille BOA nó AOB ar an uillinn tosaigh sin thuas agus an uille CPD ar a dara huillinn. Ní mór an litir ag an rinn a bheith idir dhá litir eile agus iad-san a bheith ar dhá ghéag na huillinne. Mara bhfuil aon uille ag an bpoinnte O ach aon uille amháin ní haon dul amugha an uille O a thabhairt uirthi agus is minic a tugtar sin uirthi. Déantar úsáid freisin den chomhartha < ar uillinn nó den chomhartha agus sgríobhtar an uille thosaigh sin thuas i bhfig. 2 mar so < AOB nó AOB. CLEACHTA II. 1. Cuir leath-chois den chompás sa gcaoi go mbeidh an taobh istigh dhe ar feadh an líne OA, coinnigh an leath- chois sin mar sin agus cas an leath-chois eile thart ar an tuisle nó go mbeidh an taobh istigh dhe ar feadh an líne OB. Inn- sin deirtar an uille atá déanta ag an gcompás go bhfuil sí chomh mór leis an uillinn AOB. Agus nuair a fheileas uille go cruinn d'uillinn eile deirtar go bhfuil an dá uillinn comhmhór. 2. Féach an bhfuil an dá uillinn AOB, CPD i bhfig. 3 comhmhór agus gearr nó fill píosa de pháipéar a fheilfeas go <L 5> cruinn d'AOB (sin nó déan tarraictheoracht d'AOB) agus cuir leis an uillinn CPD í. Tabhair faoi deara nach gábh don dá ghéag OA, OB a bheith chomh fada leis an dá ghéag PC, PD. Ní bhaineann méid na huillinne le fad na ngéag agus is féidir fad ar bith a chur as na línte OA, OB tré A agus tré B gan aon athrú a chur ar an uillinn. 3. Tarraing an figiúir 2 nó gearr amach píosa pháipéir a fheilfeas go cruinn don uillinn CPD. Cuir poinnte an pháipéir atá gearrtha agad ar O agus a chorr ar OA; féach an luigheann an corr eile ar OB nó nach luigheann agus innis cé acu uille is mó. Cuir an páipéar innsin ar an uillinn ERF agus a fhagháil amach ort cé acu is mó; an uille CPD nó an uille ERF. Cé acu uille de na trí cinn is mó agus cé acu is lugha? 4. Tarraing an uille AOB ar pháipéar. Fág poinnte M ar OA agus poinnte eile ar OB. Cé mhéad caoi is féidir an uille O a ainmniú? Déantar uille má hosgluigheatar dronlíne ó dhron- líne eile ach ceann gach líne dhíobh a bheith ina chéile. Cuir i gcás go bhfuil an líne OA ar thuisle (Fig. 4) insan bpoinnte O agus go gcastar amach é ar an gcothrom <L 6> ón ionad OA go dtí ionad eile OB is amhlaidh deirtar go gcastar thríd an uillinn AOB é. Má castar go dtí OC é is í AOC an uille a gcastar thríthe é, agus má castar go dtí OD é isí AOD an uille a gcastar thríthe é. Cé'n uille a gcastar an líne thríthe má castar ó OB é go dtí OC? Agus má castar an líne ón áit OC go dtí an áit OD cén uille a gcastar an líne thríthe? CLEACHTA III. AN DRONUILLE. Fágh píosa páipéir agus bíodh corr dhe díreach, mar tá AC i bhFig. a 5 cuir i gcás. Fágh poinnte D ar an líne AC, gar do A, agus fill an páipéar ionnus go dtuitfe an poinnte C ar D, EC den chorr díreach a bheith na luighe ar feadh ED Fig. 6. Cuir fithín sa bpáipéar ar feadh EF agus osgail amach ar an gcothrom arís é. Bhfuil an uille AEF chomh mór leis an uillinn CEF? Tuige? Dronuille a tugtar ar an uillinn AEF agus dronuille ar an uillinn CEF. 2. Uille ar bith atá chomh mór leis an uillinn AEF is dronuille í. Féach, leis an bpíosa pháipéir atá fillte (nó le píosa de na píosaibh atá gearrtha ar feadh EF) féach an dronuille í an uille atá ag coirnéal an leath- anaigh seo. Féach le huillinneachaí eile é chomh maith; le na huill- inneachaí atá ag coirnéil cláirín do bhosga cailce, nó ag coirnéil an chláir duibh. <L 7> An dronlíne EF deirtear go bhfuil sé dronuillinneach nó ingearach le AC nó le EA nó le EC. Tá an comhartha seo i n-úsáid ar son an fhocail ingearach Géaruille, sin uille is lugha ná dronuille. Maoluille, sin uille is mó ná dronuille. 3. Fágh píosa pháipéir gan aon chorr dhe a bheith — díreach. Fill é, agus bíodh an fithín gar dá lár i n-áit eicínt. An dronlíne é an fithín seo? Fill arís é agus bíodh cuid den fhithín go cruinn ar feadh an fhithín eile. Osgail amach innsin an páipéar agus chífe tú dha fhithín treasna ar a chéile. Cé mhéad uillinn déanta ag an dá fhithín? An bhfuil siad comhmhór? Tuige? Céard a tugtar ar gach uillinn díobh? An uille atá déanta ag líne nuair a castar thart tim- cheall ar a cheann go hiomlán é cén chuid di sin an dronuille? 4. Gearr amach dronuille AEF as píosa pháipéir agus fill é ionnus go dtuitfe EF ar EA. An dteidheann an fithín thré E? Má's poinnte é H ar an bhfithín (Fig. 7) an bhfágann sin an uille AEH a bheith chomh mór leis an uillinn HEF. Tuige? Cé'n chuid de dhronuillinn an uille AEH? Is amhlaidh go ndéanann an dronlíne EH dhá leith den uillinn AEF agus dháleathóir na huillinne a tugtar ar an líne. 5. Má ghníonn an dá dhronlíne EM, EN dhá leith den dá uillinn AEH, HEF (Fig. 7) cé mhéad cuid comhmhór atá déanta den uillinn AEF? Cén chuid den dronuillinn <L 8> an uille AEM? Cén chuid de dhronuillinn an uille HEN? Cén chuid de dhronuillinn an uille MEN? Cén chuid de dhronuillinn an uille MEF? DE THOMHAS NA nUILLINNEACHA. Is amhlaidh tomhaistear an dronuille 90 (nochad) uille chomhmhóra a dhéanamh dhi, agus grádh a tugtar ar gach uillinn díobh: fágann sin 45 grádha i leath dronuillinne (45°, is mar sin a sgríobhtar é) agus 60 grádh (60°) i dhá-dtrian dronuillinne. CLEACHTA IV. Cé an chuid de dhronuillinn atá insa timcheall a dteidh- eann lámh mhór an chluig thríd i n-imtheacht (1) 15 noiméad, (2) 5 noiméad, (3) 20 noiméad, (4) 35 noiméad, (5) 7 noiméad? Cé mhéad grádh ins gach uillinn díobh? Cé'n chuid de dhronuillinn atá déanta ag láimh an chluig leis an láimh eile ag an (6) 3 a chlog? (7) 1 a chlog? (8) 9 a chlog? (9) 8 a chlog? (10) 2 a chlog? (11) leath uair thréis a 5? (12) leath uair thréis a 10? (13) ceathrú thréis a dó-dhéag? Teasbáin le tarraictheoireacht an chruth atá ar an uillinn gach am díobh agus innis an géar- uille, dronuille nó maoluille í. Cé mhéad grádh ins gach uillinn díobh? Rialghrádh a tugtar ar an uirnis a dtomhaistear uill- inneacha leis: tá dhá chineál díobh ann agus spáintear iad san dá fhigiúir 8 agus 9. An ceann a bhfuil an chruth leith-chearclach air an ceann is gnáthach a bheith i n-úsáid i sgoileannaibh agus miotal an mianach atá ann nó cellúloid. Tá anga i lár (O) an chiumhasa BA, agus is ar a bharr sin a tugtar bata an rial- ghrádha. Tá marcanna roinne ar an gcuimhais atá lúbtha, agus uimhreacha ortha ó 0 go dtí 180, a dtús ag A agus a ndeire ag B: tá sreath eile uimhreacha ar an gcuimhnais amuigh a dtús ag B agus a ndeire ag A. uimhrighthe ó 0 go dtí 180. <L 9> Cé mhéad grádh i ndá dhronuillinn? Cé mhéid roinn ó A go B insan gciumhais cearcalda? An bhfuil siad comhmhór? Céard a bhfreagruigheann gach roinn acu dhó? A' tomhas uillinne dhuit socruigh an rialghrádh sa gcaoi go mbeidh an bata (O) ag rinn na huillinne agus OA nó OB a bheith go cruinn ar feadh géag na huillinne; tabhair faoi deara innsin an roinn den rialghrádh a bhfuil an ghéag eile faoi. An uille SOL, cuir i gcás, i bhFig. 8 45° atá innti agus 137° insan uillinn SOM, má chomhaireann tú ón marc O ag A: 43°. Is féidir uille a thomhas go dtí an cúigmhadh cuid de ghrádh ach rialghrádh réasúnta mór a bheith agat, ceann a mbeidh 2 órlach ar fad ina gha, má bhíonn ceann níos lugha ná sin agad is féidir an uille a thomhas go dtí leath grádha. Ach is fearr don mhac léighinn gan bacadh le cuideanna na huillinne ar dtús ach a bheith sásta más féidir leis an uille a thomhas agus a innsint cé mhéad grádh innti. An sórt rialghrádh atá i bhFig. 9 tá a chiumhaiseanna maoluighthe agus is féidir rialóir a dhéanamh dhe; tá sé <L 10> iórlaí ina fhad agus is rialóir adhmuid é. Tá na huimhreacha air do réir an ghrádha agus is féidir leas a bhaint as mar bhainfí as an rialghrádh cearcalda. Na roinneanna atá ar an gciumhais níl siad comhmhór, ach beidh siad comhmhór má leigtar le na línte roinne siar go dtí O. CLEACHTA V. 1. Tarraing trí dronlínte OA, OB, OC ar pháipéar agus tagaidís ina chéile mar tá siad i bhFig. 10. Tomhais na huillinneacha AOB, BOC: uillinneacha comhgaracha a tugtar ortha; cuir a suim i gceann a chéile agus tomhais an uille AOC go bhfeice tú an bhfuil an toradh agad go cruinn. 2 Tarraing cheithre dronlínte OA, OB, OC, OD, agus tigidís ina chéile insan bpoinnte céadna O, Fig. 11. Tomhais na huillinneacha AOB, BOC, COD. Cuir suim na dhá uillinn AOB, BOC le chéile agus tomhais AOC go bhfeice tú an bhfuil an toradh ceart agad. Cuir suim na dhá uillinn BOC, COD le chéile agus tomhais DOB go bhfeice tú an bhfuil an ceart agad. Cuir suim na dtrí uillinn AOB, <L 11> BOC, COD le chéile agus tomhais an uille iomlán AOD, féachaint an bhfuil an toradh ceart agad. 3. Déan cóip de gach uillinn den fhíor-chearnóig, i ndiaidh a chéile, agus tomhais í. Coinnigh an fhíor-chearnóg ar an bpáipéar go láidir leis an gciotóig agus an coirnéal atá tú a tharraint bíodh sé dírighthe ar bharr an leathanaigh; tarraing línte leis an dá chiumhais ach ná tarraing go dtí an coirnéal iad. Leag uait an fhíor-chearnóg, fagh an rialóir, leig leis an dá líne nó go dtige siad ar a chéile. 4. Tarraing cearcall a mbeidh 2 órlach ina gha: ná déan aon athrú ar an gcompás agus fagh cheithre phoinnte A, B, C agus D, ar an timcheallaí, ionnus go mbeidh A 2 órlach ó B, B 2 órlach ó C, agus C 2 órlach ó D. Ceangail an lár O do gach poinnte de na poinntí agus tomhais na huill- inneacha AOB, BOC, COD. 5. Réitigh ceist a 4 má tá an ga 2½ órlach, agus gach aon dá phoinnte 2 órlach ó chéile. 6. Réitigh ceist a 4 má tá an ga 1.8 órlach agus gach aon dá phoinnte 1.8 órlach óna chéile. Ceangail A do B agus tomhais na huillinneacha OAB, OBA. Céard tá le rádh agad i dtaobh na n-uillinneacha AOB, OAB, OBA? 7. Uille a dhéanamh a mbeidh méid áirithe innte — 65° cuir i gcás. Cuir poinnte ar an bpáipéar agus tabhair O air; cuir bata an rialghradha ar an bpoinnte seo agus déan dhá mharc bheaga ar aghaidh marcanna roinne a 10° agus a 75° déan sin le bior do chompáis nó le peannluaidhe géar. Tabhair A agus B ortha. Ceangail an dá phoinnte sin do O agus sgríobh síos 65° insan uillinn AOB. Is féidir dhá roinn ar bith a thoghadh ar an rialghrádh ach 65° a beith eatortha. Má tá fhios agad leath-ghéag na huillinne (OA) agus an rinn (O) tógtar mar sin thuas é freisin. Má theas- tuigheann uait uille a dhéanamh a bheas 50° ag O agus gurb é OA an leath-ghéag. Cuir bata an rialghradha ag O agus a bhonn ar feadh OA; cuir an marc B ar an bpáipéar ar <L 12> aghaidh an mhairc 50°, ach go gcomhaire tú ón 0 (neimhní) atá ag A. Ceangail O do B agus sgríobh 50°, mar sin é méad na huillinne AOB. Nó mar so: fágh an rialghrádh dronuillinneach, cuir a bhata ag O agus cuir an marc roinne atá ag 50° ar an líne OA; tarraing líne ó O ar feadh bonn-líne an rial- ghrádha nó go mbeidh an uille atá uait déanta le OA agad. CLEACHTA VI. 1. Tóg uillinneacha leis an rialghrádh agus bídís 30°, 45°, 68°, 125°, 151°. Agus innis cé acu an mhaoluille agus cé acu an ghéaruille. 2. Bíodh an uille AOB 70°. Cuir uille le OA .i. AOC, agus bíodh sí 35° agus bíodh OC ar an taobh céadna de AO a bhfuil OB ann. Tomhais an uille COB. An bhfuil dhá leith déanta den uillinn AOB? 3. Déan cóip d' uillinn de na huillinneacha beaga ar d' fhíor-chearnóig. Tomhais í agus déan dhá leith dhi mar rinneadh i gceist a 2. 4. Déan uille a mbeidh 130° innti .i. AOB. Déan dhá leith dhi leis an rialghrádh. 5. Déan uille AOB agus bíodh sí 75°. Leig le AO thré O go dtí an poinnte C. Tomhais an uille COB. Cé mhéad é suim na dhá uillinn AOB, COB? 6. Má bhíonn an uille AOB 53° i gceist a 5 réitigh an cheist. 7. Má bhíonn an uille AOB 131° i gceist a 5 réitigh í. 8. Cuir na trí thoradh sin i gcomortas le n-a chéile. Is cuma cén mhéid atá san uillinn AOB cé'n rud atá fíor i gcomhnuidhe ina taobh? Cruthuigh sin de dhruim méid áithrid a cheapadh dhuit féin a bheith insan uillinn. <L 13> DE NA TRIANTÁIN innso síos. Figiúir comhréidh, sin aon chuid de chothromán a bhfuil líne nó tuille agus aon líne amháin mar thórainn leis. An figiúir comhréidh é cearcall? Cé an tórainn atá leis? Cé an t-ainm atá ar an tórainn? Teasbántar figiúir (Fig. 12) a bhfuil trí dronlínte mar thórainn leis. Trian- tán a tugtar air. Féach go bhfuil trí uillinn air (uime sin an t-ainm triantán), agus trí beara a dtugtar na lit- reacha A, B, C ortha. Sleasa an triantáin a tugtar ar na dronlínte AB, AC, BC. Bonn an triantáin a tugtar go gnáthach ar an slios AC; féachann an triantán a bheith na sheasamh air sin; bior an triantáin a tugtar ar B, an poinnte atá ar a aghaidh sin, agus an uille rinneach ar an uillinn ABC; uillinneacha an bhuinn a tugtar ar na huillinneacha eile. CLEACHTA VII. 1. Déan uille ACB a bheas 64°. Cuir marc ar an ngéig CA, 2.5 órlaí ó C agus marc eile ar an ngéig CB 3.1 orlaí ó C agus ceangail A do B. Tomhais an uille A, agus an uille B agus an slios AB. Tá ort suim méid na dtrí uilleann A, B, C a fhagháil amach. Nuair atá ort triantán a thógáil, nó figiúir ar bith eile, agus fad nó méid áirithe ar bith a bheith ionnta tarraing go réidh- chúiseach é i dtosach agus sgríobh síos air an fhad nó an mhéid eile atá <L 14> le cur ionnta. Nuair a tugtar órlaí bíodh órlaí insa bhfreagra agad, ach bíodh ceadaméadair agad má tugtar dhuit an tomhas sin. Tóg triantáin ABC a mbeidh an tomhas seo síos ionnta; agus tá ort na dúil eile atá ionnta a thomhais mar thomhais tú iad i gceist a 1. 2. An uille ACB a bheith 60°, CA a bheith 5.8cm., CB 5.8cm. 3. An uille ABC a bheith 75°, BA a bheith 4.9cm., BC 6.2cm. 4. An uille BAC a bheith 82°, AB a bheith 3.7 órlaí, AC 1.7 órlaí. 5. Cuir 3 hórlaí i bhfad an dronlíne AB. Cuir 50° san uillinn BAF agus cuir 60° i n-uillinn eile ABC ar an taobh céadna de AB. Tagann AF agus BC ar a chéile sa bpoinnte C. Tomhais na sleasa eile agus méid na huillinne eile sa triantán ABC. Tá ort a fhagháil amach cé mhéad é suim na n-uillinneacha. Tóg na triantáin ABC agus an tomhas seo síos ionnta: agus tomhais na huillinneacha eile agus na sleasa eile. 6. AB a bheith 5.5cm., an uille A 48°, an uille B 69°. 7. AC a bheith 2.1 órlach, an uille A 112°, an uille C34°. 8. BC a bheith 1.5 órlach, an uille B 65°, an uille C 95°. 9. Tá fáighte amach agad anois ce'n mhéid atá i suim na n-uillinneacha ins gach triantán de na hocht gcinn sin thuas. Sgríobh i gcolamhan iad agus sgríobh freisin an fhírinne, dar leat, atá ag baint le huillinneachaí triantáin ar bith. Tá an uille B 51° i dtriantán, an uille C 58°, cé'n mhéid atá san uillinn A? Tóg an triantán sin go bhfeice tú é bheith fíor. 10. Tóg triantán agus gearr amach é. Gearr dhe na coir- néil nó stróic dhe iad agus feil le chéile iad ionnus go mbeidh na rinneacha i n-aon phoinnte amháin; tá ort a fhagháil amach ar an gcuma sin cé'n mhéid atá insna trí huillinn- <L 15> eacha i dteannta a chéile. An gcruthuigheann sin gur fíor an rádh a sgríobh tú síos i gceist a 9? Tóg triantáin ABC a mbeidh an mhéid seo síos insna sleasaibh agus insna huillinneachaibh agus tá ort na sleasa eile a thomhas. 11. AB a bheith 4.3 órlaí, an uille A 39°, an uille C 80°. 12. BC a bheith 7.8cm., an uille A 67°, an uille C 46°. 13. AC a bheith 9.2cm., an uille A 50°, an uille B a bheith chomh mór leis an uillinn C. Tomhais na sleasa eile. 14. AB a bheith 3.5 órlaí, na trí uillinn A, B, C a bheith chomh mór le chéile. Tomhais na sleasa eile. CLEACHTA VIII. Ceathairshleasán sin figiúir a bhfuil cheithre dron- línte mar thórainn leis. Teasbántar ceathairshleasán ABCD sa bhFig. 13. Treasnáin an cheathairshleasáin a tugtar ar na dronlínte AC, BD a cheanglas na rinneacha atá ar aghaidh a chéile. Is iad na huillinneacha DAB, ABC, BCD, CDA uillinneacha an cheathairshleasáin agus is féidir na huillinneacha A, B, C, D a thabhairt ortha. Bíodh an dronlíne AB 3 hór. Bíodh an uille BAD 75° agus bíodh AD 1.9 ór. Bíodh an uille ABC 80° agus bíodh BC 2.5 ór. Ceangail C do D. Tomhais an dá uillinn C, D, agus fágh amach cé mhéad é suim na n-uillinneacha A, B, C, D. 2. Tóg an ceathairshleasán ABCD; bíodh AB 2.2 ór. BC 2 ór. an uille A 84°, an uille B 79°, an uille C 101°. <L 16> Tomhais CD agus an uille D. Cé mhéad é suim na n-uill- inneacha A, B C D? TRIANTÁIN. CLEACHTA IX. 1. Cé leis a bhfuil suim trí uillinn triantáin chomh mór? Má tá 71° san uillinn A, agus 53° san uillinn B, cé mhéad grádh san uillinn C? An géaruillinneacha, dron- uillinneacha nó maoluillinneacha iad sin? Triantán géaruillinneach, tá gach uille dhe géar. 2. Is dronuille í an uille A insan triantán ABC. Cé'n sórt uillinneacha iad B agus C? Tuige? Triantán dronuillinneach, tá uille dhe 'na dronuillinn 3. Tá an uille B 116° insan triantán ABC. An géar- uille nó maoluille í? Cén sórt uillinneacha iad A agus C? Tuige? Triantán maoluillinneach, tá uille dhe maol. 4. An bhféadfadh triantán comhshleasach a bheith dron- uillinneach? Tóg an triantán ABC agus an uille A dronuillinneach ann agus dhá shlios de comhada. Déan méid na n-uillinneacha eile a thomhas agus a áireamh. 5. Tóg an triantán ABC agus bíodh AB 8cm. ann., AC 7cm. Agus an uille A 120°. Tomhais BC. Cé'n sórt triantán é ABC? 6. An bhféadfadh triantán comhchosach a bheith dron- uillinneach? An bhféadfadh sé a bheith géaruillinneach? An bhféadfadh sé a bheith maoluillinneach? Feach le triantán a thógáil de gach sórt díobh — an trian- tán ABC — agus an uille A 40° ann. <L 17> ANT INGEAR. CLEACHTA X. 1. Tarraing ar do pháipéar an dronlíne AB, mar spáintear é sa bhfigiúir 14, agus cuir an fíor-chearn sa gcaoi go mbeidh an chiumhais ghearr dhe go cruinn ar feadh AB. Tarraing líne ar feadh na ciumaise PS go dtí S, beagnach; cuir uait an fíor-chearn agus leig leis an líne sin le cong- namh an rialóra go dtige sé ar AB insan bpoinnte N. Cuir an marc C ar an gceann eile den líne. Is dron- uille í an uille ANC. Tuige? Cuir uille an fhír-chearn .i. PSR anuas ar an uillinn BNC. An dronuille í seo? Ce'n bhaint atá ag CN le AB? Acht ní cóir an modh sin a leanacht ag cur ingear le líne AB má tá ort ant ingear a chur thré phoinnte áirithe, bíodh an poinnte sin ar AB nó ná bíodh. Seo é síos an modh ceart. 2. Tarraing an dronlíne AB agus cuir an marc C os a chionn. Cuir an fíor-chearn síos mar tá PSR sa gcaoi go mbeidh SR go cruinn ar feadh AB. Coinnigh greim maith ar an bhfír-chearn leis an láimh dheis, agus leis an láimh chlé cuir an rialóir TU le ciumhais PR. Coinnigh greim maith ar an rialóir ina áit ar an bpáipéar agus sgiorr an fíor- <L 18> chearn suas go dtí an áit p s r, ionnus go mbeidh C ar an gciumhais p s. Bu cheart an fíor-chearn a choinneál go dlúth san ionad sin leis an gciotóig agus an líne CN a tharr aint. Tá CN ingearach le AB. Ciumhais an rialóra a sgiorann an fíor-chearn air ní mór dhó a bheith tiugh, sin nó sgiorfaidh an fíor-chearn os a chionn. Fíor- chearn eile nó ciumhais díreach ar bith dhéanfadh sé cúis chomh maith leis an rialóir. 3. Tarraing an dronlíne AB agus bíodh sé 3 hór. Déan dhá leith dhe sa bpoinnte M, le congnamh an rialóra órlaigh. Tarraing ingear le AB tré M agus ar an modh atá luaidhte i gcleachta a 2 thuas. Bain an fhad 2 ór, den ingear MC. Ceangail AC de BC agus tomhais a bhfad. 4. Tarraing an triantán ABC, bíodh a bhonn AB 7cm., bíodh AC 8cm., agus bíodh BC 6cm. Tarraing ant ingear CN ó C go dtí AB. Tomhais AN. 5. Tarraing an triantán ABC, bíodh AB 4.8 hór., BC 2 ór., agus an uille B 90°. Déan dhá leith d'AB sa bpoinnte M. Tarraing MF ingearach le AB agus tagadh sé ar AC sa bpoinnte F. Tomhais AF, CF agus MF. <L 19> 6. Tarraing an triantán ABC, bíodh AB 7.5cm., AC 7cm., agus BC 6.5cm. Tarraing CN ingearach le AB. Tomhais AN, BN, CN. Isé fad poinnte ó líne fad an ingir atá ón bpoinnte go dtí an líne. Ionnus go bhfuighe tú amach gur 5.6 ór. atá an poinnte C ó AB i gcleachta a 6. 7. Tarraing BM ingearach le AC insan triantán céadna, agus tomhais AM, BM. Ceangail A do O, an poinnte ina ngearrann BM CM. An amhlaidh atá fad as AO dronuillinneach le BC? Cáide B ó AC? DEN CHOMHTHREOIR. CLEACHTA XI. 1. Fágh leathanach páipéir a mbeidh línte tarraingthe air; cuir an rialóir treasna air ar leathtaobh an leathanaigh agus bíodh marcanna na míleméadair ar an rialóir. Féach an bhfuighfeá dhá líne atá an oiread seo míleméadar go díreach ó na chéile; cuir marc ar na línte agus cuir síos cé'n fhad atá siad óna chéile. Tá ort a fhagháil amach cé'n fhad óna chéile an dá líne sin ar an leathtaobh eile den leathanach. Dá bhféadtaí fad a ndóthain a chur as an dá líne sin i n-aon treo, an gcasfaidís dá chéile, measann tú? Línte atá sínte insan gcothromán céadna agus nach gcasann dá chéile is cuma cé'n fhad a curtar asta i n-aon treo is amhlaidh atá siad sin comhthreormhar. Tá an comhartha seo i n-úsáid amanna i n-áit an fhocail comhthreormhar. 2. Leathanach a bhfuil línte air cuir marc le peann- luaidhe, agus le congnamh rialóra, ar dhá líne dhíobh a thiubhras dhá ghiota acu dhuit .i. AB, CD. Fágh poinnte H ar an líne AB, teaspáintar é sa bhFig. 16, agus tarraing an líne EF thríd go dtige sé ar CD sa bpoinnte G. <L 20> Tomhais an dá uillinn BHF, DGF. Uillinneacha comh- freagarthacha a tugtar ortha. An bhfuil siad chomh mór le chéile? Cuir ainm ar na cúplaí uillinneacha comh- freagarthacha eile atá sa bhfigiúir agus tomhais iad. 3. Tarraing dhá líne eile mar iad sin .i. AB, CD ach bídís níos fuide óna chéile ná an péire sin. Tarraing líne a ghearrfas iad ar a mhalthruid de shlighe thar mar ghearras EF iadsan thuas sa bhFig. 16. Cuir comharthaí ar na huillinneacha comhfhreagarthacha agus tomhais iad. An bhfuil siad chomh mór le chéile? 4. Déan cleachta a 2 arís ach an líne EF a chur treo nach raibh sé agad ann cheana. 5. Tarraing dronlíne AB agus fágh dhá phoinnte P, S air agus bídís órlach óna chéile, mar tá siad sa bhFig. 17. Tarr- aing PM agus bíodh an uille APM 60°. Tarraing SR agus bíodh an uille ASR 60°. Cuir fad as PM agus as SR ins an dá treo. Tomhais ina mhíleméadrachaibh cé'n fhad atá an dá líne seo óna chéile i bpoinntibh éagsamhla. An bhfuil na línte sin comhthreormhar? <L 21> 6. Déan cleachta a 5 arís ach an dá uillinn APM, ASR a bheith 100° an ceann. 7. Déan arís cleachta a 5 ach an dá uillinn APM, ASR a bheith 90c an ceann. Is féidir úsáid a bhaint as an bhfíor-chearn insan gcás seo i n-áit as an rialghrádh. An bhfuil sé iontuigthe agad ó na cleachtaí 2–6:— (1) Má ghearrann dronlíne dhá líne chomhthreormhara go bhfuil na huillinneacha comhfhreagarthacha comhmhór? (2) Má tá na huillinneacha comhfhreagarthacha comhmhór go bhfuil na dronlínte comhthreormhar. CLEACHTA XII. 1. Tá orm dronlíne a tharraint tré phoinnte áirthei agus é a bheith comhthreormhar leis an dronlíne áirthei AB. Tarraing an dronlíne AB agus cuir síos comhartha an phoinnte C tuairim le 2 órlach uaidh. Cuir an fíor-chearn ar an bhfigiúir san áit a bhfuil PSR, agus bíodh PR go cruinn ar feadh AB. Coinnigh an fíor-chearn san áit a bhfuil sé agus cuir rialóir TU isteach leis sa gcaoi go dteagmhóchaidh sé leis an gciumhais SR. Coinnigh an rialóir ina áit anois agus sleamnuigh an fíor-chearn suas go dtí go mbeidh sé san ionad s r p, agus go mbeidh a chiumhais r p ag dul go <L 22> díreach thríd an bpoinnte C. Tóg an chiotóg den rialóir agus cuir ar an bhfíor-chearn í i n-áit na láimhe deise. Tarr- aing an dronlíne thré C. An bhfuil an uille PRS chomh mór leis an uillinn prs? Tuige? An uillinneacha comhfhreagarthacha iad sin? 2. Tarraing dronlíne AB. Fagh poinnte ar bith ar an líne, H cuir i gcás. Tarraing thré H an líne HL ingearach le AB agus bíodh 1.4 ór. ina fhad. Tarraing an dronlíne CD tré L comhthreormhar le AB. Tomhais na huillinneacha atá déanta ag HL le CD. Tarraing dron- líne eile .i. EF ingearach le AB (E ar AB agus F ar CD). An bhfuil EF ingearach le CD? Tomhais EF. Tarraing an treas dronlíne ingearach le AB agus tomhais an méid de atá idir AB agus CD .i. MN. Cé'n fhad atá ó AB go dtí L? go dtí F? go dtí N? Is amhlaidh adeirtar go bhfuil CD comhthreormhar le AB agus go bhfuil sé 1.4 ór. uaidh. 3. Tarraing dhá líne chomhthreormhara agus dronlíne eile ghá ngearradh, ionnus go mbeidh 70° san uillinn atá ag f. Cuir a, b, c, agus rl. mar mharcanna ar na huillinneacha eile, mar tá siad sa bhFig. 19. Tomhais na hocht n-uillinn agus innis cé acu atá comhmhór. Uillinneacha umthanacha atá ar an dá cheann c, f. An bhfuil siad comhmhór? Cuir ainm ar dhá uillinn umthánacha eile agus innis an bhfuil siad comh- mhór. Uillinneacha seachtaracha a tugtar ar na huill- inneacha a, b, g, h; uillinneacha inmheadhonacha ar c, d, e, f. Uillinneacha inmheadhonacha ar an taobh céadna <L 23> den líne (a ghearras an dá líne eile) iad d. f. Cé mhéad é a suim 4. Tarraing dronlíne AB agus bíodh sé 2 ór. Bíodh 30° san uillinn BAC déan uille eile .i. ABD a mbeidh 30° innti ar an taobh all de AB ó C. Innis, le congnamh an rialóra agus an fhíor-chearn mar rinnis i gcleachta a 1 an bhfuil BD agus AC comhthreormhar. Bain 2.5 ór. d'AC agus 2.5 ór. de BD. Ceangail C do B agus A do D, agus tá ort a fhagháil amach an bhfuil na línte sin comhthreormhar. Cé'n fhad BD ó AC? 5. Tarraing triantán ABC agus bíodh na trí línte comhada .i. AB=AC=BO agus iad 7.5cm. an líne. Tá ort poinnte H a fhagháil agus é 2.5cm. ó AC agus ar an taobh céadna dhe a bhfuil B. Tarraing an líne PT thré H comhthreormhar le AC. Tá ort poinnte eile fhagháil .i. L 2 ór. ó AB agus ar an taobh céadna dhe a bhfuil C. Tarraing líne RS thré L comhthreormhar le AB. An poinnte O an áit a ngearrann an dá líne comh- threormhara PT, RS a chéile, cén fhad an poinnte sin ó AC? Cé an fhad é ó AB? Tomhais a fhad ó BC. 6. Tarraing triantán ABC, bíodh AB 8.5cm., bíodh AC 6.8cm., agus bíodh BC 5.1cm. Cá bhfuil an poinnte O istigh sa triantán atá 1.7cm. ó AC agus é 1.7cm. ó BC. Tomhais cé an fhad é ó AB. CLEACHTA XIII. TREOLÍNTEÁN, DRONUILLEOG, CAMCHEARN, CEARNÓG. 1. Bíodh an uille BAD 70°, bíodh AB 2.5 ór., bíodh AD 1.7 ór.: tarraing BC thré B agus bíodh sé comhthreormhar le AD, agus tarraing DC thré D agus bíodh sé comhthreormhar le AB. Tomhais BC, CD agus an uille C. Treolínteán a tugtar ar an bhfigiúir a bhfuil cheithre sleasa leis, agus gach aon dá shlios de atá ar aghaidh a chéile, iad comhthreormhar <L 24> 2. Tarraing treolínteán ABCD, bíodh an uille B 60° ann, bíodh 8cm. ar fhad sa líne AB, agus 5cm. ar fhad sa líne BC. Tomhais AD, CD agus na huillinneacha eile .i. A, D, C. Cé'n mhéid atá i n-iomlán na dhá uillinn B C? agus i n-iomlán na dhá uillinn A,D? 3. Tarraing dhá líne chomhthreormhara: tarraing dron- líne eile agus gearradh sé iad insna poinntí L, M, agus líne eile a bheas comhthreormhar leis sin agus gearradh sé iad insna poinntí R.N. Tomhais sleasa agus uillinneacha an treolínteáin LMNR, agus innis cé acu atá comhmhór. 4. Ar an tslighe chéadna tarraing treolínteán eile agus taréis na sleasa agus na huillinneacha a tomhas duit innis rud ar bith a fuairis amach i dtaobh (1) sleas agus (2) uill- inneacha na dtreolínteán. Tabhair faoi deara. — I gCúrsa na Céimseatan Indéanta níl sé ionráidhte gur cruthuigheadh na tortha a fríth. Níl ionnta ach gur tasbáineadh i gcásaibh sonn- radhacha a mbeith fíor, tré n-a dtomhas. Céimseata Teoiriceach atá innseo síos leagtar amach cruthuighthe generáilte dolúbtha i n-altaibh ar leith agus tugtar “Tairis- giona” ortha. CÉIMSEATA TEOIRICEACH. leabhar a 1. An oiread seo roinneanna ar leith a dtugtar Tair- isgiona ortha sin é an rud atá i gCéimseatain teoir- iceach. Teoragáin nó Ceisteanna iad sin. Teoragán, sin rádh ar fhírinne chéimseatan, agus tá leagtha amach ag duine é a chruthú. Ceist, sin rádh ar thógáil chéimseatan agus tá leagtha amach ag duine an tógáil a dhéanamh. Comhthoradh teoragáin, sin rádh agus is follusach ón teor- agán a cruthuigheadh gur fíor é. <L 25> Aithris Tairisgiona, sin innseacht generáilte ar nidh atá le cruthú nó le déanamh. Ins an teoragán tasbáineann an Cruthú an rádh a bheith fíor; agus tasbáineann sé insan gceist go ndearnadh an tógáil a bhí ceaptha a dhéanamh. Isé an Cuir-i-gcás an rud a cuireadh i gcás insan teoragán a bheith fíor; agus isé an Toradh an rud a cruth- uigheadh a bheith fíor. Cuir-i-gcás agus toradh teoragáin nuair atá siad mar thoradh agus mar chuir-i-gcás ag teoragán eile is amhlaidh deirtar le teoragán díobh é gurab é Aisiompodh an chinn eile é. Na leitreacha Q.E.D. atá le deire an teoragáin isiad leitreacha tosaigh na bhfocal Laidne Quod erat demon- strandum iad agus cialluigheann siad “a bhí le cruthú.” An té a rinne go dtí seo den obair seo atá eolus generáilte aige ar mhíniú na dtéarmaí céimseatan. Tá roinnt sonnruighthe (nó mínighthe) téarmaí innseo síos, agus gheobhfar tuille acu níos fuide amach nuair atá gabhadh leo: is leor a bhfoghluim do réir mar bheas siad ag teastáil. SONNRUIGHTHE. 1. Roinn áirithe achair a bhfuil fad, léithead agus tiughas ann tugtar comhdhlúth air. 2. Dromchla a tugtar ar an tórainn atá idir dhá achar: tá fad agus léithead ach gan aon tiughas ann. Tá dromchla nó tuille agus dromchla mar thórainn le comhdhlúth. 3. Líne, sin rud a bhfuil fad ann, ach níl léithead ná tiughas ann. An tórainn idir dhá roinn de dhromchla is líne é. 4. Poinnte, sin rud a bhfuil áitiú aige, ach níl fad, léithead ná tiughas ann. <L 26> Is poinntí atá mar dhá cheann nó mar dhá chríoch le líne; is i bpoinnte a thigeas dhá líne ar a chéile: is poinnte é an tórainn atá idir dhá chuid de líne. 5. Dhá chríoch de pháirt de líne, is cuma cionnus a luigheann sé, nuair a curtar anuas ar pháirt eile iad agus nach mbíonn aon achar idir na páirteanna tugtar líne díreach ar an líne sin. An sonnrú is foghainntighe dár tugadh ar líne dhíreach, nó ar dhronlíne is é seo é b'éidir: “ní féidir le dhá dhronlíne achar a dhúnadh isteach eatortha.” Sin é an gnáth-fhocal dá ndearna Euclid úsáid do-chum cáilidh- eacht na ndronlínte a chur i n-iúl agus caithfear a choinneál is cuma cé an sonnrú eile tugtar air. 6. Líne lúbtha, nó lúb a tugtar ar líne nach bhfuil ina líne dhíreach ná aon díreadas ann. 7. Cothromán, nó dromchla comhréidh a tugtar ar an dromchla a bhfuil an líne atá ag ceangal dhá phoinnte ar bith atá air, go bhfuil sin, ar a uachtar. 8. Uille (nó cúinne) an rud atá déanta ag líne le líne eile insan bpoinnte i gcasann siad ar a chéile. Géaga na huillinne atá ar an dá dhronlíne agus rinn (nó bior) na huillinne atá ar an bpoinnte ina dtigeann siad ar a chéile. 9. Uillinneacha atá insan gcotromán céadna agus ar dhá thaobh na géige céadna uillinneacha comhgaracha a tugtar ortha. 10. Dhá dhronuille a tugtar ar an dá uillinn chomh garacha atá déanta ag líne le líne eile a bhfuil sé ina sheasamh air, ach an dá uillinn a bheith comhmhór; agus is amhlaidh deartar é go bhfuil an da dhronlíne dronuill- inneach nó ingearach le n-a chéile. 11. Géaruille a tugtar ar uillinn is lugha ná dron- uille. Maoluille a tugtar ar uillinn is mó ná dronuille, ach is lugha ná dhá dhronuillinn. <L 27> Uille aithfhillte a tugtar ar uillinn is mó na dhá dronuillinn ach is lugha ná cheithre dronuillinn. 12. Figiúir comhréidh a tugtar ar pháirt ar bith de chothromán a bhfuil líne nó tuille agus líne mar thórainn leis. 13. Figiúir comhréidh é cearcall agus é gabhtha taobh istigh d'aon líne amháin a dtugtar an timcheallaí air, agus is amhlaidh atá sé: poinnte áirithe istigh ann agus má tarraing- ítar dronlínte uaidh go dtí an timcheallaí beidh siad sin go léir comhada. Lár an chearcaill a tugtar ar an bpoinnte sin. 14. Ga cearcaill atá ar an líne a tarraingítar ón lár go dtí an timcheallaí. Tá gaethe cearcaill go léir comhada. 15. Lárlíne cearcaill atá ar an dronlíne atá ag gabháil ón timcheallaí thríd an lár agus go dtí an timcheallaí thall arís. Tá a dá cheann insan timcheallaí agus é ag gabháil thríd an lár. 16. Stuagh cearcaill a tugtar ar roinn ar bith de thimcheallaí an chearcaill. 17. Leith-chearcall atá ar an bhfigiúir a bhfuil an stuagh agus an lárlíne mar thórainn leis. DEONUIGHTHE. Na deonuighthe seo síos ní mór corr díreach agus compás a bheith agad leo: déanfa compás freisin le achar a roinnt agus leis an achar roinnte sin a thabhairt ó áit go háit eile. Deonuightar:— 1. Gur féidir dronlíne a tharraint ó phoinnte ar bith go dtí poinnte ar bith eile. 2. Gur féidir fad ar bith, ach é bheith díreach, a chur as líne díreach críochnuighthe ar bith. 3. Gur féidir cearcall a tharraint a mbeidh poinnte ar bith mar lár ann agus ga ann a bheas chomh fada le líne díreach ar bith. <L 28> GNÁTH-FHOCAIL. Gnáth-Fhocail a tugtar ar ráidhte áirithe a bhfuil sé chomh follusach sin a mbeith fíor agus go nglactar leo gan a gcruthú. 1. Neithe atá chomh mór nó chomh fada le ní eile atá siad chomh mór nó chomh fada le n-a chéile. 2. Má curtar neithe atá comhmhór nó comhada dteannta neithe eile atá comhmhór nó comhada atá na hiomláin comhmhór nó comhada. 3. Má baintear neithe atá comhmhór nó comhada as neithibh eile atá comhmhór nó comhada beidh na hiarmhair comhmhór nó comhada. 4. Má curtar neithe atá comhmhór nó comhada i dteannta neithe eile nach bhfuil comhmhór nó comhada beidh na hiom- láin gan a bheith comhmhór nó comhada. 5. Má baintear neithe comhmhóra nó comhada as neithibh nach bhfuil comhmhór nó comhada beidh na hiarmhair gan a bheith comhmhór nó comhada. 6. Neithe a bhfuil dhá mhéid nó dhá fhad an ní céadna ionnta, nó dhá mhéid nó dhá fhad neithe comhionanna, atá siad comhmhór nó comhada. 7. Neithe atá leath chomh mór nó leath chomh fada le neith eile, nó le neithibh comhionanna, atá siad féin comhmhór nó comhada. 8. Méidthe gur féidir do cheann acu comhthuitim go beacht ar an gceann eile atá siad comhmhór. Ionnus go mb' éidir líne nó uille nó figiúir a chur i gcomórtas le líne nó le huillinn nó le figiúir eile, is féidir, cuir i gcás, an líne nó an uille nó an fhigiúir a thógáil ó na ionad (a iompodh más gadh é) agus gan athrú crotha ná méid a chur air é chur anuas ar líne nó ar uillinn nó ar fhigiúir eile. <L 29> Arsuidheamh a tugtar ar an gcúrsa sin agus is amhlaidh deirtar go gcurtar méid le méid eile. 9. Tá gach uile dhronuille chomh mór le gach uile dhron- uillinn eile. TAIRISGINT 1. — TEORAGÁN. An dá uillinn chomhgaracha a déantar má bhíonn dronlíne ina sheasamh ar dhronlíne eile, i dteannta a chéile atá siad chomh mór le dhá dhronuillinn. Tagann an dronlíne AE ar an dronlíne BC insa bpoinnte E. Ionnus go gcruthófaí an dá uillinn CEA, AEB i dteannta a chéile, a bheith chomh mór le dhá dhronuillinn. Cuir i gcás gur tarraingeadh DE dronuillinneach le BC. Cruthú. Tá an uille AEB chomh mór leis an dá uillinn AED, DEB i dteannta a chéile. Cuir an uille AEC i dteannta gach comhéid díobh. Dá bhrígh sin tá an dá uillinn CEA, AEB, i dteannta a chéile, chomh mór le na trí uillinn CEA, AED, DEB. Agus an uille CED tá sí chomh mór leis an dá uillinn CEA, AED i dteannta a chéile. Cuir an uille DEB i dteannta gach comhéid díobh. Dá bhrígh sin an dá uillinn CED, DEB i dteannta a chéile tá siad chomh mór leis na trí huillinneachaibh CEA, AED, DEB. <L 30> Dá bhrígh sin an dá uillinn CEA, AEB i dteannta a chéile, táid siad chomh mór leis an dá uillinn CED, DEB i dteannta a chéile. Ach is dhá dhronuillinn iad an dá uillinn CED, DEB. Uime sin an dá uillinn CEA, AEB i dteannta a chéile táid siad chomh mór le dhá dhronuillinn. Q.E.D. COMHTHORADH 1. — Má tarraingítar dhá dhronlíne nó tuille agus dhá dhronlíne ón bpoinnte céadna i ndron- line agus ar an taobh céadna den líne, iomlán na n-uill- inneacha leanamhnacha a déantar ar an gcuma sin atáid siad chomh mór le dhá dhronuillinn. COMHTHORADH 2. — Má tarraingítar dronlínte, uimhir ar bith dhíobh, ó phoinnte, iomlán na n-uillinneacha lean- amhnaca a déantar ar an gcuma sin atáid siad chomh mór le cheithre dhronuillinn. SONNRÚ. — Dhá uillinn i dteannta a chéile atá chomh mór le dhá dhronuillinn tugtar foirlíon an chinn eile ar uillinn díobh agus is amhlaidh deirtar go bhfuil an dá uillinn foirlíonta. Is foirlíonta atá an dá uillinn CEA, AEB i dTairis- gint a 1, insa bhfig. SONNRÚ. — Dhá uillinn i dteannta a chéile atá chomh mór le dronuillinn, allroinn na huillinne eile a tugtar ar uillinn díobh agus allronnach adeirtar atá na huill- inneacha sin. Is allronnach, cuir i gcás, atá an dá uillinn CEA, AED insa bhfig. i dTairisgint a 1. <L 31> TAIRISGINT 2. — TEORAGÁN. Má thagann dhá dhronlíne go dtí poinnte i ndronlíne eile, agus iad a theacht air ón dá thaobh den líne, agus go ndéanann siad an dá uillinn chomhgaracha, i dteannta a chéile, chomh mór le dhá dhronuillinn is i n-aon dronlíne amháin atá an dá dhronlíne sin. Déanadh an dá dhronlíne EB, EA, agus iad ag teacht ón dá thaobh ar an bpoinnte E, insan líne EC, déanaidís an dá uillinn chomhgaracha, i dteannta a chéile, chomh mór le dhá dhronuillinn Ionnus go gcruthófaí gur i n-aon dronlíne amháin atá EB, EA. Tógáil. — Cuir fad as AE, thré E, go dtí poinnte ar bith, cuir i gcás D. Cruthú. — Ó thárla go dtigeann EC ar an dronlíne AED, Tá an dá uillinn AEC, CED, i dteannta a chéile, chomh mór le dhá dhronuillinn. Tair 1. Ach is chomh mór le dhá dhronuillinn atá an dá uillinn AEC, CEB. Cás. Dá bhrígh sin, an dá uillinn AEC, CED, i dteannta a chéile, tá siad chomh mór leis an dá uillinn AEC, CEB, i dteannta a chéile. Bain an uille AEC as gach comhéid díobh, agus fágfaidh sin an uille CED chomh mór leis an uillinn CEB uime sin caithfidh EB comhthuitim ar ED. Ach tá ED agus EA i n-aon dronlíne amháin, do réir thógála; uime sin tá EB agus EA i n-aon dronlíne amháin. Q.E.D. <L 32> TAIRISGINT 3. — TEORAGÁN. Má ghearrann dhá dhronlíne a chéile beidh na huillinn- eacha rinneacha ar agaidh a chéile comhmhór. Gearradh an dá dhronlíne AB, CD a chéile sa bpoinnte F. Ionnus go gcruthófaí gur comhmhór atá an dá uillinn rinneacha atá ar aghaidh a chéile .i. AFD, BFC; agus freisin gur comhmhór atá an dá uillinn rinneacha eile atá ar aghaidh a chéile .i. AFC, BFD. Cruthú. Ó thárla go dtigeann an dronlíne CF ar an dronlíne AB, uime sin an dá uillinn AFC, BFC i dteannta a chéile, táid siad chomh mór le dhá dhronuillinn. Tair. 1. Ó thárla go dtigeann an dronlíne AF ar an dronlíne CD, uime sin an dá uillinn AFC, AFD, i dteannta a chéile, táid siad chomh mór le dhá dhronuillinn. Tair. 1. Dá bhrígh sin an dá uillinn AFC, BFC, i dteannta a chéile, táid siad chomh mór leis an dá uillinn AFC, AFD, i dteannta a chéile. Bain an uille AFC as gach comhéid díobh agus fágfaidh sin an uille BFC chomh mór leis an uillinn AFD. Is féidir a chruthú ar an modh céadna go bhfuil an uille AFC chomh mór leis an uillinn BFD. <L 33> CLEACHTA XIV. 1. Na huillinneacha ABC, ACB, ag bonn (BC), an triantáin ABC má tá siad comhmhór, cuir fad as an mbonn as a dhá cheann, agus innsin cruthuigh go bhfuil na huillinneacha seachtaracha a déantar ar an gcuma sin go bhfuil siad comhmhór. 2. Na huillinneacha ag bonn (BC) an triantáin ABC má tá siad comhmhór, cuir fad as an dá shlios tré B agus tré C agus innsin cruthuigh go bhfuil an dá uillinn sheachtaracha, a déantar ar an gcuma sin, go bhfuil sin comhmhór. 3. Má ghníonn an líne EF dhá leith den uillinn AEC (féach ar an bhfig.), agus má ghníonn an líne EG dhá leith den uillinn CEB, cruthuigh gurab í an uille FEG leath na huillinne AEB. Gearr amach é agus fill é ionnus go dtuitfe EA agus EB ar EC. 4. An dá uillinn a déantar nuair a thigeas EC ar an dronlíne AB (féach ar an bhfig.), .i. AEC, BEC má ghníonn an líne EF dhá leith de AEC agus an line EG dhá leith de BEC cruthuigh gur dronuille í an uille FEG. <L 34> SONNRUÍTHE. Triantán, sin figiúir comhréidh a bhfuil trí dron- línte mar thórainn leis. Ceathairshleasán, sin figiúir comhréidh a bhfuil cheithre dronlínte mar thórainn leis. Treasnán atá ar an líne atá ag ceangal dhá rinn atá ar aghaidh a chéile insa gceath- airshleasán. Iolgán, sin figiúir comhréidh a bhfuil tuille agus cheithre dhronlíne mar thórainn leis. Nuair nach mbíonn uille aithfhillte i n-iolgán is amhlaidh deirtar go mbíonn sé dronnach. Is amhlaidh bhíos triantán, bíonn sé:— Comhshleasach nuair a bhíos na trí sleasa comhada; agus Comhchosach nuair a bhíos dhá shlios de comhada; agus Corruillinneach nuair nach mbíonn aon dá shlios de comhada. Bíonn an triantán:— Dronuillinneach nuair atá aon dronuille amháin air. Maoluillinneach nuair a bhíos aon uille amháin maol air. Géaruillinneach nuair a bhíos chuid uillinneacha go léir géar. Taobhagán a tugtar ar an slios den triantán dron- uillinneach atá ar aghaidh na dronuillinne. Dhá-leathóir uillinne, sin é an líne díreach a ghníos dhá leith cothroma d'uillinn. An t-achar atá gabhtha istigh ag tórainneachaibh figiúire is air a tugtar achar figiúire. Figiúirí atá comhionann ar gach uile shlighe is amhlaidh deirtar leo go bhfuil siad comhfheileamhnach. Seo é an comhartha tá ar comhfheileamhnas =, agus isé Gauss a chuir i n-úsáid é i dtosach. <L 35> TAIRISGINT 4. — TEORAGÁN. Má bhíonn dhá shlios triantáin chomh fada le dhá shlios triantáin eile, .i. slios agus a chomhshlios chomh fada leis an slios eile agus a chomhshlios-san, agus an uille atá gabhtha ag an dá shlios tosaigh chomh mór leis an uillinn atá gabhtha ag an dá shlios eile, innsin beidh an dá thriantán chomh mór le chéile ar gach uile shlighe. Cuir i gcás gur dhá thriantán iad ABC, DEF, go bhfuil an slios AB chomh fada leis an slios DE, go bhfuil an slios AC chomh fada leis an slios DF, agus an uille ghabhtha BAC chomh mór leis an uillinn ghabhtha EDF. Ionnus go gcruthófaí an dá thriantán a bheith comhmhór ar gach uile bhealach. Cruthú. Cuir an triantán ABC (agus iompuigh druim ar ais é má tá gádh leis), leis an triantán DEF, agus tuiteadh an poinnte A ar an bpoinnte D, agus tuiteadh AB ar feadh DE. Innsin ó thárla AB agus DE comhada, dá bhrígh sin caithfidh an poinnte B tuitim ar an bpoinnte agus ó thárla an uille BAC chomh mór leis an uillinn EDF; dá bhrígh sin caithfidh AC tuitim ar feadh DF; agus ó thárla AC agus DF comhada, dá bhrígh sin caithfidh an poinnte C tuitim ar an bpoinnte F. Ó thárla go dtuiteann B ar E agus C ar F, uime sin caithfidh BC tuitim ar feadh EF. Sonn. <L 36> fágann sin an triantán ABC ag comhthuitim ar an triantán DEF, agus dá bhrígh sin tá an thriantán ABC chomh mór leis an triantán DEF ar gach uile bhealach; i gcruthamhnas go bhfuil an slios BC chomh fada leis an slios EF, an uille ABC chomh mór leis an uillinn DEF, an uille ACB chomh mór leis an uillinn DFE, agus an t-achar atá faoi thriantán díobh chomh mór leis an achar atá faoi 'n triantán eile. Q.E.D. Tá sé dhúil nó sé mhír ins gach triantán, mar atá trí sleasa agus trí huillinneacha. Tá achar freisin faoi thriantán. Ní mór a thabhairt go cruinn faoi deara gur tugadh trí dhúil, i dtriantán Tair. a 4, a bheith comhionann le trí dhúil comhfhreagarthacha sa triantán eile, agus na huill- inneacha a tugadh a bheith comhmhór ionnta caithfidh siad a bheith gabhtha ag na sleasaibh a tugadh a bheith comhada; gan sin ní féidir a dhéanamh amach go bhfuil na duilí iarmhair i dtriantán comhionann le na dúilibh comhfhreagarthacha sa triantán eile. Ionnus go gcuirfí an triantán seo sa bhfig. .i. ABC, leis an triantán DEF, ní mór an triantán tosaigh a fhilleadh ar an slios AB, sin nó ní thuitfe an triantán ABC ar an taobh céadna de DE a bhfuil DEF. <L 37> CLEACHTA XV. 1. Cuir fad as dhá shlios triantáin chomhchosaigh .i. as AB agus as AC, tré A, go dtí P agus R agus bíodh AP chomh fada le AR; cruthuigh uaidh sin go bhfuil BR chomh fada le CP. 2. Gearrann dhá líne dhíreacha a chéile .i. AB, CD déanann siad dhá leith dhá chéile sa bpoinnte E. Crutuigh go bhfuil an dá thriantán AEC, BED comhmhór ar gach uile bhealach. Innis cé na huillinneacha atá comhmhór insan dá thriantán. 3. Tá dhá shlios chomhgaracha le ceathairshleasán agus iad comhada. agus déanann an treasnán dhá leith den uillinn atá gabhtha aca. Cruthuigh go bhfuil na sleasa eile comhada. 4. Dhá shlios chomhada iad AB, AC i dtriantán chomh- chosach agus isé D lár AB agus E lár AC, cruthuigh go bhfuil an uille AEB chomh mór leis an uillinn ADC. 5. Dhá shlios chomhada iad DE, DF insa triantán comh- chosach DEF, agus déanann an líne díreach DL dhá leith den uillinn EDF agus tigeann sé ar an líne EF insa bpoinnte L. Cruthuigh go bhfuil EL chomh fada le LF agus gur dhá dhronuillinn atá ag L. 6. Triantán é ABC agus isé M lár an líne BC; tarraing AM ingearach le BC agus cruthuigh uaidh sin go bhfuil na sleasa AB, AC comhada. 7. Sleasa comhada le triantán comhchosach iad LM, LN; cuir fad as LM go dtí R agus as LN go dtí go mbeidh sé féin agus MR comhada ag S. Ceangail M do S agus N do R agus cruthuigh uaidh sin go bhfuil an dá uillinn R, S comhmhór agus an dá shlios MS, NR comhada. <L 38> TAIRISGINT 5. — TEORAGÁN. Má tá dhá shlios triantáin comhada beidh an dá uillinn atá ar aghaidh na sleas sin comhmhór. Is triantán é ABC agus an dá shlios AB, AC dhe comhada. Atá sé le cruthú go bhfuil an dá uillinn C, B comhmhór. Cuir i gcás go bhfuil dhá leith déanta den uillinn BAC ag an líne AF: tagadh AF ar BC san bpoinnte F. Cruthú. Insa dá thriantán BAF, CAF AB agus AC comhada, tá AF ag baint leo araon, an dá uillinn BAF, CAF comhmhór; dá bhrígh sin tá an dá thriantán comhmhór ar gach uile bhealach, dá bhrígh sin tá an uille B chomh mór leis an uillinn C. Q.E.D. COMHTHORADH 1. — Is ionann méid do thrí uillinn triantáin chomhshleasaigh. COMHTHORADH 2. — Tá dhá leith déanta de bhonn trian- táin chomhchosaigh ag dhá-leathóir na huillinne ingearaighe agus an dá-leathóir ingearach leis an mbonn. (ó thárla an dá thriantán BAF, CAF comhfheileamhnach, dá bhrígh sin tá BF, CF comhada, tá an uille BFA agus an uille CFA comhmhór, dá bhrigh sin tá AF ingearach le BC.) SONNRÚ. — Fearsad na comhfhreagarthachta a tugtar ar an líne i bhfigiúir a bhfilltear an dá leith den fhigiúir isteach ar a chéile ann, ionnus go gcomhthuiteann an dá chuid den fhigiúir ar a chéile: is amhlaidh deirtar go bhfuil an figiúir comhfhreagarthach thart ar an líne. <L 39> An bhfuil fearsad comhfhreagarthachta i dtriantán comh- chosach? Féach Tair. 5. Cé mhéad fearsad comhfhreagarthachta i dtriantán comhchosach? TAIRISGINT 6. — TEORAGÁN. Má tá dhá uillinn triantáin comhmhór, innsin beidh an dá shlios atá ar aghaidh na n-uillinneacha sin beidh siad comhada. Is triantán é ABC agus an uille ACB chomh mór leis an uillinn ABC ann. Tá sé le cruthú go bhfuil AB agus AC comhada. Má tá AB, AC gan a bheith comhada, cuir i gcás gurab é AB is fuide. Déan BD chomh fada le AC. Ceangail C do D. Cruthú. Insan dá thriantán DBC, ACB, DB agus AC comhada, tá BC ag baint leis an dá thriantán, an uille DBC agus an uille ACB comhmhór; Dá bhrígh sin tá an dá thriantán DBC, ACB comhfheileamhnach; .i. an t-iomlán agus cuid de comhmhór, rud nach féidir; dá bhrígh sin ní fhéadfadh AB agus AC gan a bheith comhada, tá AB chomh fada le AC. Q.E.D. <L 40> Cruthú timcheallach atá ar an modh cruthuíthe atá n-úsáid i dTair. 6. An bhféadfadh AB agus AC gan a bheith comhada? sin í an chéad cheist atá le meas; nuair a tugtar an freagra “ní fhéadfadh” tá fírinne an Taris- giona iontuigthe. Isé an modh timcheallach an modh is coitcheanta i n-úsáid ag cruthú tairisgiona atá ina n-aisiompodh ar theoragáin eile a cruthuigheadh cheana — Reductio ad absurdum a tugtar freisin air. Ba cheart an cuir-i-gcás agus an toradh ar Thair. a 5 agus ar Thair. a 6 a sgríobh síos agus a gcur i gcomórtas le n-a chéile; innsin b'éidir a thabhairt faoi deara gurab iad aisiompodh a chéile iad an dá Thairisgint sin. CLEACHTA XVI. 1. Cuir fad as sleasaibh comhada (AB, AC) an trian- táin comhchosaigh ABC tré B agus tré C, agus cruthuigh gur comh- mhór atá an dá uillinn sheachtaracha atá faoi an mbonn BC. Innis céard é aisiompodh an teoragáin seo agus cruthuigh é. 2. Triantán atá comhuillinneach cruthuigh go bhfuil sé comhshleasach freisin. 3. Sleasa triantáin comhchosaigh iad AB, AC agus poinnte é F ar an taobh thall de AB ó C; cruthuigh gur mó an uille FBC ná an uille FCB. 4. Fágh dhá phoinnte D, E i mbonn (BC) triantáin comh- chosaigh agus bíodh BD, EC comhada; cruthuigh go bhfuil an uille ADE chomh mór leis an uillinn AED. 5. Is iad P, R lár-phoinntí na gcomhshleas AB, AC insan triantán comhchosach; ceangail B do R agus C do P agus gearradh an dá líne sin a chéile insan bpoinnte O: cruthuigh go bhfuil BO agus CO comhada agus go bhfuil PO agus RO comhada. <L 41> TAIRISGINT 7. — TEORAGÁN. Má bhíonn trí sleasa triantáin chomh fada an ceann le trí sleasaibh triantáin eile, beidh an dá thriantán comhmhór ar gach uile shlighe. Is iad ABC, DEF an dá thriantán a bhfuil na línte seo síos comhada ionnta: BC agus EF comhada AB agus DE AC agus DF Ionnus go gcruthófaí go bhfuil na triantáin comhmhór ar gach uile bhealach. Cruthú. Cuir an triantán ABC leis an triantán DEF ionnus go dtuitfeadh B ar E agus BC ar feadh EF agus A a bheith ar an taobh thall de EF ó D: ó thárla BC agus EF comhada tuitfidh C ar F. Cuir i gcás gurb é G an poinnte a dtuiteann A air. Ceangail D do G. CÁS I. Nuair ghearras DG an líne EF. Tá ED agus EG comhada insan triantán EDG, (dá bhrí sin) tá an uille EGD chomh mór leis an uillinn EDG. Tair. 5. tá FD chomh fada le FG insan triantán FDG, (dá bhrí sin) tá an uille FGD chomh mór leis an uillinn FDG. (dá bhrí sin) tá an uille iomlán EGF chomh mór leis an uillinn iomlán EDF. Isé sin tá an uille BAC chomh mór leis an uillinn EDF. Innsin insan dá thriantán BAC, EDF, <L 42> AB agus DE comhada tá AC agus DF an uille BAC chomh mór leis an uillinn EDF (dá bhrí sin) tá na triantáin comhmhór ar gach uile chaoi. CÁS II. Nuair atá DG gan EF a ghearradh. Tá an uille EGD chomh mór leis an uillinn EDG, mar a bhí i gCás a I. agus an uille FGD chomh mór leis an uillinn FDG. (dá bhrí sin) tá an uille iarmhair EGF chomh mór leis an uillinn iarmhair eile EDF, (dá bhrí sin) tá an dá thriantán BAC, EDF comhmhór ar gach uile chaoi, mar atá i gCás a I. CÁS III. Nuair atá DG ag dul tré fhoircheann EF. <L 43> Tá ED chomh fada le EG insan triantán EDG, (dá bhrí sin) tá an uille EGD chomh mór leis an uillinn EDG, isé sin, tá an dá uillinn BAC, EDF comhmhór, (dá bhrí sin) tá an dá thriantán BAC, EDF comhmhór ar gach uile bhealach, mar a bhí i gCás a I. Q.E.D. CLEACHTA XVII. 1. An líne díreach atá ó rinn triantáin comhchosaigh go dtí lár an bhuinn tá sé ingearach leis an mbonn agus déanann dhá leith den uillinn rinneach. 2. Ceathairshleasán a bhfuil na sleasa atá ar aghaidh a chéile comhada ann tá na huillinneacha atá ar aghaidh a chéile ann comhmhór. 3. Dhá phoinnte iad A agus B ar ghéagaibh na huillinne AOB, agus OA agus OB comhada; poinnte eile é C atá comhada ó A agus ó B (.i. AC agus BC comhada): cruthuigh go bhfuil dhá leith déanta den uillinn AOB ag OC. 4. Ceathairshleasán comhshleasach é ABCD; cruthuigh go bhfuil dhá leith déanta de na huillinneachaibh agus dá chéile ag na treasnáin. 5. Dhá thriantán chomhchosacha atá ar an mbonn céadna agus ar an taobh céadna dhe; an líne díreach atá ag ceangal a dhá rinn dá chéile, nuair a leigtar leis go dtí an bonn cruthuigh go ndéanann sé dhá leith go dronuillinneach den bhonn. 6. Ceathairshleasán é ABCD agus an dá shlios AD, BC comhada ann, agus an dá threasnán AC, BD comhada; cruth- uigh go bhfuil an uille A chomh mór leis an uillinn B, agus an uille C chomh mór leis an uillinn D. <L 44> TAIRISGINT 8. — TEORAGÁN. Má leigtar le slios triantáin, an uille sheachtarach a déantar ar an gcuma sin is mó í ná ceachtar de na huillinneachaibh inmheadhonacha ar a haghaidh. Isé ABC an triantán agus isé BC an slios de a bhfuil fad as go dtí D. Ní mór a chruthú gur mó an uille sheachtarach ACD, ná ceachtar den dá uillinn inmheadhonacha ar a haghaidh .i. ABC, BAC. Isé E lár an líne AC. Ceangail B do E; agus leig le DE go dtí F agus déan EF chomh fada le BE. Ceangail C do F. Cruthú. Insan dá thriantán AEB, CEF, EA agus EC comhada tá BE agus EF an uille AEB agus an uille rinneach ar a haghaidh .i. CEF comhmhór. Tair. 3. (dá bhrígh sin) tá an dá thriantán comhmhór ar gach uile bhealach; Tair. 4. tá an uille BAE agus an uille ECF comhmhór. <L 45> Ach is mó an uille ACD ná an uille ECF; is mó an uille ACD ná an uille BAC. Agus má déantar dhá leith de BC agus leigean le AC go dtí G, tá sé ionchruthuighthe gur mó an uille BCG ná an uille ABC. Ach tá an uille BCG chomh mór leis an uillinn rinneach ar a haghaidh .i. le ACD; is mó an uille ACD ná an uille ABC. Uime sin is mó an uille sheachtarach ACD ná ceachtar de na huillinneacha BAC, ABC. Q.E.D. CLEACHTA XVIII. 1. Cruthuigh gur lugha ná dhá dhronuillinn dhá uillinn ar bith de thriantán agus iad a bheith i dteannta a chéile. i. Má leigtar le slios an triantáin tré rinn na huillinne; ii. Má ceangluigheatar poinnte ar bith ar an slios atá comhgarach don dá uillinn don rinn ar a aghaidh sin. 2. Caithfidh dhá ghéaruillinn ar a laghad a bheith ar gach uile thriantán. 3. Dhá uillinn triantáin atá gan a bheith comhmhór isí an uille is lugha an ghéaruille. 4. Ní féidir thar aon ingear amháin a tharraint go dtí líne díreach ó phoinnte atá amach uaidh. 5. Is lugha ná cheithre dhronuillinn trí uillinn ar bith atá ar cheathairshleasán agus a mbeith i dteannta a chéile. <L 46> TAIRISGINT 9. — TEORAGÁN. Más fuide slios de thriantán na slios eile dhe an uille atá ar aghaidh an tsleasa is fuide is mó í ná an uille atá ar aghaidh an tsleasa is giorra. Is fuide AB, sa triantán ABC, ná AC. Ní mór a chruthú gur mó an uille ACB ná an uille ABC. AB an slios is fuide, agus bain an píosa AD dhe a bheas chomh fada le AC. Ceangail C do D. Fágann sin na sleasa AD, AC comhada insa triantán ACD. tá an uille ACD chomh mór leis an uillinn ADC. Tair. 5. Triantán é BDC agus fad as slios de .i. as BD. is mó an uille sheachtarach ADC ná an uille inmheadhonach ar a haghaidh .i. ná DBC, agus is mó an uille ACD ná an uille DBC; agus is mó ná sin is mó an uille ACB ná an uille ABC. Q.E.D. CLEACHTA XIX. 1. Isí an uille is mó ar thriantán corruillinneach an uille atá ar aghaidh an tsleasa is fuide. 2. Ceathairshleasán a bhfuil an slios is fuide dhe ar aghaidh an tsleasa is giorra dhe cruthuigh gur mó an dá uillinn atá comhgarach don tslios is giorra ná an dá uillinn atá ar a n-aghaidh. <L 47> TAIRISGINT 10. — TEORAGÁN. Más mó uille atá ar thriantán ná uille eile atá air fágfaidh sin an slios atá ar aghaidh na huillinne is mó níos fuide ná an slios atá ar agaidh na huillinne is lugha. Is mó an uille ABC den triantán ABC ná an uille ACB de. Tá sé le cruthú gur fuide an slios AC ná an slios AB. Cruthú. Tá AC (1) chomh fada le AB, nó (2) níos giorra ná AB, nó (3) níos fuide ná AB. 1. An amhlaidh go bhfuil AC agus AB comhada? Ní hain- laidh: mar bheadh an uille B chomh mór leis an uillinn C innsin, caoi nach bhfuil sí, do réir mar cuireadh i gcás. 2. An amhlaidh gur giorra AC ná AB? Ní hamhlaidh: mar bheadh an uille B níos lugha ná an uille C innsin, caoi nach bhfuil sí, do réir mar cuireadh i gcás. Uime sin níl AC agus AB comhada ná níl AC níos giorra ná AB, tá AC níos fuide ná AB. Q.E.D. CLEACHTA XX. 1. Isé an taobhagán an slios is fuide de thriantán dronuillinneach. 2. An t-ingear an líne díreach is giorra is féidir a tharraint go dtí líne díreach áirithe ó phoinnte atá amach uaidh. 3. Is giorra an líne díreach atá ó rinn triantán comhchosaigh go dtí poinnte ar bith sa mbonn ná ceachtar den dá shlios chomhchosaigh. <L 48> 4. An líne díreach atá ó rinn triantáin comhchosaigh go dtí poinnte ar bith sa bhfad a curtar as an mbonn is fuide é ná ceachtar den dá chomhchois. 5. Más fuide an slios AC den triantán ABC ná an slios AB dhe, dá bhrígh sin is fuide an slios AC ná líne díreach ar bith eile is féidir a tharraint ó A go dtí poinnte ar bith ar BC. TAIRISGINT 11. — TEORAGÁN. Is fuide dhá shlios ar bith de thriantán as a chéile ná an tríomhadh slios. Triantán é ABC. Ní mór a chruthú gur fuide dhá shlios de, as a chéile, ná an tríomhadh slios. Leig le BA go dtí D nó go mbeidh AD chomh fada le AC. Ceangail D do C. Tá AD agus AC comhada sa triantán ACD, á an uille ACD chomh mór leis an uillinn ADC. Ach is mó an uille, BCD ná an uille ACD, is mó an uille BCD ná an uille ADC. Is mó an uille BCD den triantán BCD ná an uille BDC de, is fuide an slios BD ná an slios BC. Ach tá BD chomh fada le BA, AD as a chéile, nó chomh fada le BA, AC as a chéile; is fuide BA, AC as a chéile ná BC. Tá sé ionchruthuighthe ar an gcuma chéadna gur fuide AB, BC as a chéile ná AC, agus gur fuide BC. CA as a chéile ná AB. Q.E.D. <L 49> TAIRISGINT 12. — TEORAGÁN. Má tarraingightar dhá líne dhíreacha ó dhá cheann sleasa triantáin go dtí poinnte ar bith istigh sa triantán, an dá shlios sin as a chéile is giorra iad ná an dá shlios eile den triantán ac is mó an uille atá gabhtha acu ná an uille atá gabhtha ag an dá shlios eile. Is ó ABC an triantán agus BD, CD an dá líne dhíreacha atá tarraingthe go dtí an poinnte D istigh sa triantán. A chruthú anois (1) gur giorra BD, DC as a chéile ná BA, AC, (2) gur mó an uille BDC ná an uille BAC. Leig le BD go sroiche sé AC sa bpoinnte E. Cruthú (1) Is fuide BA, AE as a chéile ná BE, san triantán BAE: cuir EC as gach fad díobh; BA, AC as a chéile is fuide iad ná BE, EC as a chéile. Agus DE, EC as a chéile, insa triantán DEC, is fuide iad ná DC; cuir BD as gach fad díobh; BE, EC as a chéile is fuide iad ná BD, DC as a chéile. Ach BA, AC as a chéile cruthuigheadh go mb' fhuide iad ná BE, EC; is mó ná sin, mar sin, is fuide BA, AC as a chéile ná BD, DC. (2) An uille sheachtarach BDC den triantán DEC, is mó í ná an uille inmheadhonach ar a haghaidh .i. ná DEC; agus is mó an uille sheachtarach DEC den triantán ABE ná an uille inmheadhonach ar a haghaidh .i. ná BAC; is mó ná sin, mar sin, is mó an uille BDC ná an uille BAC. Q.E.D. <L 50> CLEACHTA XXI. 1. A bhfuil d'fhad ag slios triantáin ar shlios eile dhe is giorra ó ná an tríomhadh slios. 2. Cruthuigh gur fuide iad trí sleasa ceathairshleasáin as a chéile ná an ceathrú slios. 3. Na línte atá ó phoinnte ar bith istigh i gceathair shleasán go dtí na cheithre reanna cruthuigh gur fuide iad as a chéile, go gnáthach, ná fad na dtreasnán as a chéile. Innis cé'n uair nach fuide iad. 4. Na línte atá ó poinnte ar bith istigh i dtriantán go dtí na trí reanna is fuide iad agus iad as a chéile ná leath fad na sleas as a chéile. 5. Poinnte é E ar shlios BC an triantáin ABC, agus dhá leith déanta den uillinn BAC ag an líne atá ag tuitim ó A go dtí E; cruthuigh gur fuide AB ná BE, agus gur fuide AC ná CE. 6. Is fuide timcheall ceathairshleasáin ná a threasnáin as a chéile. 7. Tarraing línte ó phoinnte atá istigh i dtriantán comhshleasach go dtí na reanna agus cruthuigh gur giorra an fhad atá ag líne acu ar líne eile ná an tríomhadh líne (nó an rud céadna, cruthuigh gur fuide líne acu ná a bhfuil d'fhad ag ceann den phéire eile ar an gceann eile.) TAIRISGINT 13. — TEORAGÁN. Má tá dhá shlios triantáin chomh fada le n-a dhá gcomhshlios i dtriantán eile, ach an uille atá gabhtha ag an dá shlios tosaigh a bheith níos mó ná an uille atá gabhtha ag an dá shlios eile; innsin is fuide an bonn atá faoi an triantán a bhfuil an uille mhór air ná bonn an triantáin eile. <L 51> Tá AB chomh fada le DE agus AC chomh fada le DF insan dá thriantán ABC, DEF, ach is mó an uille BAC ná an uille EDF. Tá sé le cruthú gur fuide an bonn BC ná an bonn EF. Cruthú. Cuir an triantán ABC leis an triantán DEF, ionnus go dtuite an poinnte A ar an bpoinnte D agus an líne díreach AB ar feadh DE; comhthuitfidh B innsin ar E, mar tá AB agus DE comhada. Ó thárla an uille BAC níos mó ná an uille EDF, tuiteann AC taobh amuigh den uillinn EDF. Cuir i gcás go dtuiteann AC, BC ar na hionada DG, EG. Má théidheann EG thré F innsin is fuide EG ná EF; 'sé sin is fuide BC ná EF. Ach mara dtéidheann EG thré F, tigeadh dhá-leathóir na huillinne FDG ar EG sa bpoinnte H. Ceangail F do H. Insan dá thriantán FDH, GDH DF agus DG comhada, ó is suidheamh eile ar AC é DG tá DH ag baint leo araon an uille FDH chomh mór leis an uillinn GDH tá FH agus GH comhada. Tair. 4. Is fuide na sleasa EH, HF, insan triantán EHF, as a chéile, ná EF; EH, HG as a chéile is fuide iad ná EF; isé sin is fuide EG ná EF; ach is suidheamh eile ar BC é EG, is fuide BC ná EF. Q.E.D. <L 52> TAIRISGINT 14. — TEORAGÁN. Má tá dhá shlios triantáin chomh fada le n-a dhá gcomhshlios i dtriantán eile, ach bonn an triantáin tosaigh a bheith níos fuide ná bonn an chinn eile; innsin is mó an uille atá gabhtha ag an dá shlios a bhfuil an bonn is fuide fútha ná an uille atá gabhtha ag an dá shlios eile. Tá AB agus DE comhada, agus AC agus DF comhada insan dá thriantán ABC, DEF, ach is fuide an bonn BC ná an bonn EF. Tá sé le cruthú gur mó an uille BAC ná an uille EDF. Cruthú. Tá an uille BAC (1) chomh mór leis an uillinn EDF, nó (2) níos lugha ná an uille EDF, nó (3) níos mó ná an uille EDF. (1) An bhfuil an uille, BAC agus an uille EDF comhmhór? Níl: mar dá mbeadh bheadh BC agus EF comhada, Tair. 4. caoi nach bhfuil siad, do téir mar cuireadh i gcás. (2) An lugha an uille BAC ná an uille EDF? Ní lugha: mar dá mbu lugha ba giorra BC ná EF, Tair. 13. ach ní giorra, do réir mar cuireadh i gcás. Uime sin níl an uille BAC agus an uille EDF comhmhór ná níl an uille BAC níos lugha ná an uille EDF; is mó an uille BAC ná an uille EDF. Q.E.D. <L 53> TAIRISGINT 15. — TEORAGÁN. Má tá dhá uillinn atá an thriantán agus a dhá gcomh- uillinn ar thriantán eile comhmhór, agus slios triantáin díobh agus a chomhshlios sa triantán eile comhada, más comhgarach do na huillinneacha comhmhóra, nó ar a n-aghaidh, atá na sleasa insan dá thriantán, beidh na triantáin comhmhór innsin ar gach uile bhealach. CÁS. I. Isiad ABC agus DEF an dá thriantán agus an uille B chomh mór leis an uillinn E agus an uille C chomh mór leis an uillinn F agus na sleasa BC, EF comhada, agus sin iad na sleasa atá comhgarach do na huillinneachaibh comhmhóra. Tá sé le cruthú go bhfuil na triantáin comhmhór ar gach uile bhealach. Cruthú. Cuir an triantán ABC leis an triantán DEF, ionnus go dtuitfe B ar E agus BC ar feadh EF; comhthuitfidh C innsin ar F ó thárla BC agus EF comhada. Ó thárla an uille B agus an uille E comhmhór, tuiteann BA ar feadh ED; agus ó thárla an uille C agus an uille F comhmhór, tuiteann CA ar feadh FD. Uime sin tuiteann an poinnte A ar D; comhthuiteann triantán ar an triantán eile agus tá siad araon comhmhór ar gach uile bhealach. <L 54> CÁS II. Is iad ABC, DEF an dá thriantán agus an dá uillinn B, E comhmhór ortha, agus freisin an dá uillinn C, F comhmhór, agus na sleasa AB, DE, atá ar aghaidh na dhá uillinn chomhmhóra C, F, iad comhada. Tá sé le cruthú go bhfuil na triantáin comhmhór ar gach uile shlighe. Cruthú. Cuir an triantán ABC leis an triantán DEF, ionnus go dtuitfe A ar D agus AB ar feadh DE; tuiteann B innsin ar E, ó thárla AB agus DE comhada. Ó thárla an uille B chomh mór leis an uillinn E, tuiteann BC ar feadh EF. Agus mara dtuite C ar F, tuiteadh sé san áit a bhfuil G; fágann sin AC ag tuitim san áit i bhfuil DG, agus fágann sé gurab ionann EGD agus an uille C. Ach cuireadh i gcás go raibh an dá uillinn C, F comhmhór, tá an uille EGD agus an uille F comhmhór; sé sin, uille sheachtarach an triantáin DGF, agus an uille inmheadhonach ar a haghaidh, iad comhmhór, rud nach féidir; caithfidh C tuitim ar F; agus uime sin caithfidh AC tuitim ar feadh DF; comhthuiteann triantán ar an triantán eile, agus dá bhrígh sin tá an dá cheann acu comhmhór ar gach uile chaoi. Q.E.D. <L 55> TAIRISGINT 16. — TEORAGÁN. An dá thaobhagán atá le dhá thriantán dhronuillin- neacha má tá siad comhada, agus slios triantáin díobh chomh fada le n-a chomhshlios sa triantán eile, tá na triantáin comhmhór ar gach uile bhealach. Is iad ABC, DEF an dá thriantán, agus dhá dhronuillinn ortha iseadh B, E; tá AB agus a chomhshlios DE comhada agus an dá thaobhagán AC, DF comhada. Tá sé le cruthú go bhfuil an dá thriantán comhmhór ar gach uile shlighe. Cruthú. Cuir an triantán ABC leis an triantán DEF ionnus go dtuitfidh A ar D agus AB ar feadh DE, agus ionnus fós go dtuitfidh C ar an taobh de DE nach bhfuil F ann; abair gurb é G an poinnte i dtuiteann C. Isé DEG an suidheamh nua atá ar an triantán ABC. Ó thárla gur dhá dhronuillinn iad DEG, DEF, is líne díreach é an dá líne GE, EF as a chéile. Tá DF agus DG (sé sin AC) comhada insa triantán DGF, tá an uille DGF chomh mór leis an uillinn DFG. Tair. 5. Agus insan dá thriantán DEG, DEF, an dá uillinn DEG, DEF comhmhór, mar is dhá dhron- uillinn iad, tá an dá uillinn DGE, DFE comhmhór rud a cruthuigheadh, an slios DE ag baint leo araon: <L 56> tá an dá thriantán DEG, DEF comhmhór ar gach uile chaoi. Ach isé DEG an suidheamh nua atá ar ABC; tá na triantáin ABC, DEF comhmhór ar gach uile bhealach. Q.E.D. CLEACHTA XXII. 1. Tá na sleasa AB, AC comhada insa triantán ABC, agus ingear é AD ó A go BC; cruthuigh go bhfuil dhá leith déanta de BC sa bpoinnte D. 2. Dhá-leathóir uillinne triantáin má tá sé ingearach leis an slios ar aghaidh na huillinne, tá an triantán comhchosach. 3. Tá dhá leith déanta den uillinn AOB ag OF; tar- raing ó phoinnte P ar OF tarraing sin dhá ingear go dtí OA, OB, agus cruthuigh go bhfuil an dá ingear comhada. 4. Cruthuigh go bhfuil poinnte istigh i dtriantán agus go bhfuil na hingir a tarraingightar uaidh go dtí na trí sleasa go bhfuil siad comhada. 5. Líne díreach é AB agus M a lár; tarraing líne díreach ar bith tré M agus cruthuigh go bhfuil an dá ingear a tarr- aingightar go dtí é ó A agus ó B go bhfuil siad comhada. 6. Tá an dá uillinn A, B comhmhór ar thriantán; déan- ann líne dhá leith de A agus leigtar leis go dtí P, sa slios thall ar aghaidh A, agus déanann líne eile dhá leith de B agus leigtar leis féin go dtí an poinnte R sa slios ar aghaidh B. Cruthuigh AP, BR a bheith comhada. SONNRÚ. — Línte comhthreormhara díreacha, sin línte díreacha atá sa gcomhréidh céadna agus nach dtigeann ar a chéile is cuma cé'n fad a curtar asta as ceachtar dhá cheann díobh. GNÁTH-FHOCAL. — Ní féidir le dá líne dhíreacha a bheith comhthreormhar le líne eile, má ghearrann siad a chéile. Gnáth-fhocal Playfair a tugtar ar an gcuir-i-gcás sin agus tá gnatha dhe i dteoir na comhthreormhaireachta. <L 57> Leagann eile é seo air: is féidir líne díreach a tharr- aint comhthreormhar le líne díreach áirithe, thré phoinnte áirithe agus ní féidir a tharraint thríd ach an t-aon líne comhthreormhar. TAIRISGINT 17. — TEORAGÁN. Líne díreach a ghearras dhá líne dhíreacha eile agus a ghníos an dá uillinn umthanacha chomh mór le cheile, an dá líne dhíreacha a gearrtar bheidh siad com- threormhar. An líne díreach EF atá ag gearradh an dá líne AB, CD, sna dhá phoinnte G, H, déanann sé an dá uillinn umthanacha AGH, GHD chomh mór le chéile. Tá sé le cruthú go bhfuil AB comhthreormhar le CD. Cruthú. Mara bhfuil AB agus CD comhthreormhar caithfid siad a theacht ar a chéile nuair a leigtar leo ó B agus ó D, nó ó A agus ó C. Tigidís ar a chéile sa bpoinnte N, nuair a leigtar leo tré B agus tré D. Is triantán é GHN innsin, agus an slios NG dhe tá fad curtha as; is mó an uille sheachtarach AGH ná an uille inmheadh- onach ar a haghaidh .i. GHD: agus tá siad chomh mór le cheile de réir mar cuireadh i gcás. <L 58> Uime sin ní fhéadfadh AB agus CD a theacht ar a chéile nuair a curtar fad asta ó B agus ó D. Is féidir a theasbáint ar an gcuma chéadna nach féidir dhóibh a theacht ar a chéile nuair a curtar fad asta ó A agus ó C; tá AB agus CD comhthreormhar. Q.E.D. TAIRISGINT 18. — TEORAGÁN. Má thuiteann líne díreach ar dhá líne dhíreacha eile agus an uille sheachtarach a dhéanamh chomh mór leis an uillinn inmheadhonach ar a haghaidh, ar an taobh céadna den líne; nó má ghníonn sé an dá uillinn inmheadh- onacha atá ar an taobh céadna den líne chomh mór le dhá dhronuillinn, nuair a curtar i dteannta a chéile iad; fágann sin go bhfuil an dá líne dhíreacha comh- threormhar. CUID I. Tuiteadh an líne díreach EF ar an dá líne dhíreacha AB, CD, agus déanadh sé an uille sheachtarach EGB chomh mór leis an uillinn inmheadhonach ar a haghaidh GHD. Tá sé le cruthú go bhfuil AB agus CD comhthreormhar. Ó thárla an uille EGB chomh mór leis an uillinn GHD, agus an uille EGB chomh mór leis an uillinn AGH atá go rinneach ar a haghaidh; tá an uille AGH chomh mór leis an uillinn GHD agus is dhá uillinn umthanacha iad-san; tá AB agus CD comhthreormhar. <L 59> CUID II. Bíodh an uille inmheadhonach BGH agus an uille inmheadhonach GHD mar thuille léithe, bídís chomh mór le dhá dhronuillinn, de bharr an líne díreach EF tuitim ar an dá líne AB, CD. Tá sé le cruthú go bhfuil AB comhthreormhar le CD. Ó thárla an uille BGH agus an uille GHD mar thuille léithe, chomh mór le dhá dhronuillinn, agus an dá uillinn chomhgaracha BGH, AGH, i dteannta a chéile, chomh mór le dhá dhronuillinn an dá uillinn BGH, GHD i n-éineacht, táid siad chomh mór leis an dá uillinn BGH, AGH i n-éineacht. Bain an uille BGH as gach comhmhéid díobh; agus fágfa sin an uille AGH chomh mór leis an uillinn GHD, agus is uillinneacha umthanacha iad sin; tá AB comhthreormhar le CD. Q.E.D. TAIRISGINT 19. — TEORAGÁN. Má thuiteann líne díreach ar dhá líne dhíreacha chomh- threormhara, bíonn:— (i) na huillinneacha umthanacha chomh mór le chéile, (ii) an uille sheachtarach chomh mór leis an uillinn inmheadhonach ar a haghaidh, ar an taobh céadna den líne, (iii) An dá uillinn inmheadhonacha ar an taobh céadna, bíonn sin i n-éineacht chomh mór le dhá dhron- uillinn. <L 60> Tigeadh an líne díreach EF ar an dá líne dhíreacha chomthreormhara AB, CD. Tá sé le cruthú go bhfuil (i) an uille AGH chomh mór leis an uillinn umthanach GHD. (ii) an uille sheachtarach EGB chomh mór leis an uillinn inmheadhonach ar a haghaidh GHD (iii) an dá uillinn inmheadhonacha BGH, GHD i n-éin- eacht, chomh mór le dhá dhronuillinn. Cruthú. (i) Mara bhfuil an uille AGH chomh mór leis an uillinn GHD tarraing an líne LG ionnus go mbeidh an uille LGH chomh mór leis an uillinn GHD. Ó thárla an uille LGH chomh mór leis an uillinn umthanach GHD, tá LG comhthreormhar le CD. Ach cuireadh i gcás AB a bheith comhthreormhar le CD; an dá líne dhíreacha AB, LG atá ag gearradh a chéile, táid siad araon comhthreormhar le CD; rud nach féidir: (Gnáth-fhocal Playfair). ní fhéadfadh an dá uillinn AGH, GHD gan a bheith comhmhór; tá an uille AGH agus an uille GHD comhmhór. (ii) Ó thárla an uille AGH agus an uille GHD comhmhór, do réir Cuid I. agus an uille AGH chomh mór leis an uillinn EGB atá go rinneach ar a haghaidh; an uille sheachtarach EGB atá sí chomh mór leis an uillinn GHD atá go hinmheadhonach ar a haghaidh. (iii) Ar réir Cuid I, tá an dá uillinn AGH, GHD comhmhór cuir an uille BGH mar thuille le gach comhmhéid díobh; annsin an dá uillinn AGH, BGH i n-éineacht táid siad comhmhór leis an dá uillinn BGH, GHD i n-éineacht. <L 61> Ach an dá uillinn AGH, BGH i n-éineacht táid siad chomh mór le dhá dhronuillinn; an dá uillinn inmheadhonacha BGH, GHD i n-éineacht, tá siad chomh mór le dhá dhronuillinn. Q.E.D. TAIRISGINT 20. — TEORAGÁN. Línte díreacha atá comhthreormhar leis an líne díreach céadna atá siad comhthreormhar le n-a chéile. Bíodh an dá líne dhíreacha AB, CD comhthreormhar le LM. Tá se le cruthú go bhfuil AB, CD comhthreormhar le n-a chéile. Tarraing an líne díreach EF agus gearradh sé na línte ins na poinntíbh P, O, R. Cruthú. Ó thárla AB comhthreormhar le LM agus go dtigeann EF ortha, tá an uille APR chomh mór leis an uillinn umthanach PRM. Ó thárla CD agus LM comhthreormhar agus EF ag tuitim ortha, tá an uille sheachtarach POD agus an uille inmheadhonach ar a haghaidh .i. PRM comhmhór; tá an uille APO agus an uille POD comhmhór, <L 62> agus is dhá uillinn umthanacha iad sin a rinneadh de bhrígh gur thuit EF ar an dá líne AB, CD, tá AB agus CD comhthreormhar. Q.E.D. Is forusta fírinne an Tairisgiona seo a theasbánadh do réir gnáth-fhocail Playfair, má cruthuigheatar é ar mhodh thimcheallach. Arae mara bhfuil AB agus CD comhthreormhar tiocfadh siad un a chéile ach leigeann leo — tigidís un a chéile sa bpoinnte S. Tá dhá líne dhíreacha innsin ag gearradh a chéile sa bpoinnte S, agus iad araon comhthreormhar le LM; agus sin rud nach féidir. Uime sin ní fhéadfadh AB agus CD a theacht un a chéile; tá siad comhthreormhar. CLEACHTA XXIII. 1. Tarraing líne díreach comhthreormhar le bonn .i. BC, an triantáin comhchosaigh .i. ABC, agus gearradh sé na sleasa comhada (taréis fad a chur asta más gádh é) insna poinntibh D, E; cruthuigh gur triantán comhchosach é ADE. 2. Dhá-leathóir uillinne, géag dá géagaibh agus líne atá comhthreormhar leis an ngéig eile déan triantán comh- chosach díobh. 3. Má tá dhá ghéag uillinne agus a dhá gcomhghéag i n-uillinn eile comhthreormhar tá an dá uillinn comhmhór nó foir- líonta. 4. Má ghníonn treasnáin ceathairshleasáin dhá leith dhá chéile beidh na sleasa atá ar aghaidh a chéile comhthreormhar 5. Tigeann dhá-leathóir na huillinne A i dtriantán ar an slios BC sa bpoinnte S; tarraing SR ó S comhth- reormhar le AC, agus gearradh sé AB sa bpoinnte R, agus tarraing ST ó S, comhthreormhar le AB agus gearradh sé AC sa bpoinnte T; cruthuigh ARST a bheith comhshleasach. <L 63> TAIRISGINT 21. — TEORAGÁN. Má curtar fad as slios triantáin beidh an uille sheachtarach chomh mór leis an dá uillinn inmheadhonacha ar a haghaidh i n-éineacht, agus trí uillinn triantáin i n-éineacht tá siad chomh mór le dhá dhronuillinn. Isé ABC an triantán agus fad ar a shlios BC go dtí D. Tá sé le cruthú go bhfuil:— (i) an uille sheachtarach ACD agus an dá uillinn inmeadh- onacha ar a haghaidh .i. A agus B i n-éineacht comh- mhór, agus (ii) go bhfuil na trí uillinn A, B, agus BCA i n-éineacht go bhfuil sin chomh mór le dhá dhronuillinn. Cuir i gcás gurb é CE an líne díreach a tarraingigheadh tré C, comhthreormhar le BA. Cruthú. (i) Ó thárla CE agus BA comhthreormhar agus go dtigeann AC ortha araon, tá an uille ACE agus an uille umthanach A comhmhór. Ó thárla CE agus BA comhthreormhar agus go dtigeann BD ortha araon, tá an uille sheachtarach ECD agus an uille inmheadhonach ar a haghaidh .i. B comhmhór. Uime sin tá an uille iomlán ACD agus an dá uillinn A, B i n-éineacht comhmhór. (ii) Cuir an uille BCA le gach comhmhéid díobh; <L 64> agus fágfaidh sin an dá uillinn BCA, ACD i n-éineacht chomh mór le na trí uillinn A, B, BCA i n-éineacht. Ach an dá uillinn chomhgaracha BCA, ACD i n-éineacht tá siad chomh mór le dhá dhronuillinn; tá trí uillinn an triantáin ABC .i. A, B, C i n-éineacht tá sin chomh mór le dhá dhronuillinn. Q.E.D. COMHTHORADH 1. Na huillinneacha inmheadhonacha atá ar iolgán dronnach, i n-éineacht le cheithre dhron- uillinn, tá siad chomh mór faoi dhó le gacha le dron- uillinn agus tá de shleasa leis an iolgán. Iolgán dronnach ar bith é ABCDE. Fagh poinnte ar bith O istigh ann, agus ceangail O do gach rinn air. Tá gacha le triantán déannta den iolgán iomlán anois agus tá de shleasaibh leis. Agus freisin na trí uillinn atá ar gach triantán díobh táid siad, i n-éineacht, chomh mór le dhá dhronuillinn. tá gach uile uille ar gach uile thriantán díobh, i n-éineacht, chomh mór faoi dhó le gacha le dronuillinn agus tá de shleasa leis an iolgán. Ach a bhfuil d'uillinneacha ar na triantánaibh go hiom- lán sin iad, i n-éineacht, uillinneacha inmheadhonacha iom- lán an iolgáin i n-éineacht le na huillinneacha ag O, agus na huillinneacha sin ag O táid siad i n-éineacht chomh mór le cheithre dhronuillinn. na huillinneacha inmheadhonacha go hiomlán atá ar iolgán i n-éineacht le cheithre dhronuillinn tá sin faoi dhó <L 65> chomh mór le gacha le dronuillinn agus tá de shleasa leis an iolgán. Q.E.D. COMHTHORADH 2. Má leigtar le sleasaibh iolgáin dronnaigh ar bith, ó cheann go ceann, na huillinneacha seachtaracha a déantar ar an gcuma sin tá siad, i n-éineacht, chomh mór le cheithre dhronuillinn. Iolgán dronnach é ABCDE, agus fad as na sleasaibh AB, BC, CD agus rl. aige tré B, C, D, agus rl. Na huillinneacha seachtaracha agus na huillinneacha inmheadhonacha atá ag gach rinn díobh táid siad chomh mór i n-éineacht le dhá dhronuillinn. na huillinneacha inmheadhonacha go hiomlán agus na huillinneacha seachtaracha go hiomlán, i n-éineacht leo, táid siad chomh mór faoi dhó le gacha le dronuillinn agus tá de reanna nó de shleasa, leis an iolgán. Ach tá na huillinneacha inmheadhonacha go léir i n-éineacht le cheithre dhronuillinn faoi dhó chomh mór le gacha le dronuillinn agus tá de shleasa leis an iolgán. tá na huillinneacha seachatarcha go léir i n-éineacht chomh mór le cheithre dhronuillinn. Q.E.D. CLEACHTA XXIV. 1. Foirlíon na huillinne A ar an triantán ABC má tá sí faoi dhó chomh mór leis an uillinn B is comhchosach atá an triantán sin. 2. Uillinneacha ceathairshleasáin táid siad, i n-éin- eacht, chomh mór le cheithre dhronuillinn. 3. Uillinneacha cúgáin i n-éineacht tá siad chomh mór le sé dhronuillinn. 4. Uille buinn atá ar thriantán comhchosach más allroinn í d'uillinn buinn triantáin comhchosaigh eile is uillinneacha foirlíonta na huillinneacha rinneacha atá ortha. An fíor a aisiompodh sin? <L 66> 5. Má thuiteann líne díreach ar dhá líne dhíreacha chomh- theormhara an dá líne a ghníos dhá leith de na huillinneacha inmheadhonacha ar an taobh céadna tá siad sin dron- uillinneach le chéile. 6. Isé M lár an tsleasa BC insa triantán ABC; má tá MA agus MB comhada cruthuigh gur dronuille í A. 7. Cuir síos agus cruthuigh aisiompodh Uimh. a 6. 8. Isé M lár an tsleasa BC sa triantán ABC; más géaruille í A cruthuigh gur fuide MA ná MB. 9. Má curtar fad as gacha le péire de shleasa cúgáin ionnus go dtige siad ar a chéile, na chúig uillinn sin i n-éineacht a rinneadh nuair a cuireadh fad as na sleasa, tá siad chomh mór le dhá dhronuillinn. 10. Má tá gach uille buinn ar thriantán chomhchosach faoi dhó chomh mór leis an uillinn rinneach, cé'n chuid de dhronuillinn an uille rinneach? SONNRUÍTHE. Treolínteán, sin figiúir ceathairshleasach a bhfuil na sleasa atá ar aghaidh a chéile ann comhthreormhar. Cruthófar (Tair. 25) na sleasa atá ar aghaidh a chéile i dtreo- línteán a bheith comhada agus freisin na huillinneacha atá ar aghaidh a chéile a bheith comhmhór. Dronuilleog, sin treolínteán agus uille dá bhfuil air í dronuillinneach. Cruthófar (Tair. 23, Comhth. 2) gur dronuille gach uile uille dá bhfuil ar dhronuilleoig. Cearnóg, sin dronuilleog a bhfuil dhá shlios chomh- garacha dhe comhada. Cruthófar (Tair. 23, Comhth. 3) sleasa cearnóige a bheith go léir comhada, agus a cuid uillinneacha a bheith dronuillinneach. Camchearn, sin figiúir ceathairshleasach a bhfuil a shleasa go léir comhada agus a chuid uillinneacha gan a bheith dron- uillinneach. Cearchosóg, sin figiúir ceathairshleasach a bhfuil dhá shlios de atá ar agháidh a chéile comhthreormhar. <L 67> TAIRISGINT 22. — TEORAGÁN. Na línte díreacha atá ag ceangal gach aon dá cheann chomhgaracha de línte díreacha atá comhada, comhthreormhar, tá siad féin comhada, comhthreormhar. Dhá líne dhíreacha chomhada chomhthreormhara iad AB CD, agus an dá líne dhíreacha AC, BD ag ceangal gach aon dá cheann chomhgaracha dhíobh. Tá sé le cruthú go bhfuil AC, BD comhada comhth- reormhar. Ceangail A do D. Cruthú. Ó thárla AB agus CD comhthreormhar agus AD ag tuitim ortha, tá an uille CDA agus an uille umthanach BAD comhmhór. Insan dá thriantán CDA, BAD, CD agus AB comhada, tá AD ag baint leo araon, an uille CDA agus an uille BAD comhmhór; tá na triantáin comhmhór ar gach uile bhealach; Tair. 4. ionnus go bhfuil na sleasa AC, BD comhada, agus an dá uillinn DAC, ADB comhmhór; agus is dhá uillinn umthanacha iad sin a rinneadh de bhrigh go dtuiteann AD ar na línte AC, BD. tá AC agus BD comhthreormhar. Uime sin tá AC, BD comhada agus comhthreormhar. Q.E.D. <L 68> TAIRISGINT 23. — TEORAGÁN. Tá na sleasa atá ar aghaidh a chéile comhada agus na huillinneacha atá ar aghaidh a chéile comhmhór i dtreo- línteán, agus dhá leith déanta dhe ag gach aon treasnán. Treolínteán é ABCD agus treasnán ann é AC. Tá sé le cruthú go bhfuil AB, DC comhada, agus go bhfuil AD agus BC comhada, go bhfuil an dá uillinn ABC, CDA comhmhór BAD, BCD agus go bhfuil an dá thriantán ABC, CDA comhmhór. Cruthú. Ó thárla AB agus DC comhthreormhar agus AC ag tuitim ortha, tá an uille BAC agus an uille umthanach DCA comhmhór. Ó thárla BC agus DA comhthreormhar agus AC ag tuitim ortha tá an uille BCA agus an uille umthanach DAC comhmhór an uille BAC agus an uille DCA comhmhór, tá BCA DAC agus AC ag baint leo araon, insan dá thriantán ABC, CDA; tá na triantáin comhmhór ar gach uile shlighe; I gcruthamhnas go bhfuil AB agus DC comhada, agus BC agus AD comhada; an uille ABC chomh mór leis an uillinn CDA. <L 69> agus an t-achar atá faoi an triantán ABC chomh mór leis an achar atá faoi an triantán CDA, isé sin, tá dhá leith déanta den treolínteán ag an treasnán AC. Agus ó thárla an uille BAC chomh mór leis an uillinn DCA, agus an uille DAC chomh mór leis an uillinn BCA, tá an uille iomlán BAD chomh mór leis an uillinn iomlán DCB. Q.E.D. COMHTHORADH 1. Is figiúir comhshleasach é an treo- línteán a bhfuil a dhá shlios chomhgaracha comhada. COMHTHORADH 2. Má tá aon dronuille amháin ar threolínteán is dronuille gach uile uille dá bhfuil air. COMHTHORADH 3. Tá sleasa cearnóige go léir comh- ada agus is dronuille gach uile uille dá bhfuil uirthe. COMHTHORADH 4. Tá dhá leith déanta dhá chéile ag treasnáin treolínteáin. CLEACHTA XXV. An dá phéire sleas atá ar aghaidh a chéile i gceathair- shleasán, má tá siad comhada tá an figiúir 'na treo- línteán. 2. An dá phéire uillinneacha atá ar aghaidh a chéile i gceathairshleasán, má tá siad comhmhór tá an figiúir 'na treolínteán. 3. Tá gach uile chamchearn ina threolínteán. 4. Dhá shlios chomhgaracha threolínteáin má tá siad comhada, tá dhá leith déanta d'uillinneacha an treo- línteáin ag na treasnáin. 5. Treasnáin treolínteáin má tá siad comhada is dronuilleog é an treolínteán. 6. Má ghníonn treasnáin ceathairshleasáin dhá leith dhá chéile tá an figiúir na treolínteán. <L 70> 7. Déanann treasnáin camchearna dhá leith dhá chéile go dronuillinneach. 8. Má tá treasnáin ceathairshleasáin comhada agus dhá leith déanta dhá chéile acu go dronuillinneach, is cear- nóg í an figiúir. 9. Líne díreach ar bith a tarraingightar tré M .i. lár- phoinnte treasnáin treolínteáin, agus a bhfuil a dhá cheann insan dá shlios atá ar aghaidh a chéile, tá dhá leith déanta dhe sa bpoinnte M. SONNRÚ. — Treasnachán a tugtar ar an líne díreach atá tarraingthe treasna dhá líne dhíreacha nó tuille agus dhá líne dhíreacha eile. TAIRISGINT 24. — TEORAGÁN. Na heidirlínte a déantar má thuiteann trí líne, nó tuille agus trí líne, díreacha comhthreormhara ar threasnachán, má tá siad comhada, beidh na heidir- línte atá déanta acu ar aon treasnachán eile beidh siad-san comhada. Na heidirlínte AB, BC, CD a rinne na línte díreacha comhthreormhara AL, BM, CN, DR ar threasnachán, tá siad comhada. Tá sé le cruthú go bhfuil na heidirlínte LM, MN, NR, atá ar threasnachán eile, comhada. <L 71> Tógáil. Tarraing na línte AE, BF, CG, thré A, B, C, comhthreormhar le LR. Cruthú. Ó thárla AE agus BF comhthreormhar agus go dtuit eann AC ortha, tá an uille BAE agus an uille CBF comhmhór. Agus ó thárla BM agus CN comhthreormhar agus go dtuiteann AC ortha, tá n auille ABE agus an uille BCF comhmhór. an uille BAE agus an uille CBF comhmhór tá ABE BCF an líne AB agus an líne BC comhada insan dá thriantán ABE, BCF; tá AE agus BF comhada. Tair. 16. Ach ó thárla gur treolínteáin iad ALME agus BMNF, tá AE agus LM comhada, agus tá BF agus MN comhada, tá LM agus MN comhada. Is féidir a chruthú, ar an gcuma chéadna, go bhfuil LM (nó MN) agus NR comhada. Q.E.D. CLEACHTA XXVI. 1. Má tharraingigheann tú líne díreach thré lár-phoinnte sleasa triantáin agus comhthreormhar le slios eile déan- faidh sé dhá leith den tríomhadh slios. 2. Tá na sleasa AD, BC comhthreormhar insan gceath- airshleasán ABCD; an líne a tarraingightar comhth- reormhar le AD thré lár-phoinnte AB, cruthuigh go ndéanann sé dhá leith de CD. 3. An líne díreach atá ag ceangal M agus N dhá lár- phoinnte na sleas AB, AC insan triantán ABC, cruthuigh go bhfuil sé comhthreormhar le BC agus leath chomh fada leis. (Leig le MN go dtí H agus bíodh NH agus MN comhada, agus cean- gail C agus H le chéile). 4. Tá lár-phoinntí L, M, N, na sleas atá le triantán ceangailte ag na línte LM, MN, NL, agus tá cheithre <L 72> thriantán déanta ag na línte den triantán mór agus na cheithre triantáin comhmhor ar gach uile shlighe. 5. Is iad D, E, F, lár-phoinntí na sleas BC, AC, AB atá leis an triantán ABC; cruthuigh go bhfuil dhá leith déanta dhá chéile ag na línte AD, EF. 6. Is iad L, M, N, R, lár-phoinntí na sleas AB, BC, CD, DA, atá le ceathairshleasán. Is iad P, O, lár- phoinntí na dtreasnán AC, BD; cruthuigh (1) gur treolínteáin iad LMNR agus LPNO; agus (2) go dtéidheann MR, PO thré lár-phoinnte LN agus go bhfuil dhá leith déanta dhíobh sa bpoinnte sin. 7. Treolínteán é ABCD agus is iad R, S lár-phoinntí na sleas AB, CD; cruthuigh go bhfuil trí chuid chothroma déanta den treasnán BD ag AS, CR. 8. Na sleasa fiara AB, DC atá leis an gcearchosóig ABCD, tá dhá leith déanta dhíobh insna poinntí M, N; cruthuigh go bhfuil MN comhthreormhar le AD agus le BC agus leath chomh fada leo araon as a chéile. DE NA TÓGÁLA innseo síos. Ceisteanna iad na tairisgiona seo síos (25–33); tá sé a' teastáil rud eicínt a dhéanamh ins gach ceann acu, ach níl cead rialóir céimeann ná rialghrádh a bheith ag duine a tarraint na bhfiugúirí Is féidir líne díreach a tharraint ó phoinnte áirithe go dtí poinnte áirithe eile, nó fad a chur as líne atá ann cheana le congnamh ó rialóir clárach. Baintear leas as compás le haghaidh cearcall a thar- raint agus le cuid a bhaint den líne is fuide de dhá líne dhíreacha le n-a dhéanamh chomh fada leis an gceann is giorra acu. Caithfidh an mac léighinn gach uile thairisgint díobh seo a thógáil ina leabhar féin, agus é dhá bhfoghluim agus ní mór figiúirí a bheith tarraingthe chomh ceart agus is féidir é. <L 73> TAIRISGINT 25. — CEIST. Triantán a thógáil a mbeidh a thrí shleasa chomh fada le trí línte díreacha áirithe, agus aon dá líne dhíobh-san, i n-éineacht, a bheith níos fuide ná an tríomhadh ceann. Is iad r, o, p na trí línte díreacha áirithe. Tógáil. Tarraing an líne díreach AF, agus gearr cuid de .i. AB a bheas chomh fada le p. Déan lár cearcaill d'A, agus fad o de gha uaidh, tarraing stuagh an chearcaill. Déan lár-phoinnte eile de B, agus fad r de gha uaidh, tarraing an stuagh eile agus gearradh sé an ceann tosaigh sa bpoinnte C. Ceangail A de C agus B de C. Isé ABC an triantán a bhí ag teastáil, mar tá na sleasa chomh fada le na línte áirithe .i. AB agus p comhada, AC agus o comhada, agus BC agus r comhada. Nota. — Maran fuide o, r as a chéile ná p, nó maran giorra ná p a bhfuil d'fhad ag o ar r, chífear an dá chearcall a bhfuil A agus B mar dhá lár ionnta nach ngearrfa siad a chéile. Dhá gcríochnuightí an dá chearcall ghearrfaidís a chéile arís an taobh eile de AB; ionnus gur féidir dhá thriantán chomhfheileamhnacha fhagháil, ón tógáil, agus iad araon ag coimhlíonadh na gcoingheall. <L 74> TAIRISGINT 26. — CEIST. Dhá leith a dhéanamh d'uillinn áirithe. Isí BAC an uille áirithe a bhfuil dhá leith le déanamh dhi. Tógáil. Fágh fad ar bith ón lár A mar gha, agus tarraing stuagh cearcaill agus gearradh sé AB sa bpoinnte D, agus AC sa bpoinnte E. Fágh dhá gha agus fad comhgarach comhada ar bith ionnta, ón dá lár D agus E, agus tarraing dhá stuagh dhá chearcall agus gearr- aidís a chéile sa bpoinnte F. Ceangail A d' F. Beidh dhá leith déanta den uillinn innsin ag AF. Cruthú. Ceangail D d'F, agus E d' F. Insan dá thriantán ADF, AEF. AD agus AE comhada tá DF agus EF agus AF mar shlios choitcheann leo araon tá na triantáin comhmhór ar gach uile bhealach; tá an uille DAF agus an uille EAF comhmhór; sé sin, déanann AF dhá leith den uillinn BAC. <L 75> TAIRISGINT 27. — CEIST. Dhá leith a dhéanamh de líne díreach áirithe. Isé AB an líne áirithe a bhfuil dhá leith le déanamh dhe Tógáil. Déan dhá lár-phoinnte d'A agus de B, agus fad dhá gha chomhgaracha chomhada ar bith uatha tóg an dá chearcall a ghearrfas a chéile ag na poinntí C, D. Ceangail C agus D dá chéile agus gearradh an líne AB ag M. Beidh dhá leith déanta d' AB sa bpoinnte M. Cruthú. Ceangail A de C, B de C, A de D' B de D. Insan dá thriantán ACD, BCD, AC agus BC comhada, tá AD agus BD comhada, CD mar shlios choitcheann leo araon; tá an uille ACD agus an uille BCD comhmhór. Tair. 7 Agus insan dá thriantán ACM, BCM, AC agus BC comhada, tá CM mar shlios choitcheann leo araon, an dá uillinn ACM, BCM comhmhór tá AM agus BM comhada; Tair. 4. sé sin, tá dhá leith déanta d'AB sa bpoinnte M. <L 76> TAIRISGINT 28. — CEIST. Líne díreach a tharraint ó phoinnte áirithe i líne díreach áirithe agus ingearach leis. Isé AB an líne díreach áirithe agus P an poinnte áirithe ann ó n-a bhfuil an t-ingear le tarraint le AB. Tógáil. Bain dhá ghiota chomhada PE, PF de AB ón lár P. Fágh dhá gha chomhgaracha chomhada ag síneadh ón dá lár E, F agus gearradh an dá gha a chéile sa bpoinnte C. Ceangail P agus C dá chéile. Isé PC an t-ingear á bhí ag teastáil. Cruthú. Ceangail E de C agus F de C. Ins an dá thriantán EPC, FPC, PE agus 'PF comhada. tá PC mar shlios choitcheann leo araon, EC agus FC comhada; tá an uille CPE agus an uille CPF comhmhór. Tair. 7. Ach is dhá uillinn chomhgaracha iad-san; is dhá dhronuillinn iad. tá PC ingearach le AB. Modh Eile. Fágh poinnte ar bith, O cuir i gcás, amach ó AB. Fad OP de gha amach ón lár O tóg cearcall agus <L 77> gearradh sé AB sa bpoinnte D. Ceangail D d'O agus leig leis go dtí an tin cheallaí thall sa bpoinnte C. Ceangail P de C. Beidh C ingearach le AB. Cruthú. Ceangail O de P. tá an uille CPB chomh mór leis an dá uillinn CDP, DCP, i n-éineacht, Tair. 21. ach tá an dá uillinn ODP, OPD comhmhór, agus Tair. 5 tá an dá uillinn OPC, OCP comhmhór; tá an uille CPB agus an uille CPD comhmhór; ach is dhá uillinn chomhgaracha iad; uime sin tá CP ingearach le AB. TAIRISGINT 29. — CEIST. Líne díreach a tharraint ingearach le líne díreac áirithe agus ó phoinnte áirithe amach uaidh. <L 78> Isé AD an líne díreach áirithe agus ise P an poinnte amach uaidh a bhfuil an t-ingear le tarraint uaidh go dtí AB. Tógáil. Tarraing ga ón lár P agus fad áiseach ann, agus tóg cearcall a ghearrfas AB san dá phoinnte C, D. Dhá gha áiseacha chomhada a bheith agad agus dhá lár C, D, tarraing dhá stuagh agus gearraidís a chéile sa bpoinnte O. Ceangail P d'O agus gearradh sé an líne AB sa bpoinnte L. Isé PL innsin an t-ingear a bhí a' teastáil. Cruthú. Ceangail C de P, agus D de P, agus C d'O agus D d'O. Insan dá thriantán CPO, DPO, CP agus DP comhada, tá CO agus DO PO 'na shlios choitcheann eatortha; tá an uille CPO agus an uille DPO comhmhór. Tair. 7. Agus insan dá thriantán CPL, DPL, CP agus DP comhada, tá PL na shlios choitcheann eatortha, an uille CPL agus an uille DPL comhmhór; tá an uille CLP agus an uille DLP comhmhór. Tair. 4. Ach is dhá uillinn chomhgaracha iad sin; is dhá dhronuillinn iad. tá PL ingearach le AB. Modh Eile. Isé AB an líne díreach áirithe agus C an poinnte áirithe. (Mar tá an fig. san Modh Eile, Tair. 28.) Tógáil. Poinnte áiseach ar bith, mar D, sa líne AB, ceangail C dhe. Déan dhá leith de CD sa bpoinnte O. An lár O a bheith ann agus an fhad OC mar gha, tarraing cear- call a ghearrfas AB sa bpoinnte P. Ceangail C de P. Beidh CP ingearach le AB. Cruthú. Mar tá sé i dTair. 28, Modh Eile. <L 79> TAIRISGINT 30. — CEIST. Uille a thógáil i bpoinnte áirithe i líne díreach áirithe agus í bheith chomh mór le uillinn áirithe. Isé P an poinnte áirithe insan líne díreach áirithe DE a bhfuil uille le cur air a bheas chomh mór leis an uillinn áirithe BAC. Tógáil. Fágh dhá fhad chomhgaracha chomhada, mar dhá gha, ón dá lár A, P, agus tóg an dá stuagh FG, OR leo agus gearradh na stuagha na línte AB, AC, PE insna poinntí F, G, O. Tóg O mar lár agus ga chomh fada le FG agus tarraing stuagh a ghearrfas an stuagh OR sa bpoinnte R. Ceangail P d'R. Isí an uille OPR an uille bhí a' teastáil. Cruthú. Ceangail F do G agus O d'R. Insan dá thriantán FAG, OPR, AF agus PO comhada tá AG agus PR FG agus OR tá an uille FAG agus an uille OPR comhmhór, Tair. 7. isé sin, tá an uille EPR agus an uille BAC comhmhór. <L 80> TAIRISGINT 31. — CEIST. Tarraing líne díreach thré phoinnte áirithe agus bíodh sé comhthreormhar le líne díreach áirithe. Isé AB an líne díreach áirithe agus P an poinnte áirithe a bhfuil líne díreach le tarraint thríd a bheas comhthreor- mhar le AB. Tógáil. Fágh poinnte ar bith, C, sa líne AB, agus ceangail C de P. Tarraing an stuagh PD ar an nga CP agus thart ar an lár C. Tarraing an stuagh CO ar an nga PC agus thart ar an lár P Ceangail DP. Thart ar an lár C agus ar gha chomh fada le DP, tarraing stuagh a ghearrfas an stuagh CO sa bpoinnte O. Ceangail O agus P dá chéile. Beidh OP comhthreormhar le AB innsin. Cruthú. Insan dá thriantán DCP, OPC, CD agus PO comhada, tá CP mar shlios choitcheanta leo araon, DP agus CO comhada tá an uille DCP agus an uille OPC comhmhór; Tair. 7. agus is dhá uillinn umthanacha iad-san; tá OP agus AB comhthreormhar. Tair. 18. An Dara Modh. Nó is forusta a chruthú leis an bhfíorchearn, mar tá sé i gCleachta a XII., go bhfuil. na línte díreacha comhthreormhar. <L 81> TAIRISGINT 32. — CEIST. Uimhir ar bith de chodcha chomhada a dhéanamh de líne dhíreach. Isé AB an líne díreach áirithe a bhfuil chúig roinn, cuir i gcás, le déanamh dhe. Tógáil. Tarraing AL ó A agus déanadh sé uille le AB. Déan chúig chuid chomhada chomhgaracha d'AL .i. AP, PO, OR, RS, ST. Ceangail B de T. Tarraing línte thré P, O, R, S, comhthreormhar le TB agus tigdís ar AB insna poinntí C, D, E, F. Tá chúig chuid chomhada déanta d'AB innsin. Cruthú. Tarraing MN thré A comhthreormhar le TB. Na heidirlínte AP, PO, OR, RS, ST atá déanta ag na sé línte díreacha comhthreormhara ar an treasnachán AL tá siad comhada; na heidirlínte AC, CD, DE, EF, FB a rinneadh ar an treasnachán A.B tá siad comhada. Uime sin tá chúig roinn chomhada déanta d'AB. <L 82> TAIRISGINT 33. — CEIST. Cearnóg a thógáil ar líne díreach áirithe. Isé AB an líne díreach áirithe. Cearnóg a thógáil agus an líne áirithe AB a bheith mar shlios dá sleasaibh. Tógáil. Tarraing AL ó A ingearach le AB. Bain an giota AD d'AL, agus bíodh sé féin agus AB comhada. Tarraing BC thré B comhthreormhar le AL, agus tarraing DC thré D comhthreormhar le AB. Isí ABCD an chearnóg a bhí ag teastáil. Cruthú. Is treolínteán é ABCD agus is dronuille í an uille A, is dronuilleog í ABCD. Agus na sleasa comhgaracha AB, AD, tá siad comhada, is cearnóg í ABCD. CLEACHTA XXVII. DO RÉIR FEIDHME. 1. Dhá phoinnte A, B atá 3 hórlaí óna chéile; agus fágh poinnte eile atá 2 órlach ó A agus 1.5 ór. ó B. Cé mhéad poinnte díobh-san ann? 2. Líne díreach ar bith agus an poinnte P, atá 4cm. uaidh. Fágh poinntí atá 7cm. ón líne agus 5cm. ó P. Na poinntí <L 83> a fríth do choimhlíonadh na gcoingheall cén fhad atá eatortha? 3. Tarraing triantán a mbeidh na sleasa atá leis 6cm., 7 gcm., agus 8 gcm. Cá háit ar an slios atá 7 gcm. a bhfuil an poinnte atá comhada ó na sleasa eile, agus tomhais na gearrthóga atá déanta den tslios ag an bpoinnte. 'Sbáin cé'n chaoi an bhféadfaí poinnte eile fháil (ar an bhfad a curtar as an slios sin) atá comhada ó n-a sleasa eile. 4. Tarraing an dá líne AB, CD dronuillinneach le chéile agus tigdís ar a chéile sa bpoinnte O. Cá bhfuil an poinnte atá 2 órlach ó AB agus 1.5 ór. ó CD? Cé mhéad poinnte de na poinntí sin ann? Cáide ó O gach ceann acu? 5. Tarraing triantán comhshleasach agus gach slios de 7.5cm. agus fágh amach cá háit ar shlios de a bhfuil an poinnte atá 4.5cm. ó shlios eile. Tomhais cé n fhad ón tríomhadh slios an poinnte sin. 6. Tarraing triantán comhshleasach agus gach slios de 3 hórlaí ar fad agus fágh amach cén áit istigh ann a bhfuil an poinnte atá 1.4 ór. ó shlios agus 1.2 ór. ó shlios eile. Tomhais cé'n fhad ón tríomhadh slios an poinnte. 7. Tóg triantán géaruillinneach agus triantán maol uillinneach, bíodh an uille A 45 grádha, bíodh AB 3.2 órlaí, agus BC 2.4 órlaí. Tomhais cén mhéid atá san uillinn C ins gach triantán díobh. 8. Tóg triantán a mbeidh AB 3 hór., AC 2.4 ór., agus BC 1.8 ór. Fágh amach cén áit ar AC agus ar an bhfad a cuireadh as AC a bhfuil dhá phoinnte atá comhada ó AB agus ó BC. Cáide ó AB iad? 9. Tarraing triantán agus na sleasa atá leis 6.5cm., 7cm., agus 7.5cm. Cá bhfuil an poinnte atá comhada ó na reanna agus tomhais cén fhad ó na reanna é. 10. Tarraing triantán eile agus na sleasa atá leis 6.5 cm., 7cm., agus 7.5cm. Cá bhfuil an poinnte, istigh sa <L 84> triantán, atá comhada ó na trí sleasa agus tomhais cén fhad é ó gach slios. 11. Tarraing triantán agus na sleasa an fhad seo: BC 2 órlach, AC 1.5 órlach, AB 2.5 órlach. Leig leis na sleasa AB, AC agus fágh amach cén áit istigh i ngéaga na huillinne A a bhfuil dhá phoinnte atá comhada ó shleasa an triantáin. Tomhais cén fhad é ó na sleasa go dtí na poinntí sin. 12. Tóg an triantán ABC agus AB 5 órlaí, agus C 2.4 órlach ó AB,. agus C 2.5 órlach ó lár-phoinnte AB. Tomhais cén fhad AC agus BC. CLEACHTA XXVIII. 1. Líne áirithe é AB agus poinnte áirithe amach uaidh é P. Togh poinnte ar bith ar AB, O cuir i gcás, agus ceangail do P é. Leig le OP go dtí R agus bíodh OP agus PR comhada. Cá bhfuil rian-phoinnte R, agus O ag gluaiseacht ar feadh AB? 2. Líne áirithe é AB agus poinnte áirithe amach uaidh é O Togh poinnte ar bith ar AB, N cuir i gcás, agus ceangail d'O é. Cá bhfuil rian-phoinnte M, sin é lár-phoinnte ON, agus N ag gluaiseacht ar feadh AB? 3. Líne áirithe é EF agus poinnte áirithe amach uaidh é B. Ceangail B do phoinnte ar bith atá ar EF, do C cuir i gcás, agus leig le BC go D agus bíodh C.D agus BC comhada. Cá bhfuil rian-phoinnte D, agus C ag gluaiseacht ar feadh EF. 4. Dhá phoinnte áirithe iad A, B. Tarraing líne díreach ar bith thré A agus tarraing BL ingearach leis. Cá bhfuil rian-phoinnte L, agus A.L ag casadh thart timcheall ar A? (Féach ceist a 7 Cl.. XXIV.). 5. Dhá líne dhíreacha iad DE, DF agus iad dronuillinneach le n-a chéile sa bpoinnte D. Dhá phoinnte iad A, B, atá ag gluaiseacht ar feadh DE, DF agus 4 hórlaí d'fhad i gcomhnuidhe eatortha. Cá bhfuil rian-phoinnte de lár- phoinnte AB? <L 85> 6. Poinnte istigh i gcearcall é P. Lár-phoinntí na línte díreacha a tarraingightar ó P go dtí an tim cheallaí, cá bhfuil a rian-phoinntí sin (1) nuair isé P lár an chearcaill, nuair (2) nach é P lár an chearcaill? 7. Líne díreach é AB agus é ag gearradh cearcaill áirithe, agus poinnte istigh sa gcearcall é P. Sbáin cén chaoi a dtarraingeofaí líne díreach CD, thré P, ceann de a bheith ar AB agus an ceann eile dhe ar an timcheallaí, agus CP agus DP a bheith comhada. Cé mhéad líne dhíobh is féidir a tharraint? An féidir an cheist a réiteach i gcomhnuidhe?
19 Dawson Street, Dublin 2
D02 HH58 +353 1 676 2570 info@ria.ie
Cookie Use
Website developed by Niall O'Leary Services
