TÚS NA CÉIMSEATAN

BROLLACH.

Is é Joseph Brown, M.A., T.C.D., a chuir i n-eagar
an chéad leabhar seo den chéimseata as a ndearna mé
an t-aistriú seo; agus is é Cormac Breathnach, Uach-
tarán ar Chumann na Múinteoirí Náisiúnta, a mhol dom
gan gach a raibh ag an mBrúnach a thabhairt liom san
aistriú, go madh leor tuairim le leath a raibh de chleach-
taí aige, agus tuille dá raibh aige nach raibh aon chall
leis faoi láthair sa nGaedhilg.

Tá sé 15 bhliana ó rinneas aistriú cheana ar an leabhar
seo, sa mbliain 1908. Bu gnáthach an uair son eagar
áirithe a bheith ar an ealadhain, ach do réir mar chuaidh
lucht na healadhaine isteach insna ceisteanna dorcha
docamhlacha a bhain léi, dhá mion-sgrúdú, fachtas
dóibh nár mhiste eagar nua a chur ar an obair. Rinn-
eadar sin, agus ní hé leagan amach Euclid a leanadar
go hiomlán. Sin é an t-údarás a bhí ag an mBrúnach
leis an gcaoi ar leag sé féin amach an leabhar seo.

Mo chuid-se dhe, bhí mé sásta leis an aistriú a
dhéanamh, agus rinneas é sin glan as a nua. D'fhága
mé an t-eagar mar bhí sé ag an bhfear eile. Tá corr-
fhocal nár chuireas síos den chor seo mar bhíodar shíos
cheana agam, agus beagán beag focal atá litrighthe
agam anois féin an dhá shlí.

Na cleachtaí atá ag gabhail le gach tairisgint tá gaol
gairid idir iad agus an tairisgint ónar fhásadar, agus má
shaothruigheann an sgoláire na cleachtaí, agus a
dtuisgint i gceart — agus níl ceachtar acu doiléir — ní
dhéanfha sé aon dearmad feasta ar an méid sin den
obair. Ach níor mhór dhó uirnis a bheith aige le n-a
dtomhaisfeadh sé uille agus achar agus líne, 'sé sin
compás agus rial agus neithe mar sin; má bhíonn an
uirnis aige agus é fhéin ghá n-oibriú is cumasach an
congnamh dhó é.

E. Ó. N.

Bleáclia,
Abráin, 1923.

Má fiafruightheach ba fiosach,
Glic an éigse fhor-cheasdach;
Fuasglann ceisd ceisd eile,
Dorus fiosa fiafruighthe.

GODFRAIDH FIONN O DALAIGH.

An fhoghluim do-gheibh duine i n-aois a leinbh
leanbuidhe
Ní bhaintear as ach tre dhóghruing, má olc
maith an chéan-fhoghluim.

SEAN-RANN.

TÚS NA CÉIMSEATAN

INNSEO SÍOS.

Sgrúduigh bloc dronuillinneach, nó bríce nó bloc
cúbac. Síneann sé i dtrí threo, 'sé sin le rádh tá fad
leithead agus tiughas ann.

Tá sé pháirt ann, ar an taobh amuigh dhe.

An falach iomlán atá mar thórainn leis, ar an taobh
amuigh dhe sin é a dhromchla, agus na sé pháirt sin iad éadain
an bhluic.

Gach éadan díobh tá sé comhréidh agus tá fad agus leithead ann

Níl aon tiughas san éadan, 'sé sin sa dromchla.

Dromchla comhréidh sin dromchla cothrom, nó coth-
román.

Gach éadan den bhloc is línte atá mar thórainneacha
leis. Cé mhéad líne le gach éadan? Isiad ciumhaiseanna
an bhluic na línte sin. Cé mhéad ciumhais ann?

Líne céimseatan níl ann ach fad, níl léithead ná tiughas
ann.

Ní féidir líne céimseatan a tharraint ar pháipéar.
Tuige? An rud a tarraingítar ar pháipéar níl ann ach
go spáineann sé céard é líne.

Trí chiumhais bluic tagann siad un a chéile i bpoinnte.
Dhá líne tórann atá leis an éadan tagann siad un a chéile
i bpoinnte. Cé mhéad treo i bpoinnte?

Ní féidir poinnte ceart a dhéanamh ar pháipéar le
peannluaidhe; teasbáineann maircín beag áit an phoinnte,
ach sin é a ndéanann sé. Do réir cinnlitreacha iseadh a
hainmnightear poinntí, agus curtar an litir i ngar don
phoinnte a bhfuil sí mar ainm air.

AN CEARCALL.

Tarraing dronlíne AB, bíodh 1.4 ór. ina fhad, agus fágh
poinnte O mar atá i bhfig. 1. Cuir an bior gear den

chompás ar an bpoinnte A, agus osgail an compás go dtí
go mbeidh an chos eile dhe ar an bpoinnte B. Fágann sin
1.4 ór. go díreach idir A agus B dhá phoinnte an chompáis.
Coinnigh dhá chois an chompáis an fhad sin ó n-a chéile, cuir
an poinnte géar dhe ar O agus cas an chos eile a bhfuil an
peannluaidhe ann thart timcheall go ndéana sé líne ar
an bpáipéar.

An líne lúbtha a rinneadh leis an bpeannluaidhe isé
tórainn an chearcaill é agus timcheallaí a tugtar air.
Stuagh cearcaill a tugtar ar chuid ar bith den timcheallaí,
ar EC cuir i gcás. Isé an poinnte O lár an chearcaill.
Ga cearcaill a tugtar ar dhronlíne ar bith atá ag dul
ón lár go dtí an timcheallaí. Isé an lárlíne an dronlíne
atá ag dul ón timcheallaí thríd an lár agus go dtí an tim-
cheallaí thall. Is gaethe iad OC, OD, OE agus is lárlíne é
DE. Cuir an poinnte géar den chompás ar an bpoinnte
O arís, agus féacha, agus tú a' tarraint an pheannluaidhe arís
ar an timcheallaí, gur b'é an fhad céadna atá ins an nga
i gcomhnuidhe atá idir dhá chois an chompáis agus dá bhrígh sin:

Tá gaethe cearcaill comhada.

Tomhais lárlíne cearcaill. An bhféadfá a fhagháil
amach gan a thomhas cé an fad atá ann? Cé mhéad lárlíne
is féidir a bheith i gcearcall? An bhfuil siad comhada?

CLEACHTA I.

1. Tarraing cearcall ar rúinne pháipéir agus tarraing
lárlíne. Gearr amach an cearcall le siosúr agus fill é
agus bíodh an fithín ar feadh an lárlíne, nó gearr ar feadh
an lárlíne agus déan dhá leith chomhmhóra den chearcall. An
dá leith a déantar den chearcall an dtuilleann siad
go cruinn ar a chéile? Leith-chearcall a tugtar ar gach
roinn díobh.

2. Tarraing cheithre chearcall agus bíodh an poinnte
céadna mar lár ionnta. 1.3 órlaí fad an ghaethe insan
gcearcall is mó, 1.1 órlaí fad an ghaethe ins an gcéad
cheann eile, .9 órlaí sa gcéad cheann eile agus .7 órlaí
fad an ghaethe sa gceann is lugha.

Ní mór an peannluaidhe a ghéarú agus béal siséil a chur air, cuir
sa gcompás é innsin sa gcaoi go mbeidh leithéad an bhéil ar
aghaidh na coise eile. Is féidir líne an-tanaidhe a tharraint le
peannluaidhe den tsórt sin líne nach mbeadh ann ach go bhfeicfí
é agus isé sin an sórt líne bu chóir a bheith mar thimcheallaí le cearcall.

3. Tarraing dronlíne AB a bheas 2 órlach ar fad.
Déan lár-phoinnte de A agus tarraing an cearcall a mbeidh
an ga 1.2 órlaí ar fad ann. Agus déan lár de B
agus tarraing cearcall eile a mbeidh an ga .8 órlaí ann.
(Fágh amach i dtosach an poinnte C insan líne AB agus bíodh
C 1.2 órlaí ó A). An gcasann na timcheallaíthe dá
chéile? An ngearrann siad a chéile?

4. Tarraing an dronlíne AB agus bíodh 3 chéadaméadar
ina fhad. Déan lár-phoinnte de A agus tarraing an
cearcall agus bíodh 5cm. ar fad ina gha. Tarraing cearcall
eile, bíodh B mar lár ann agus bíodh 2cm. ar fad ina gha.

UILLINNEACHA.

Dhá dhronlíne a tarraingítar ó phoinnte ar bith déanann
siad uille le n-a chéile insan bpoinnte sin. San bhfig.
2 cuir i gcás, déanann an dá líne OA, OB uille le

chéile insan bpoinnte O; déanann an dá líne PC, PD
uille eile le chéile san bpoinnte P; agus an dá líne RE, RF
uille eile insan bpoinnte R.

Rinn na huillinne tosaigh a tugtar ar O agus a géaga sin
iad OA, OB.

Ag ainmniú uillinne is iondamhuil go ndéantar úsáid
de thrí litir, agus thiubhrfaidhe an uille BOA nó AOB ar an
uillinn tosaigh sin thuas agus an uille CPD ar a dara huillinn.
Ní mór an litir ag an rinn a bheith idir dhá litir eile agus
iad-san a bheith ar dhá ghéag na huillinne.

Mara bhfuil aon uille ag an bpoinnte O ach aon uille
amháin ní haon dul amugha an uille O a thabhairt uirthi
agus is minic a tugtar sin uirthi. Déantar úsáid freisin
den chomhartha < ar uillinn nó den chomhartha agus
sgríobhtar an uille thosaigh sin thuas i bhfig. 2 mar so
< AOB nó AOB.

CLEACHTA II.

1. Cuir leath-chois den chompás sa gcaoi go mbeidh
an taobh istigh dhe ar feadh an líne OA, coinnigh an leath-
chois sin mar sin agus cas an leath-chois eile thart ar an tuisle
nó go mbeidh an taobh istigh dhe ar feadh an líne OB. Inn-
sin deirtar an uille atá déanta ag an gcompás go bhfuil
sí chomh mór leis an uillinn AOB. Agus nuair a fheileas
uille go cruinn d'uillinn eile deirtar go bhfuil an dá
uillinn comhmhór.

2. Féach an bhfuil an dá uillinn AOB, CPD i bhfig. 3
comhmhór agus gearr nó fill píosa de pháipéar a fheilfeas go

cruinn d'AOB (sin nó déan tarraictheoracht d'AOB)
agus cuir leis an uillinn CPD í.

Tabhair faoi deara nach gábh don dá ghéag OA, OB a
bheith chomh fada leis an dá ghéag PC, PD. Ní bhaineann
méid na huillinne le fad na ngéag agus is féidir fad
ar bith a chur as na línte OA, OB tré A agus tré B gan aon
athrú a chur ar an uillinn.

3. Tarraing an figiúir 2 nó gearr amach píosa
pháipéir a fheilfeas go cruinn don uillinn CPD. Cuir
poinnte an pháipéir atá gearrtha agad ar O agus a chorr ar
OA; féach an luigheann an corr eile ar OB nó nach luigheann
agus innis cé acu uille is mó. Cuir an páipéar innsin ar
an uillinn ERF agus a fhagháil amach ort cé acu is mó; an
uille CPD nó an uille ERF. Cé acu uille de na trí cinn
is mó agus cé acu is lugha?

4. Tarraing an uille AOB ar pháipéar. Fág poinnte
M ar OA agus poinnte eile ar OB. Cé mhéad caoi is
féidir an uille O a ainmniú?

Déantar uille má hosgluigheatar dronlíne ó dhron-
líne eile ach ceann gach líne dhíobh a bheith ina chéile.

Cuir i gcás go bhfuil an líne OA ar thuisle (Fig. 4)
insan bpoinnte O agus go gcastar amach é ar an gcothrom

ón ionad OA go dtí ionad eile OB is amhlaidh deirtar go
gcastar thríd an uillinn AOB é. Má castar go dtí OC é
is í AOC an uille a gcastar thríthe é, agus má castar go dtí
OD é isí AOD an uille a gcastar thríthe é. Cé'n uille
a gcastar an líne thríthe má castar ó OB é go dtí OC?
Agus má castar an líne ón áit OC go dtí an áit OD cén
uille a gcastar an líne thríthe?

CLEACHTA III.

AN DRONUILLE.

Fágh píosa páipéir agus bíodh corr dhe díreach, mar tá AC
i bhFig. a 5 cuir i gcás. Fágh poinnte D ar an líne AC,
gar do A, agus fill an páipéar ionnus go dtuitfe an poinnte
C ar D, EC den chorr díreach a bheith na luighe ar feadh
ED Fig. 6. Cuir fithín sa bpáipéar ar feadh EF agus osgail
amach ar an gcothrom arís é. Bhfuil an uille AEF chomh
mór leis an uillinn CEF? Tuige?

Dronuille a tugtar ar an uillinn AEF agus dronuille
ar an uillinn CEF.

2. Uille ar bith atá chomh mór leis an uillinn AEF is
dronuille í. Féach, leis an bpíosa pháipéir atá fillte
(nó le píosa de na píosaibh atá gearrtha ar feadh EF)
féach an dronuille í an uille atá ag coirnéal an leath-
anaigh seo.

Féach le huillinneachaí eile é chomh maith; le na huill-
inneachaí atá ag coirnéil cláirín do bhosga cailce, nó
ag coirnéil an chláir duibh.

An dronlíne EF deirtear go bhfuil sé dronuillinneach
nó ingearach le AC nó le EA nó le EC.

Tá an comhartha seo i n-úsáid ar son an fhocail ingearach

Géaruille, sin uille is lugha ná dronuille.

Maoluille, sin uille is mó ná dronuille.

3. Fágh píosa pháipéir gan aon chorr dhe a bheith — díreach.
Fill é, agus bíodh an fithín gar dá lár i n-áit eicínt. An
dronlíne é an fithín seo? Fill arís é agus bíodh cuid den
fhithín go cruinn ar feadh an fhithín eile. Osgail amach
innsin an páipéar agus chífe tú dha fhithín treasna ar a chéile.
Cé mhéad uillinn déanta ag an dá fhithín? An bhfuil siad
comhmhór? Tuige? Céard a tugtar ar gach uillinn
díobh?

An uille atá déanta ag líne nuair a castar thart tim-
cheall ar a cheann go hiomlán é cén chuid di sin an
dronuille?

4. Gearr amach dronuille AEF as píosa pháipéir agus
fill é ionnus go dtuitfe EF ar EA. An dteidheann an
fithín thré E? Má's poinnte é H ar an bhfithín (Fig. 7)
an bhfágann sin an uille AEH a bheith chomh mór leis an
uillinn HEF. Tuige? Cé'n chuid de dhronuillinn an uille
AEH? Is amhlaidh go ndéanann an dronlíne EH dhá leith
den uillinn AEF agus dháleathóir na huillinne a tugtar ar
an líne.

5. Má ghníonn an dá dhronlíne EM, EN dhá leith den dá
uillinn AEH, HEF (Fig. 7) cé mhéad cuid comhmhór atá
déanta den uillinn AEF? Cén chuid den dronuillinn

an uille AEM? Cén chuid de dhronuillinn an uille HEN?
Cén chuid de dhronuillinn an uille MEN? Cén chuid de
dhronuillinn an uille MEF?

DE THOMHAS NA nUILLINNEACHA.

Is amhlaidh tomhaistear an dronuille 90 (nochad) uille
chomhmhóra a dhéanamh dhi, agus grádh a tugtar ar gach uillinn
díobh: fágann sin 45 grádha i leath dronuillinne (45°, is
mar sin a sgríobhtar é) agus 60 grádh (60°) i dhá-dtrian
dronuillinne.

CLEACHTA IV.

Cé an chuid de dhronuillinn atá insa timcheall a dteidh-
eann lámh mhór an chluig thríd i n-imtheacht (1) 15 noiméad,
(2) 5 noiméad, (3) 20 noiméad, (4) 35 noiméad, (5) 7
noiméad? Cé mhéad grádh ins gach uillinn díobh?

Cé'n chuid de dhronuillinn atá déanta ag láimh an chluig
leis an láimh eile ag an (6) 3 a chlog? (7) 1 a chlog?
(8) 9 a chlog? (9) 8 a chlog? (10) 2 a chlog? (11) leath
uair thréis a 5? (12) leath uair thréis a 10? (13) ceathrú
thréis a dó-dhéag? Teasbáin le tarraictheoireacht an
chruth atá ar an uillinn gach am díobh agus innis an géar-
uille, dronuille nó maoluille í. Cé mhéad grádh ins gach
uillinn díobh?

Rialghrádh a tugtar ar an uirnis a dtomhaistear uill-
inneacha leis: tá dhá chineál díobh ann agus spáintear iad
san dá fhigiúir 8 agus 9.

An ceann a bhfuil an chruth leith-chearclach air an ceann
is gnáthach a bheith i n-úsáid i sgoileannaibh agus miotal an
mianach atá ann nó cellúloid. Tá anga i lár (O) an
chiumhasa BA, agus is ar a bharr sin a tugtar bata an rial-
ghrádha. Tá marcanna roinne ar an gcuimhais atá lúbtha,
agus uimhreacha ortha ó 0 go dtí 180, a dtús ag A agus a ndeire
ag B: tá sreath eile uimhreacha ar an gcuimhnais amuigh a
dtús ag B agus a ndeire ag A. uimhrighthe ó 0 go dtí 180.

Cé mhéad grádh i ndá dhronuillinn? Cé mhéid roinn ó A
go B insan gciumhais cearcalda? An bhfuil siad comhmhór?
Céard a bhfreagruigheann gach roinn acu dhó?

A' tomhas uillinne dhuit socruigh an rialghrádh sa gcaoi
go mbeidh an bata (O) ag rinn na huillinne agus OA nó OB
a bheith go cruinn ar feadh géag na huillinne; tabhair faoi
deara innsin an roinn den rialghrádh a bhfuil an ghéag
eile faoi. An uille SOL, cuir i gcás, i bhFig. 8 45°
atá innti agus 137° insan uillinn SOM, má chomhaireann
tú ón marc O ag A: 43°.

Is féidir uille a thomhas go dtí an cúigmhadh cuid de ghrádh ach
rialghrádh réasúnta mór a bheith agat, ceann a mbeidh 2 órlach ar
fad ina gha, má bhíonn ceann níos lugha ná sin agad is féidir an
uille a thomhas go dtí leath grádha. Ach is fearr don mhac léighinn
gan bacadh le cuideanna na huillinne ar dtús ach a bheith sásta
más féidir leis an uille a thomhas agus a innsint cé mhéad grádh
innti.

An sórt rialghrádh atá i bhFig. 9 tá a chiumhaiseanna
maoluighthe agus is féidir rialóir a dhéanamh dhe; tá sé

iórlaí ina fhad agus is rialóir adhmuid é. Tá na huimhreacha
air do réir an ghrádha agus is féidir leas a bhaint as mar
bhainfí as an rialghrádh cearcalda. Na roinneanna atá
ar an gciumhais níl siad comhmhór, ach beidh siad comhmhór
má leigtar le na línte roinne siar go dtí O.

CLEACHTA V.

1. Tarraing trí dronlínte OA, OB, OC ar pháipéar
agus tagaidís ina chéile mar tá siad i bhFig. 10. Tomhais na
huillinneacha AOB, BOC: uillinneacha comhgaracha a
tugtar ortha; cuir a suim i gceann a chéile agus tomhais an
uille AOC go bhfeice tú an bhfuil an toradh agad go cruinn.

2 Tarraing cheithre dronlínte OA, OB, OC, OD, agus
tigidís ina chéile insan bpoinnte céadna O, Fig. 11.
Tomhais na huillinneacha AOB, BOC, COD. Cuir suim
na dhá uillinn AOB, BOC le chéile agus tomhais AOC go bhfeice
tú an bhfuil an toradh ceart agad. Cuir suim na dhá
uillinn BOC, COD le chéile agus tomhais DOB go bhfeice tú
an bhfuil an ceart agad. Cuir suim na dtrí uillinn AOB,

BOC, COD le chéile agus tomhais an uille iomlán AOD,
féachaint an bhfuil an toradh ceart agad.

3. Déan cóip de gach uillinn den fhíor-chearnóig, i
ndiaidh a chéile, agus tomhais í. Coinnigh an fhíor-chearnóg
ar an bpáipéar go láidir leis an gciotóig agus an coirnéal
atá tú a tharraint bíodh sé dírighthe ar bharr an leathanaigh;
tarraing línte leis an dá chiumhais ach ná tarraing go
dtí an coirnéal iad. Leag uait an fhíor-chearnóg, fagh
an rialóir, leig leis an dá líne nó go dtige siad ar a
chéile.

4. Tarraing cearcall a mbeidh 2 órlach ina gha: ná
déan aon athrú ar an gcompás agus fagh cheithre phoinnte A, B,
C agus D, ar an timcheallaí, ionnus go mbeidh A 2 órlach ó
B, B 2 órlach ó C, agus C 2 órlach ó D. Ceangail an
lár O do gach poinnte de na poinntí agus tomhais na huill-
inneacha AOB, BOC, COD.

5. Réitigh ceist a 4 má tá an ga 2½ órlach, agus gach aon
dá phoinnte 2 órlach ó chéile.

6. Réitigh ceist a 4 má tá an ga 1.8 órlach agus gach aon
dá phoinnte 1.8 órlach óna chéile. Ceangail A do B
agus tomhais na huillinneacha OAB, OBA. Céard tá le rádh
agad i dtaobh na n-uillinneacha AOB, OAB, OBA?

7. Uille a dhéanamh a mbeidh méid áirithe innte — 65°
cuir i gcás. Cuir poinnte ar an bpáipéar agus tabhair O
air; cuir bata an rialghradha ar an bpoinnte seo agus déan
dhá mharc bheaga ar aghaidh marcanna roinne a 10° agus a
75° déan sin le bior do chompáis nó le peannluaidhe géar.
Tabhair A agus B ortha. Ceangail an dá phoinnte sin
do O agus sgríobh síos 65° insan uillinn AOB.

Is féidir dhá roinn ar bith a thoghadh ar an rialghrádh ach 65° a
beith eatortha.

Má tá fhios agad leath-ghéag na huillinne (OA) agus an
rinn (O) tógtar mar sin thuas é freisin. Má theas-
tuigheann uait uille a dhéanamh a bheas 50° ag O agus gurb é
OA an leath-ghéag. Cuir bata an rialghradha ag O agus a
bhonn ar feadh OA; cuir an marc B ar an bpáipéar ar

aghaidh an mhairc 50°, ach go gcomhaire tú ón 0 (neimhní)
atá ag A. Ceangail O do B agus sgríobh 50°, mar sin é méad
na huillinne AOB.

Nó mar so: fágh an rialghrádh dronuillinneach, cuir a
bhata ag O agus cuir an marc roinne atá ag 50° ar an
líne OA; tarraing líne ó O ar feadh bonn-líne an rial-
ghrádha nó go mbeidh an uille atá uait déanta le OA agad.

CLEACHTA VI.

1. Tóg uillinneacha leis an rialghrádh agus bídís 30°, 45°,
68°, 125°, 151°. Agus innis cé acu an mhaoluille agus cé acu
an ghéaruille.

2. Bíodh an uille AOB 70°. Cuir uille le OA .i. AOC,
agus bíodh sí 35° agus bíodh OC ar an taobh céadna de AO a bhfuil
OB ann. Tomhais an uille COB. An bhfuil dhá leith déanta
den uillinn AOB?

3. Déan cóip d' uillinn de na huillinneacha beaga ar
d' fhíor-chearnóig. Tomhais í agus déan dhá leith dhi mar
rinneadh i gceist a 2.

4. Déan uille a mbeidh 130° innti .i. AOB. Déan dhá
leith dhi leis an rialghrádh.

5. Déan uille AOB agus bíodh sí 75°. Leig le AO thré O
go dtí an poinnte C. Tomhais an uille COB. Cé mhéad
é suim na dhá uillinn AOB, COB?

6. Má bhíonn an uille AOB 53° i gceist a 5 réitigh an
cheist.

7. Má bhíonn an uille AOB 131° i gceist a 5 réitigh í.

8. Cuir na trí thoradh sin i gcomortas le n-a chéile.
Is cuma cén mhéid atá san uillinn AOB cé'n rud atá
fíor i gcomhnuidhe ina taobh? Cruthuigh sin de dhruim méid
áithrid a cheapadh dhuit féin a bheith insan uillinn.

DE NA TRIANTÁIN

innso síos.

Figiúir comhréidh, sin aon chuid de chothromán a bhfuil
líne nó tuille agus aon líne amháin mar thórainn leis. An
figiúir comhréidh é cearcall? Cé an tórainn atá leis?
Cé an t-ainm atá ar an tórainn? Teasbántar figiúir
(Fig. 12) a bhfuil trí dronlínte mar thórainn leis. Trian-
tán a tugtar air. Féach go bhfuil trí uillinn air (uime
sin an t-ainm triantán), agus trí beara a dtugtar na lit-
reacha A, B, C ortha. Sleasa an triantáin a tugtar
ar na dronlínte AB, AC, BC. Bonn an triantáin a
tugtar go gnáthach ar an slios AC; féachann an triantán
a bheith na sheasamh air sin; bior an triantáin a tugtar
ar B, an poinnte atá ar a aghaidh sin, agus an uille rinneach
ar an uillinn ABC; uillinneacha an bhuinn a tugtar
ar na huillinneacha eile.

CLEACHTA VII.

1. Déan uille ACB a bheas 64°. Cuir marc ar an ngéig
CA, 2.5 órlaí ó C agus marc eile ar an ngéig CB 3.1 orlaí
ó C agus ceangail A do B. Tomhais an uille A, agus an uille B
agus an slios AB. Tá ort suim méid na dtrí uilleann
A, B, C a fhagháil amach.

Nuair atá ort triantán a thógáil, nó figiúir ar bith eile, agus
fad nó méid áirithe ar bith a bheith ionnta tarraing go réidh-
chúiseach é i dtosach agus sgríobh síos air an fhad nó an mhéid eile atá

le cur ionnta. Nuair a tugtar órlaí bíodh órlaí insa bhfreagra
agad, ach bíodh ceadaméadair agad má tugtar dhuit an tomhas
sin.

Tóg triantáin ABC a mbeidh an tomhas seo síos ionnta;
agus tá ort na dúil eile atá ionnta a thomhais mar thomhais
tú iad i gceist a 1.

2. An uille ACB a bheith 60°, CA a bheith 5.8cm., CB
5.8cm.

3. An uille ABC a bheith 75°, BA a bheith 4.9cm., BC
6.2cm.

4. An uille BAC a bheith 82°, AB a bheith 3.7 órlaí,
AC 1.7 órlaí.

5. Cuir 3 hórlaí i bhfad an dronlíne AB. Cuir 50° san
uillinn BAF agus cuir 60° i n-uillinn eile ABC ar an taobh
céadna de AB. Tagann AF agus BC ar a chéile sa bpoinnte
C. Tomhais na sleasa eile agus méid na huillinne eile sa
triantán ABC. Tá ort a fhagháil amach cé mhéad é suim
na n-uillinneacha.

Tóg na triantáin ABC agus an tomhas seo síos ionnta:
agus tomhais na huillinneacha eile agus na sleasa eile.

6. AB a bheith 5.5cm., an uille A 48°, an uille B 69°.

7. AC a bheith 2.1 órlach, an uille A 112°, an uille
C34°.

8. BC a bheith 1.5 órlach, an uille B 65°, an uille C 95°.

9. Tá fáighte amach agad anois ce'n mhéid atá i suim
na n-uillinneacha ins gach triantán de na hocht gcinn
sin thuas. Sgríobh i gcolamhan iad agus sgríobh freisin an
fhírinne, dar leat, atá ag baint le huillinneachaí triantáin
ar bith. Tá an uille B 51° i dtriantán, an uille C 58°,
cé'n mhéid atá san uillinn A? Tóg an triantán sin go
bhfeice tú é bheith fíor.

10. Tóg triantán agus gearr amach é. Gearr dhe na coir-
néil nó stróic dhe iad agus feil le chéile iad ionnus go mbeidh
na rinneacha i n-aon phoinnte amháin; tá ort a fhagháil
amach ar an gcuma sin cé'n mhéid atá insna trí huillinn-

eacha i dteannta a chéile. An gcruthuigheann sin gur
fíor an rádh a sgríobh tú síos i gceist a 9?

Tóg triantáin ABC a mbeidh an mhéid seo síos insna
sleasaibh agus insna huillinneachaibh agus tá ort na sleasa eile
a thomhas.

11. AB a bheith 4.3 órlaí, an uille A 39°, an uille C 80°.

12. BC a bheith 7.8cm., an uille A 67°, an uille C 46°.

13. AC a bheith 9.2cm., an uille A 50°, an uille B a
bheith chomh mór leis an uillinn C. Tomhais na sleasa eile.

14. AB a bheith 3.5 órlaí, na trí uillinn A, B, C a bheith
chomh mór le chéile. Tomhais na sleasa eile.

CLEACHTA VIII.

Ceathairshleasán sin figiúir a bhfuil cheithre dron-
línte mar thórainn leis. Teasbántar ceathairshleasán
ABCD sa bhFig. 13. Treasnáin an cheathairshleasáin a
tugtar ar na dronlínte AC, BD a cheanglas na rinneacha
atá ar aghaidh a chéile. Is iad na huillinneacha DAB,
ABC, BCD, CDA uillinneacha an cheathairshleasáin agus is
féidir na huillinneacha A, B, C, D a thabhairt ortha.

Bíodh an dronlíne AB 3 hór. Bíodh an uille BAD 75°
agus bíodh AD 1.9 ór. Bíodh an uille ABC 80° agus bíodh BC
2.5 ór. Ceangail C do D. Tomhais an dá uillinn C, D,
agus fágh amach cé mhéad é suim na n-uillinneacha A, B, C, D.

2. Tóg an ceathairshleasán ABCD; bíodh AB 2.2 ór.
BC 2 ór. an uille A 84°, an uille B 79°, an uille C 101°.

Tomhais CD agus an uille D. Cé mhéad é suim na n-uill-
inneacha A, B C D?

TRIANTÁIN.

CLEACHTA IX.

1. Cé leis a bhfuil suim trí uillinn triantáin chomh
mór? Má tá 71° san uillinn A, agus 53° san uillinn B,
cé mhéad grádh san uillinn C? An géaruillinneacha, dron-
uillinneacha nó maoluillinneacha iad sin?

Triantán géaruillinneach, tá gach uille dhe géar.

2. Is dronuille í an uille A insan triantán ABC.
Cé'n sórt uillinneacha iad B agus C? Tuige?

Triantán dronuillinneach, tá uille dhe 'na dronuillinn

3. Tá an uille B 116° insan triantán ABC. An géar-
uille nó maoluille í? Cén sórt uillinneacha iad A agus C?
Tuige?

Triantán maoluillinneach, tá uille dhe maol.

4. An bhféadfadh triantán comhshleasach a bheith dron-
uillinneach?

Tóg an triantán ABC agus an uille A dronuillinneach
ann agus dhá shlios de comhada. Déan méid na n-uillinneacha
eile a thomhas agus a áireamh.

5. Tóg an triantán ABC agus bíodh AB 8cm. ann.,
AC 7cm. Agus an uille A 120°. Tomhais BC. Cé'n sórt
triantán é ABC?

6. An bhféadfadh triantán comhchosach a bheith dron-
uillinneach? An bhféadfadh sé a bheith géaruillinneach?
An bhféadfadh sé a bheith maoluillinneach?

Feach le triantán a thógáil de gach sórt díobh — an trian-
tán ABC — agus an uille A 40° ann.

ANT INGEAR.

CLEACHTA X.

1. Tarraing ar do pháipéar an dronlíne AB, mar
spáintear é sa bhfigiúir 14, agus cuir an fíor-chearn sa gcaoi
go mbeidh an chiumhais ghearr dhe go cruinn ar feadh AB.
Tarraing líne ar feadh na ciumaise PS go dtí S, beagnach;
cuir uait an fíor-chearn agus leig leis an líne sin le cong-
namh an rialóra go dtige sé ar AB insan bpoinnte N.
Cuir an marc C ar an gceann eile den líne. Is dron-
uille í an uille ANC. Tuige? Cuir uille an fhír-chearn
.i. PSR anuas ar an uillinn BNC. An dronuille í seo?
Ce'n bhaint atá ag CN le AB?

Acht ní cóir an modh sin a leanacht ag cur ingear le
líne AB má tá ort ant ingear a chur thré phoinnte áirithe,
bíodh an poinnte sin ar AB nó ná bíodh. Seo é síos an
modh ceart.

2. Tarraing an dronlíne AB agus cuir an marc C os a
chionn. Cuir an fíor-chearn síos mar tá PSR sa gcaoi
go mbeidh SR go cruinn ar feadh AB. Coinnigh greim maith
ar an bhfír-chearn leis an láimh dheis, agus leis an láimh chlé cuir
an rialóir TU le ciumhais PR. Coinnigh greim maith ar
an rialóir ina áit ar an bpáipéar agus sgiorr an fíor-

chearn suas go dtí an áit p s r, ionnus go mbeidh C ar an
gciumhais p s. Bu cheart an fíor-chearn a choinneál go
dlúth san ionad sin leis an gciotóig agus an líne CN a tharr
aint. Tá CN ingearach le AB.

Ciumhais an rialóra a sgiorann an fíor-chearn air ní mór dhó
a bheith tiugh, sin nó sgiorfaidh an fíor-chearn os a chionn. Fíor-
chearn eile nó ciumhais díreach ar bith dhéanfadh sé cúis chomh maith
leis an rialóir.

3. Tarraing an dronlíne AB agus bíodh sé 3 hór. Déan
dhá leith dhe sa bpoinnte M, le congnamh an rialóra
órlaigh. Tarraing ingear le AB tré M agus ar an modh atá
luaidhte i gcleachta a 2 thuas. Bain an fhad 2 ór, den
ingear MC. Ceangail AC de BC agus tomhais a bhfad.

4. Tarraing an triantán ABC, bíodh a bhonn AB 7cm.,
bíodh AC 8cm., agus bíodh BC 6cm. Tarraing ant ingear
CN ó C go dtí AB. Tomhais AN.

5. Tarraing an triantán ABC, bíodh AB 4.8 hór.,
BC 2 ór., agus an uille B 90°. Déan dhá leith d'AB sa
bpoinnte M. Tarraing MF ingearach le AB agus tagadh sé
ar AC sa bpoinnte F. Tomhais AF, CF agus MF.

6. Tarraing an triantán ABC, bíodh AB 7.5cm.,
AC 7cm., agus BC 6.5cm. Tarraing CN ingearach le AB.
Tomhais AN, BN, CN.

Isé fad poinnte ó líne fad an ingir atá ón bpoinnte
go dtí an líne. Ionnus go bhfuighe tú amach gur 5.6 ór.
atá an poinnte C ó AB i gcleachta a 6.

7. Tarraing BM ingearach le AC insan triantán
céadna, agus tomhais AM, BM. Ceangail A do O, an poinnte
ina ngearrann BM CM. An amhlaidh atá fad as AO
dronuillinneach le BC? Cáide B ó AC?

DEN CHOMHTHREOIR.

CLEACHTA XI.

1. Fágh leathanach páipéir a mbeidh línte tarraingthe air;
cuir an rialóir treasna air ar leathtaobh an leathanaigh
agus bíodh marcanna na míleméadair ar an rialóir. Féach
an bhfuighfeá dhá líne atá an oiread seo míleméadar go
díreach ó na chéile; cuir marc ar na línte agus cuir síos
cé'n fhad atá siad óna chéile. Tá ort a fhagháil amach cé'n
fhad óna chéile an dá líne sin ar an leathtaobh eile den
leathanach. Dá bhféadtaí fad a ndóthain a chur as an dá
líne sin i n-aon treo, an gcasfaidís dá chéile, measann
tú?

Línte atá sínte insan gcothromán céadna agus nach
gcasann dá chéile is cuma cé'n fhad a curtar asta i
n-aon treo is amhlaidh atá siad sin comhthreormhar.
Tá an comhartha seo i n-úsáid amanna i n-áit an fhocail
comhthreormhar.

2. Leathanach a bhfuil línte air cuir marc le peann-
luaidhe, agus le congnamh rialóra, ar dhá líne dhíobh a thiubhras
dhá ghiota acu dhuit .i. AB, CD. Fágh poinnte H ar
an líne AB, teaspáintar é sa bhFig. 16, agus tarraing an
líne EF thríd go dtige sé ar CD sa bpoinnte G.

Tomhais an dá uillinn BHF, DGF. Uillinneacha comh-
freagarthacha a tugtar ortha. An bhfuil siad chomh mór
le chéile? Cuir ainm ar na cúplaí uillinneacha comh-
freagarthacha eile atá sa bhfigiúir agus tomhais iad.

3. Tarraing dhá líne eile mar iad sin .i. AB, CD ach
bídís níos fuide óna chéile ná an péire sin. Tarraing
líne a ghearrfas iad ar a mhalthruid de shlighe thar mar
ghearras EF iadsan thuas sa bhFig. 16. Cuir comharthaí
ar na huillinneacha comhfhreagarthacha agus tomhais iad. An
bhfuil siad chomh mór le chéile?

4. Déan cleachta a 2 arís ach an líne EF a chur treo
nach raibh sé agad ann cheana.

5. Tarraing dronlíne AB agus fágh dhá phoinnte P, S air
agus bídís órlach óna chéile, mar tá siad sa bhFig. 17. Tarr-
aing PM agus bíodh an uille APM 60°. Tarraing SR agus bíodh
an uille ASR 60°. Cuir fad as PM agus as SR ins an dá
treo. Tomhais ina mhíleméadrachaibh cé'n fhad atá an dá
líne seo óna chéile i bpoinntibh éagsamhla. An bhfuil na
línte sin comhthreormhar?

6. Déan cleachta a 5 arís ach an dá uillinn APM,
ASR a bheith 100° an ceann.

7. Déan arís cleachta a 5 ach an dá uillinn APM,
ASR a bheith 90c an ceann. Is féidir úsáid a bhaint as
an bhfíor-chearn insan gcás seo i n-áit as an rialghrádh.
An bhfuil sé iontuigthe agad ó na cleachtaí 2–6:—

(1) Má ghearrann dronlíne dhá líne chomhthreormhara go
bhfuil na huillinneacha comhfhreagarthacha comhmhór?

(2) Má tá na huillinneacha comhfhreagarthacha comhmhór
go bhfuil na dronlínte comhthreormhar.

CLEACHTA XII.

1. Tá orm dronlíne a tharraint tré phoinnte áirthei
agus é a bheith comhthreormhar leis an dronlíne áirthei AB.

Tarraing an dronlíne AB agus cuir síos comhartha an
phoinnte C tuairim le 2 órlach uaidh. Cuir an fíor-chearn
ar an bhfigiúir san áit a bhfuil PSR, agus bíodh PR go cruinn
ar feadh AB. Coinnigh an fíor-chearn san áit a bhfuil sé
agus cuir rialóir TU isteach leis sa gcaoi go dteagmhóchaidh
sé leis an gciumhais SR. Coinnigh an rialóir ina áit
anois agus sleamnuigh an fíor-chearn suas go dtí go mbeidh
sé san ionad s r p, agus go mbeidh a chiumhais r p ag dul go

díreach thríd an bpoinnte C. Tóg an chiotóg den rialóir
agus cuir ar an bhfíor-chearn í i n-áit na láimhe deise. Tarr-
aing an dronlíne thré C.

An bhfuil an uille PRS chomh mór leis an uillinn prs?
Tuige? An uillinneacha comhfhreagarthacha iad sin?

2. Tarraing dronlíne AB. Fagh poinnte ar bith ar
an líne, H cuir i gcás. Tarraing thré H an líne HL
ingearach le AB agus bíodh 1.4 ór. ina fhad. Tarraing an
dronlíne CD tré L comhthreormhar le AB. Tomhais na
huillinneacha atá déanta ag HL le CD. Tarraing dron-
líne eile .i. EF ingearach le AB (E ar AB agus F ar CD).
An bhfuil EF ingearach le CD? Tomhais EF. Tarraing
an treas dronlíne ingearach le AB agus tomhais an méid
de atá idir AB agus CD .i. MN. Cé'n fhad atá ó AB go dtí
L? go dtí F? go dtí N?

Is amhlaidh adeirtar go bhfuil CD comhthreormhar le AB
agus go bhfuil sé 1.4 ór. uaidh.

3. Tarraing dhá líne chomhthreormhara agus dronlíne eile
ghá ngearradh, ionnus go mbeidh 70° san uillinn atá ag f.
Cuir a, b, c, agus rl. mar mharcanna ar na huillinneacha eile,
mar tá siad sa bhFig. 19. Tomhais na hocht n-uillinn agus
innis cé acu atá comhmhór. Uillinneacha umthanacha atá
ar an dá cheann c, f. An bhfuil siad comhmhór? Cuir ainm
ar dhá uillinn umthánacha eile agus innis an bhfuil siad comh-
mhór. Uillinneacha seachtaracha a tugtar ar na huill-
inneacha a, b, g, h; uillinneacha inmheadhonacha ar c, d,
e, f. Uillinneacha inmheadhonacha ar an taobh céadna

den líne (a ghearras an dá líne eile) iad d. f. Cé
mhéad é a suim

4. Tarraing dronlíne AB agus bíodh sé 2 ór. Bíodh 30°
san uillinn BAC déan uille eile .i. ABD a mbeidh 30°
innti ar an taobh all de AB ó C. Innis, le congnamh an
rialóra agus an fhíor-chearn mar rinnis i gcleachta a 1 an
bhfuil BD agus AC comhthreormhar. Bain 2.5 ór. d'AC agus
2.5 ór. de BD. Ceangail C do B agus A do D, agus tá ort
a fhagháil amach an bhfuil na línte sin comhthreormhar. Cé'n
fhad BD ó AC?

5. Tarraing triantán ABC agus bíodh na trí línte comhada
.i. AB=AC=BO agus iad 7.5cm. an líne.

Tá ort poinnte H a fhagháil agus é 2.5cm. ó AC agus ar an
taobh céadna dhe a bhfuil B. Tarraing an líne PT thré H
comhthreormhar le AC.

Tá ort poinnte eile fhagháil .i. L 2 ór. ó AB agus ar an
taobh céadna dhe a bhfuil C. Tarraing líne RS thré L
comhthreormhar le AB.

An poinnte O an áit a ngearrann an dá líne comh-
threormhara PT, RS a chéile, cén fhad an poinnte sin
ó AC? Cé an fhad é ó AB? Tomhais a fhad ó BC.

6. Tarraing triantán ABC, bíodh AB 8.5cm., bíodh
AC 6.8cm., agus bíodh BC 5.1cm. Cá bhfuil an poinnte O
istigh sa triantán atá 1.7cm. ó AC agus é 1.7cm. ó BC.
Tomhais cé an fhad é ó AB.

CLEACHTA XIII.

TREOLÍNTEÁN, DRONUILLEOG, CAMCHEARN,
CEARNÓG.

1. Bíodh an uille BAD 70°, bíodh AB 2.5 ór., bíodh AD
1.7 ór.: tarraing BC thré B agus bíodh sé comhthreormhar
le AD, agus tarraing DC thré D agus bíodh sé comhthreormhar le
AB. Tomhais BC, CD agus an uille C. Treolínteán a
tugtar ar an bhfigiúir a bhfuil cheithre sleasa leis, agus gach
aon dá shlios de atá ar aghaidh a chéile, iad comhthreormhar

2. Tarraing treolínteán ABCD, bíodh an uille B
60° ann, bíodh 8cm. ar fhad sa líne AB, agus 5cm. ar
fhad sa líne BC. Tomhais AD, CD agus na huillinneacha eile
.i. A, D, C. Cé'n mhéid atá i n-iomlán na dhá uillinn B
C? agus i n-iomlán na dhá uillinn A,D?

3. Tarraing dhá líne chomhthreormhara: tarraing dron-
líne eile agus gearradh sé iad insna poinntí L, M, agus líne
eile a bheas comhthreormhar leis sin agus gearradh sé iad
insna poinntí R.N. Tomhais sleasa agus uillinneacha an
treolínteáin LMNR, agus innis cé acu atá comhmhór.

4. Ar an tslighe chéadna tarraing treolínteán eile agus
taréis na sleasa agus na huillinneacha a tomhas duit innis
rud ar bith a fuairis amach i dtaobh (1) sleas agus (2) uill-
inneacha na dtreolínteán.

Tabhair faoi deara. — I gCúrsa na Céimseatan
Indéanta níl sé ionráidhte gur cruthuigheadh na tortha a
fríth. Níl ionnta ach gur tasbáineadh i gcásaibh sonn-
radhacha a mbeith fíor, tré n-a dtomhas. Céimseata
Teoiriceach atá innseo síos leagtar amach cruthuighthe
generáilte dolúbtha i n-altaibh ar leith agus tugtar “Tairis-
giona” ortha.

CÉIMSEATA TEOIRICEACH.

leabhar a 1.

An oiread seo roinneanna ar leith a dtugtar Tair-
isgiona ortha sin é an rud atá i gCéimseatain teoir-
iceach. Teoragáin nó Ceisteanna iad sin.

Teoragán, sin rádh ar fhírinne chéimseatan, agus tá
leagtha amach ag duine é a chruthú.

Ceist, sin rádh ar thógáil chéimseatan agus tá leagtha amach
ag duine an tógáil a dhéanamh.

Comhthoradh teoragáin, sin rádh agus is follusach ón teor-
agán a cruthuigheadh gur fíor é.

Aithris Tairisgiona, sin innseacht generáilte ar nidh
atá le cruthú nó le déanamh.

Ins an teoragán tasbáineann an Cruthú an rádh a bheith
fíor; agus tasbáineann sé insan gceist go ndearnadh an
tógáil a bhí ceaptha a dhéanamh.

Isé an Cuir-i-gcás an rud a cuireadh i gcás insan
teoragán a bheith fíor; agus isé an Toradh an rud a cruth-
uigheadh a bheith fíor.

Cuir-i-gcás agus toradh teoragáin nuair atá siad mar
thoradh agus mar chuir-i-gcás ag teoragán eile is amhlaidh
deirtar le teoragán díobh é gurab é Aisiompodh an chinn
eile é.

Na leitreacha Q.E.D. atá le deire an teoragáin isiad
leitreacha tosaigh na bhfocal Laidne Quod erat demon-
strandum iad agus cialluigheann siad “a bhí le cruthú.”

An té a rinne go dtí seo den obair seo atá eolus
generáilte aige ar mhíniú na dtéarmaí céimseatan.
Tá roinnt sonnruighthe (nó mínighthe) téarmaí innseo síos,
agus gheobhfar tuille acu níos fuide amach nuair atá gabhadh
leo: is leor a bhfoghluim do réir mar bheas siad ag
teastáil.

SONNRUIGHTHE.

1. Roinn áirithe achair a bhfuil fad, léithead agus tiughas
ann tugtar comhdhlúth air.

2. Dromchla a tugtar ar an tórainn atá idir dhá
achar: tá fad agus léithead ach gan aon tiughas ann.

Tá dromchla nó tuille agus dromchla mar thórainn le
comhdhlúth.

3. Líne, sin rud a bhfuil fad ann, ach níl léithead ná
tiughas ann.

An tórainn idir dhá roinn de dhromchla is líne é.

4. Poinnte, sin rud a bhfuil áitiú aige, ach níl fad,
léithead ná tiughas ann.

Is poinntí atá mar dhá cheann nó mar dhá chríoch le
líne; is i bpoinnte a thigeas dhá líne ar a chéile: is
poinnte é an tórainn atá idir dhá chuid de líne.

5. Dhá chríoch de pháirt de líne, is cuma cionnus a
luigheann sé, nuair a curtar anuas ar pháirt eile iad
agus nach mbíonn aon achar idir na páirteanna tugtar líne
díreach ar an líne sin.

An sonnrú is foghainntighe dár tugadh ar líne dhíreach,
nó ar dhronlíne is é seo é b'éidir: “ní féidir le dhá
dhronlíne achar a dhúnadh isteach eatortha.” Sin é an
gnáth-fhocal dá ndearna Euclid úsáid do-chum cáilidh-
eacht na ndronlínte a chur i n-iúl agus caithfear a choinneál
is cuma cé an sonnrú eile tugtar air.

6. Líne lúbtha, nó lúb a tugtar ar líne nach bhfuil ina
líne dhíreach ná aon díreadas ann.

7. Cothromán, nó dromchla comhréidh a tugtar ar an
dromchla a bhfuil an líne atá ag ceangal dhá phoinnte ar
bith atá air, go bhfuil sin, ar a uachtar.

8. Uille (nó cúinne) an rud atá déanta ag líne le
líne eile insan bpoinnte i gcasann siad ar a chéile.

Géaga na huillinne atá ar an dá dhronlíne agus rinn
(nó bior) na huillinne atá ar an bpoinnte ina dtigeann
siad ar a chéile.

9. Uillinneacha atá insan gcotromán céadna agus ar dhá
thaobh na géige céadna uillinneacha comhgaracha a tugtar
ortha.

10. Dhá dhronuille a tugtar ar an dá uillinn chomh
garacha atá déanta ag líne le líne eile a bhfuil sé ina
sheasamh air, ach an dá uillinn a bheith comhmhór; agus is
amhlaidh deartar é go bhfuil an da dhronlíne dronuill-
inneach nó ingearach le n-a chéile.

11. Géaruille a tugtar ar uillinn is lugha ná dron-
uille.

Maoluille a tugtar ar uillinn is mó ná dronuille,
ach is lugha ná dhá dhronuillinn.

Uille aithfhillte a tugtar ar uillinn is mó na dhá
dronuillinn ach is lugha ná cheithre dronuillinn.

12. Figiúir comhréidh a tugtar ar pháirt ar bith de
chothromán a bhfuil líne nó tuille agus líne mar thórainn leis.

13. Figiúir comhréidh é cearcall agus é gabhtha taobh istigh
d'aon líne amháin a dtugtar an timcheallaí air, agus is
amhlaidh atá sé: poinnte áirithe istigh ann agus má tarraing-
ítar dronlínte uaidh go dtí an timcheallaí beidh siad sin
go léir comhada. Lár an chearcaill a tugtar ar an
bpoinnte sin.

14. Ga cearcaill atá ar an líne a tarraingítar ón
lár go dtí an timcheallaí.

Tá gaethe cearcaill go léir comhada.

15. Lárlíne cearcaill atá ar an dronlíne atá ag
gabháil ón timcheallaí thríd an lár agus go dtí an timcheallaí
thall arís. Tá a dá cheann insan timcheallaí agus é ag gabháil
thríd an lár.

16. Stuagh cearcaill a tugtar ar roinn ar bith de
thimcheallaí an chearcaill.

17. Leith-chearcall atá ar an bhfigiúir a bhfuil an
stuagh agus an lárlíne mar thórainn leis.

DEONUIGHTHE.

Na deonuighthe seo síos ní mór corr díreach agus compás
a bheith agad leo: déanfa compás freisin le achar a
roinnt agus leis an achar roinnte sin a thabhairt ó áit go
háit eile.

Deonuightar:—

1. Gur féidir dronlíne a tharraint ó phoinnte ar bith
go dtí poinnte ar bith eile.

2. Gur féidir fad ar bith, ach é bheith díreach, a chur as
líne díreach críochnuighthe ar bith.

3. Gur féidir cearcall a tharraint a mbeidh poinnte
ar bith mar lár ann agus ga ann a bheas chomh fada le líne
díreach ar bith.

GNÁTH-FHOCAIL.

Gnáth-Fhocail a tugtar ar ráidhte áirithe a bhfuil sé
chomh follusach sin a mbeith fíor agus go nglactar leo gan a
gcruthú.

1. Neithe atá chomh mór nó chomh fada le ní eile atá siad
chomh mór nó chomh fada le n-a chéile.

2. Má curtar neithe atá comhmhór nó comhada
dteannta neithe eile atá comhmhór nó comhada atá na
hiomláin comhmhór nó comhada.

3. Má baintear neithe atá comhmhór nó comhada as
neithibh eile atá comhmhór nó comhada beidh na hiarmhair
comhmhór nó comhada.

4. Má curtar neithe atá comhmhór nó comhada i dteannta
neithe eile nach bhfuil comhmhór nó comhada beidh na hiom-
láin gan a bheith comhmhór nó comhada.

5. Má baintear neithe comhmhóra nó comhada as neithibh
nach bhfuil comhmhór nó comhada beidh na hiarmhair gan a
bheith comhmhór nó comhada.

6. Neithe a bhfuil dhá mhéid nó dhá fhad an ní céadna
ionnta, nó dhá mhéid nó dhá fhad neithe comhionanna, atá
siad comhmhór nó comhada.

7. Neithe atá leath chomh mór nó leath chomh fada le neith
eile, nó le neithibh comhionanna, atá siad féin comhmhór
nó comhada.

8. Méidthe gur féidir do cheann acu comhthuitim go
beacht ar an gceann eile atá siad comhmhór.

Ionnus go mb' éidir líne nó uille nó figiúir a chur
i gcomórtas le líne nó le huillinn nó le figiúir eile, is
féidir, cuir i gcás, an líne nó an uille nó an fhigiúir a
thógáil ó na ionad (a iompodh más gadh é) agus gan athrú
crotha ná méid a chur air é chur anuas ar líne nó ar
uillinn nó ar fhigiúir eile.

Arsuidheamh a tugtar ar an gcúrsa sin agus is amhlaidh
deirtar go gcurtar méid le méid eile.

9. Tá gach uile dhronuille chomh mór le gach uile dhron-
uillinn eile.

TAIRISGINT 1. — TEORAGÁN.

An dá uillinn chomhgaracha a déantar má bhíonn
dronlíne ina sheasamh ar dhronlíne eile, i dteannta
a chéile atá siad chomh mór le dhá dhronuillinn.

Tagann an dronlíne AE ar an dronlíne BC insa
bpoinnte E.

Ionnus go gcruthófaí an dá uillinn CEA, AEB i
dteannta a chéile, a bheith chomh mór le dhá dhronuillinn.
Cuir i gcás gur tarraingeadh DE dronuillinneach le BC.

Cruthú. Tá an uille AEB chomh mór leis an dá uillinn
AED, DEB i dteannta a chéile.

Cuir an uille AEC i dteannta gach comhéid díobh.

Dá bhrígh sin tá an dá uillinn CEA, AEB, i dteannta
a chéile, chomh mór le na trí uillinn CEA, AED, DEB.

Agus an uille CED tá sí chomh mór leis an dá uillinn
CEA, AED i dteannta a chéile.

Cuir an uille DEB i dteannta gach comhéid díobh.

Dá bhrígh sin an dá uillinn CED, DEB i dteannta a
chéile tá siad chomh mór leis na trí huillinneachaibh CEA,
AED, DEB.

Dá bhrígh sin an dá uillinn CEA, AEB i dteannta a
chéile, táid siad chomh mór leis an dá uillinn CED, DEB
i dteannta a chéile.

Ach is dhá dhronuillinn iad an dá uillinn CED, DEB.
Uime sin an dá uillinn CEA, AEB i dteannta a chéile
táid siad chomh mór le dhá dhronuillinn.

Q.E.D.

COMHTHORADH 1. — Má tarraingítar dhá dhronlíne
nó tuille agus dhá dhronlíne ón bpoinnte céadna i ndron-
line agus ar an taobh céadna den líne, iomlán na n-uill-
inneacha leanamhnacha a déantar ar an gcuma sin atáid
siad chomh mór le dhá dhronuillinn.

COMHTHORADH 2. — Má tarraingítar dronlínte, uimhir
ar bith dhíobh, ó phoinnte, iomlán na n-uillinneacha lean-
amhnaca a déantar ar an gcuma sin atáid siad chomh mór
le cheithre dhronuillinn.

SONNRÚ. — Dhá uillinn i dteannta a chéile atá chomh
mór le dhá dhronuillinn tugtar foirlíon an chinn eile ar
uillinn díobh agus is amhlaidh deirtar go bhfuil an dá uillinn
foirlíonta.

Is foirlíonta atá an dá uillinn CEA, AEB i dTairis-
gint a 1, insa bhfig.

SONNRÚ. — Dhá uillinn i dteannta a chéile atá chomh
mór le dronuillinn, allroinn na huillinne eile a tugtar
ar uillinn díobh agus allronnach adeirtar atá na huill-
inneacha sin.

Is allronnach, cuir i gcás, atá an dá uillinn CEA,
AED insa bhfig. i dTairisgint a 1.

TAIRISGINT 2. — TEORAGÁN.

Má thagann dhá dhronlíne go dtí poinnte i ndronlíne
eile, agus iad a theacht air ón dá thaobh den líne, agus go
ndéanann siad an dá uillinn chomhgaracha, i dteannta
a chéile, chomh mór le dhá dhronuillinn is i n-aon
dronlíne amháin atá an dá dhronlíne sin.

Déanadh an dá dhronlíne EB, EA, agus iad ag teacht ón
dá thaobh ar an bpoinnte E, insan líne EC, déanaidís an
dá uillinn chomhgaracha, i dteannta a chéile, chomh mór le
dhá dhronuillinn

Ionnus go gcruthófaí gur i n-aon dronlíne amháin
atá EB, EA.

Tógáil. — Cuir fad as AE, thré E, go dtí poinnte ar
bith, cuir i gcás D.

Cruthú. — Ó thárla go dtigeann EC ar an dronlíne
AED,

Tá an dá uillinn AEC, CED, i dteannta a chéile, chomh
mór le dhá dhronuillinn.

Tair 1.

Ach is chomh mór le dhá dhronuillinn atá an dá uillinn
AEC, CEB. Cás.

Dá bhrígh sin, an dá uillinn AEC, CED, i dteannta a
chéile, tá siad chomh mór leis an dá uillinn AEC, CEB,
i dteannta a chéile.

Bain an uille AEC as gach comhéid díobh, agus fágfaidh sin
an uille CED chomh mór leis an uillinn CEB
uime sin caithfidh EB comhthuitim ar ED.

Ach tá ED agus EA i n-aon dronlíne amháin, do réir thógála;
uime sin tá EB agus EA i n-aon dronlíne amháin.

Q.E.D.

TAIRISGINT 3. — TEORAGÁN.

Má ghearrann dhá dhronlíne a chéile beidh na huillinn-
eacha rinneacha ar agaidh a chéile comhmhór.

Gearradh an dá dhronlíne AB, CD a chéile sa bpoinnte
F.

Ionnus go gcruthófaí gur comhmhór atá an dá uillinn
rinneacha atá ar aghaidh a chéile .i. AFD, BFC; agus freisin
gur comhmhór atá an dá uillinn rinneacha eile atá ar
aghaidh a chéile .i. AFC, BFD.

Cruthú. Ó thárla go dtigeann an dronlíne CF ar an
dronlíne AB,

uime sin an dá uillinn AFC, BFC i dteannta a chéile, táid
siad chomh mór le dhá dhronuillinn.

Tair. 1.

Ó thárla go dtigeann an dronlíne AF ar an dronlíne CD,
uime sin an dá uillinn AFC, AFD, i dteannta a chéile,
táid siad chomh mór le dhá dhronuillinn.

Tair. 1.

Dá bhrígh sin an dá uillinn AFC, BFC, i dteannta a chéile,
táid siad chomh mór leis an dá uillinn AFC, AFD, i
dteannta a chéile.

Bain an uille AFC as gach comhéid díobh agus fágfaidh sin
an uille BFC chomh mór leis an uillinn AFD.

Is féidir a chruthú ar an modh céadna go bhfuil an uille
AFC chomh mór leis an uillinn BFD.

CLEACHTA XIV.

1. Na huillinneacha ABC, ACB, ag bonn (BC), an
triantáin ABC má tá siad comhmhór, cuir fad as an
mbonn as a dhá cheann, agus innsin cruthuigh go bhfuil na
huillinneacha seachtaracha a déantar ar an gcuma sin go
bhfuil siad comhmhór.

2. Na huillinneacha ag bonn (BC) an triantáin ABC
má tá siad comhmhór, cuir fad as an dá shlios tré B agus
tré C agus innsin cruthuigh go bhfuil an dá uillinn sheachtaracha,
a déantar ar an gcuma sin, go bhfuil sin comhmhór.

3. Má ghníonn an líne EF dhá leith den uillinn AEC
(féach ar an bhfig.), agus má ghníonn an líne EG dhá leith den
uillinn CEB, cruthuigh gurab í an uille FEG leath na
huillinne AEB.

Gearr amach é agus fill é ionnus go dtuitfe EA agus EB
ar EC.

4. An dá uillinn a déantar nuair a thigeas EC ar an
dronlíne AB (féach ar an bhfig.), .i. AEC, BEC má ghníonn
an líne EF dhá leith de AEC agus an line EG dhá leith de BEC
cruthuigh gur dronuille í an uille FEG.

SONNRUÍTHE.

Triantán, sin figiúir comhréidh a bhfuil trí dron-
línte mar thórainn leis.

Ceathairshleasán, sin figiúir comhréidh a bhfuil cheithre
dronlínte mar thórainn leis. Treasnán atá ar an líne
atá ag ceangal dhá rinn atá ar aghaidh a chéile insa gceath-
airshleasán.

Iolgán, sin figiúir comhréidh a bhfuil tuille agus cheithre
dhronlíne mar thórainn leis.

Nuair nach mbíonn uille aithfhillte i n-iolgán is amhlaidh
deirtar go mbíonn sé dronnach.

Is amhlaidh bhíos triantán, bíonn sé:—

Comhshleasach nuair a bhíos na trí sleasa comhada; agus

Comhchosach nuair a bhíos dhá shlios de comhada; agus

Corruillinneach nuair nach mbíonn aon dá shlios de
comhada.

Bíonn an triantán:—

Dronuillinneach nuair atá aon dronuille amháin air.

Maoluillinneach nuair a bhíos aon uille amháin maol air.

Géaruillinneach nuair a bhíos chuid uillinneacha go
léir géar.

Taobhagán a tugtar ar an slios den triantán dron-
uillinneach atá ar aghaidh na dronuillinne.

Dhá-leathóir uillinne, sin é an líne díreach a ghníos dhá
leith cothroma d'uillinn.

An t-achar atá gabhtha istigh ag tórainneachaibh figiúire
is air a tugtar achar figiúire.

Figiúirí atá comhionann ar gach uile shlighe is amhlaidh
deirtar leo go bhfuil siad comhfheileamhnach.

Seo é an comhartha tá ar comhfheileamhnas =, agus isé
Gauss a chuir i n-úsáid é i dtosach.

TAIRISGINT 4. — TEORAGÁN.

Má bhíonn dhá shlios triantáin chomh fada le dhá
shlios triantáin eile, .i. slios agus a chomhshlios chomh fada
leis an slios eile agus a chomhshlios-san, agus an uille atá
gabhtha ag an dá shlios tosaigh chomh mór leis an uillinn
atá gabhtha ag an dá shlios eile, innsin beidh an dá
thriantán chomh mór le chéile ar gach uile shlighe.

Cuir i gcás gur dhá thriantán iad ABC, DEF,
go bhfuil an slios AB chomh fada leis an slios DE,
go bhfuil an slios AC chomh fada leis an slios DF,
agus an uille ghabhtha BAC chomh mór leis an uillinn ghabhtha
EDF.

Ionnus go gcruthófaí an dá thriantán a bheith comhmhór ar
gach uile bhealach.

Cruthú. Cuir an triantán ABC (agus iompuigh druim ar
ais é má tá gádh leis), leis an triantán DEF, agus tuiteadh
an poinnte A ar an bpoinnte D, agus tuiteadh AB ar feadh
DE.

Innsin ó thárla AB agus DE comhada, dá bhrígh sin caithfidh
an poinnte B tuitim ar an bpoinnte

agus ó thárla an uille BAC chomh mór leis an uillinn EDF;
dá bhrígh sin caithfidh AC tuitim ar feadh DF;

agus ó thárla AC agus DF comhada, dá bhrígh sin caithfidh an
poinnte C tuitim ar an bpoinnte F.

Ó thárla go dtuiteann B ar E agus C ar F, uime sin caithfidh
BC tuitim ar feadh EF. Sonn.

fágann sin an triantán ABC ag comhthuitim ar an
triantán DEF, agus dá bhrígh sin
tá an thriantán ABC chomh mór leis an triantán DEF
ar gach uile bhealach; i gcruthamhnas go bhfuil an slios
BC chomh fada leis an slios EF,
an uille ABC chomh mór leis an uillinn DEF,
an uille ACB chomh mór leis an uillinn DFE, agus
an t-achar atá faoi thriantán díobh chomh mór leis an achar
atá faoi 'n triantán eile.
Q.E.D.

Tá sé dhúil nó sé mhír ins gach triantán, mar atá trí
sleasa agus trí huillinneacha. Tá achar freisin faoi thriantán.

Ní mór a thabhairt go cruinn faoi deara gur tugadh
trí dhúil, i dtriantán Tair. a 4, a bheith comhionann le
trí dhúil comhfhreagarthacha sa triantán eile, agus na huill-
inneacha a tugadh a bheith comhmhór ionnta caithfidh siad a
bheith gabhtha ag na sleasaibh a tugadh a bheith comhada; gan
sin ní féidir a dhéanamh amach go bhfuil na duilí iarmhair
i dtriantán comhionann le na dúilibh comhfhreagarthacha
sa triantán eile.

Ionnus go gcuirfí an triantán seo sa bhfig. .i. ABC,
leis an triantán DEF, ní mór an triantán tosaigh a
fhilleadh ar an slios AB, sin nó ní thuitfe an triantán
ABC ar an taobh céadna de DE a bhfuil DEF.

CLEACHTA XV.

1. Cuir fad as dhá shlios triantáin chomhchosaigh .i.
as AB agus as AC, tré A, go dtí P agus R agus bíodh AP chomh fada
le AR; cruthuigh uaidh sin go bhfuil BR chomh fada le CP.

2. Gearrann dhá líne dhíreacha a chéile .i. AB, CD
déanann siad dhá leith dhá chéile sa bpoinnte E. Crutuigh
go bhfuil an dá thriantán AEC, BED comhmhór ar gach uile
bhealach. Innis cé na huillinneacha atá comhmhór insan dá
thriantán.

3. Tá dhá shlios chomhgaracha le ceathairshleasán agus iad
comhada. agus déanann an treasnán dhá leith den uillinn atá
gabhtha aca. Cruthuigh go bhfuil na sleasa eile comhada.

4. Dhá shlios chomhada iad AB, AC i dtriantán chomh-
chosach agus isé D lár AB agus E lár AC, cruthuigh go bhfuil
an uille AEB chomh mór leis an uillinn ADC.

5. Dhá shlios chomhada iad DE, DF insa triantán comh-
chosach DEF, agus déanann an líne díreach DL dhá leith den
uillinn EDF agus tigeann sé ar an líne EF insa bpoinnte L.
Cruthuigh go bhfuil EL chomh fada le LF agus gur dhá dhronuillinn
atá ag L.

6. Triantán é ABC agus isé M lár an líne BC; tarraing
AM ingearach le BC agus cruthuigh uaidh sin go bhfuil na sleasa
AB, AC comhada.

7. Sleasa comhada le triantán comhchosach iad LM,
LN; cuir fad as LM go dtí R agus as LN go dtí go mbeidh
sé féin agus MR comhada ag S. Ceangail M do S agus N do
R agus cruthuigh uaidh sin go bhfuil an dá uillinn R, S comhmhór
agus an dá shlios MS, NR comhada.

TAIRISGINT 5. — TEORAGÁN.

Má tá dhá shlios triantáin comhada beidh an dá
uillinn atá ar aghaidh na sleas sin comhmhór.

Is triantán é ABC agus an dá shlios AB, AC dhe comhada.
Atá sé le cruthú go bhfuil an dá uillinn C, B comhmhór.
Cuir i gcás go bhfuil dhá leith déanta den uillinn BAC ag
an líne AF: tagadh AF ar BC san bpoinnte F.

Cruthú. Insa dá thriantán BAF, CAF
AB agus AC comhada,
tá AF ag baint leo araon,
an dá uillinn BAF, CAF comhmhór;

dá bhrígh sin tá an dá thriantán comhmhór ar gach uile bhealach,
dá bhrígh sin tá an uille B chomh mór leis an uillinn C.
Q.E.D.

COMHTHORADH 1. — Is ionann méid do thrí uillinn
triantáin chomhshleasaigh.

COMHTHORADH 2. — Tá dhá leith déanta de bhonn trian-
táin chomhchosaigh ag dhá-leathóir na huillinne ingearaighe
agus an dá-leathóir ingearach leis an mbonn.
(ó thárla an dá thriantán BAF, CAF comhfheileamhnach,
dá bhrígh sin tá BF, CF comhada, tá
an uille BFA agus an uille CFA comhmhór, dá bhrigh sin
tá AF ingearach le BC.)

SONNRÚ. — Fearsad na comhfhreagarthachta a
tugtar ar an líne i bhfigiúir a bhfilltear an dá leith den
fhigiúir isteach ar a chéile ann, ionnus go gcomhthuiteann
an dá chuid den fhigiúir ar a chéile: is amhlaidh deirtar
go bhfuil an figiúir comhfhreagarthach thart ar an líne.

An bhfuil fearsad comhfhreagarthachta i dtriantán comh-
chosach? Féach Tair. 5.

Cé mhéad fearsad comhfhreagarthachta i dtriantán
comhchosach?

TAIRISGINT 6. — TEORAGÁN.

Má tá dhá uillinn triantáin comhmhór, innsin beidh
an dá shlios atá ar aghaidh na n-uillinneacha sin beidh
siad comhada.

Is triantán é ABC agus an uille ACB chomh mór leis an
uillinn ABC ann.

Tá sé le cruthú go bhfuil AB agus AC comhada.
Má tá AB, AC gan a bheith comhada, cuir i gcás gurab é

AB is fuide.

Déan BD chomh fada le AC.

Ceangail C do D.

Cruthú. Insan dá thriantán DBC, ACB,
DB agus AC comhada,
tá BC ag baint leis an dá thriantán,
an uille DBC agus an uille ACB comhmhór;

Dá bhrígh sin tá an dá thriantán DBC, ACB comhfheileamhnach;
.i. an t-iomlán agus cuid de comhmhór, rud nach féidir;
dá bhrígh sin ní fhéadfadh AB agus AC gan a bheith comhada,
tá AB chomh fada le AC. Q.E.D.

Cruthú timcheallach atá ar an modh cruthuíthe atá
n-úsáid i dTair. 6. An bhféadfadh AB agus AC gan a bheith
comhada? sin í an chéad cheist atá le meas; nuair a
tugtar an freagra “ní fhéadfadh” tá fírinne an Taris-
giona iontuigthe. Isé an modh timcheallach an modh is
coitcheanta i n-úsáid ag cruthú tairisgiona atá ina
n-aisiompodh ar theoragáin eile a cruthuigheadh cheana —
Reductio ad absurdum a tugtar freisin air. Ba cheart
an cuir-i-gcás agus an toradh ar Thair. a 5 agus ar Thair.
a 6 a sgríobh síos agus a gcur i gcomórtas le n-a chéile;
innsin b'éidir a thabhairt faoi deara gurab iad aisiompodh
a chéile iad an dá Thairisgint sin.

CLEACHTA XVI.

1. Cuir fad as sleasaibh comhada (AB, AC) an trian-
táin comhchosaigh ABC tré B agus tré C, agus cruthuigh gur comh-
mhór atá an dá uillinn sheachtaracha atá faoi an mbonn
BC. Innis céard é aisiompodh an teoragáin seo agus
cruthuigh é.

2. Triantán atá comhuillinneach cruthuigh go bhfuil sé
comhshleasach freisin.

3. Sleasa triantáin comhchosaigh iad AB, AC agus poinnte
é F ar an taobh thall de AB ó C; cruthuigh gur mó an
uille FBC ná an uille FCB.

4. Fágh dhá phoinnte D, E i mbonn (BC) triantáin comh-
chosaigh agus bíodh BD, EC comhada; cruthuigh go bhfuil an
uille ADE chomh mór leis an uillinn AED.

5. Is iad P, R lár-phoinntí na gcomhshleas AB, AC
insan triantán comhchosach; ceangail B do R agus C do P
agus gearradh an dá líne sin a chéile insan bpoinnte O:
cruthuigh go bhfuil BO agus CO comhada agus go bhfuil PO agus RO
comhada.

TAIRISGINT 7. — TEORAGÁN.

Má bhíonn trí sleasa triantáin chomh fada an
ceann le trí sleasaibh triantáin eile, beidh an dá
thriantán comhmhór ar gach uile shlighe.

Is iad ABC, DEF an dá thriantán a bhfuil na línte seo
síos comhada ionnta: BC agus EF comhada
AB agus DE
AC agus DF

Ionnus go gcruthófaí go bhfuil na triantáin comhmhór
ar gach uile bhealach.

Cruthú. Cuir an triantán ABC leis an triantán DEF
ionnus go dtuitfeadh B ar E agus BC ar feadh EF agus A a bheith
ar an taobh thall de EF ó D: ó thárla BC agus EF comhada
tuitfidh C ar F.

Cuir i gcás gurb é G an poinnte a dtuiteann A air.

Ceangail D do G.

CÁS I. Nuair ghearras DG an líne EF.

Tá ED agus EG comhada insan triantán EDG,
(dá bhrí sin) tá an uille EGD chomh mór leis an uillinn
EDG. Tair. 5.

tá FD chomh fada le FG insan triantán FDG,
(dá bhrí sin) tá an uille FGD chomh mór leis an
uillinn FDG.

(dá bhrí sin) tá an uille iomlán EGF chomh mór leis an
uillinn iomlán EDF.

Isé sin tá an uille BAC chomh mór leis an uillinn EDF.
Innsin insan dá thriantán BAC, EDF,

AB agus DE comhada
tá AC agus DF
an uille BAC chomh mór leis an uillinn EDF
(dá bhrí sin) tá na triantáin comhmhór ar gach uile chaoi.

CÁS II. Nuair atá DG gan EF a ghearradh.

Tá an uille EGD chomh mór leis an uillinn EDG, mar a
bhí i gCás a I.

agus an uille FGD chomh mór leis an uillinn FDG.

(dá bhrí sin) tá an uille iarmhair EGF chomh mór leis an
uillinn iarmhair eile EDF,

(dá bhrí sin) tá an dá thriantán BAC, EDF comhmhór ar
gach uile chaoi, mar atá i gCás a I.

CÁS III. Nuair atá DG ag dul tré fhoircheann EF.

Tá ED chomh fada le EG insan triantán EDG,

(dá bhrí sin) tá an uille EGD chomh mór leis an uillinn
EDG,

isé sin, tá an dá uillinn BAC, EDF comhmhór,
(dá bhrí sin) tá an dá thriantán BAC, EDF comhmhór
ar gach uile bhealach, mar a bhí i gCás a I. Q.E.D.

CLEACHTA XVII.

1. An líne díreach atá ó rinn triantáin comhchosaigh
go dtí lár an bhuinn tá sé ingearach leis an mbonn agus
déanann dhá leith den uillinn rinneach.

2. Ceathairshleasán a bhfuil na sleasa atá ar aghaidh
a chéile comhada ann tá na huillinneacha atá ar aghaidh a

chéile ann comhmhór.

3. Dhá phoinnte iad A agus B ar ghéagaibh na huillinne
AOB, agus OA agus OB comhada; poinnte eile é C atá comhada
ó A agus ó B (.i. AC agus BC comhada): cruthuigh go bhfuil dhá
leith déanta den uillinn AOB ag OC.

4. Ceathairshleasán comhshleasach é ABCD; cruthuigh
go bhfuil dhá leith déanta de na huillinneachaibh agus dá chéile
ag na treasnáin.

5. Dhá thriantán chomhchosacha atá ar an mbonn céadna
agus ar an taobh céadna dhe; an líne díreach atá ag ceangal
a dhá rinn dá chéile, nuair a leigtar leis go dtí an bonn
cruthuigh go ndéanann sé dhá leith go dronuillinneach den
bhonn.

6. Ceathairshleasán é ABCD agus an dá shlios AD, BC
comhada ann, agus an dá threasnán AC, BD comhada; cruth-
uigh go bhfuil an uille A chomh mór leis an uillinn B, agus
an uille C chomh mór leis an uillinn D.

TAIRISGINT 8. — TEORAGÁN.

Má leigtar le slios triantáin, an uille sheachtarach
a déantar ar an gcuma sin is mó í ná ceachtar de na
huillinneachaibh inmheadhonacha ar a haghaidh.

Isé ABC an triantán agus isé BC an slios de a bhfuil fad
as go dtí D.

Ní mór a chruthú gur mó an uille sheachtarach ACD,
ná ceachtar den dá uillinn inmheadhonacha ar a haghaidh
.i. ABC, BAC.

Isé E lár an líne AC.

Ceangail B do E; agus leig le DE go dtí F agus déan
EF chomh fada le BE.

Ceangail C do F.

Cruthú. Insan dá thriantán AEB, CEF,

EA agus EC comhada
tá BE agus EF
an uille AEB agus an uille rinneach ar a haghaidh
.i. CEF comhmhór. Tair. 3.

(dá bhrígh sin) tá an dá thriantán comhmhór ar gach
uile bhealach; Tair. 4.

tá an uille BAE agus an uille ECF comhmhór.

Ach is mó an uille ACD ná an uille ECF;
is mó an uille ACD ná an uille BAC.

Agus má déantar dhá leith de BC agus leigean le AC go dtí G,
tá sé ionchruthuighthe gur mó an uille BCG ná an uille ABC.
Ach tá an uille BCG chomh mór leis an uillinn rinneach ar a
haghaidh .i. le ACD;
is mó an uille ACD ná an uille ABC.

Uime sin is mó an uille sheachtarach ACD ná ceachtar
de na huillinneacha BAC, ABC. Q.E.D.

CLEACHTA XVIII.

1. Cruthuigh gur lugha ná dhá dhronuillinn dhá uillinn
ar bith de thriantán agus iad a bheith i dteannta a chéile.

i. Má leigtar le slios an triantáin tré rinn na
huillinne;

ii. Má ceangluigheatar poinnte ar bith ar an slios
atá comhgarach don dá uillinn don rinn ar a aghaidh sin.

2. Caithfidh dhá ghéaruillinn ar a laghad a bheith ar gach
uile thriantán.

3. Dhá uillinn triantáin atá gan a bheith comhmhór isí
an uille is lugha an ghéaruille.

4. Ní féidir thar aon ingear amháin a tharraint go dtí
líne díreach ó phoinnte atá amach uaidh.

5. Is lugha ná cheithre dhronuillinn trí uillinn ar bith
atá ar cheathairshleasán agus a mbeith i dteannta a chéile.

TAIRISGINT 9. — TEORAGÁN.

Más fuide slios de thriantán na slios eile dhe an
uille atá ar aghaidh an tsleasa is fuide is mó í ná
an uille atá ar aghaidh an tsleasa is giorra.

Is fuide AB, sa triantán ABC, ná AC.
Ní mór a chruthú gur mó an uille ACB ná an uille ABC.
AB an slios is fuide, agus bain an píosa AD dhe a bheas chomh
fada le AC.

Ceangail C do D.

Fágann sin na sleasa AD, AC comhada insa triantán
ACD.

tá an uille ACD chomh mór leis an uillinn ADC.

Tair. 5.

Triantán é BDC agus fad as slios de .i. as BD.

is mó an uille sheachtarach ADC ná an uille inmheadhonach
ar a haghaidh .i. ná DBC,
agus is mó an uille ACD ná an uille DBC;
agus is mó ná sin is mó an uille ACB ná an uille ABC.

Q.E.D.

CLEACHTA XIX.

1. Isí an uille is mó ar thriantán corruillinneach
an uille atá ar aghaidh an tsleasa is fuide.

2. Ceathairshleasán a bhfuil an slios is fuide dhe ar
aghaidh an tsleasa is giorra dhe cruthuigh gur mó an dá
uillinn atá comhgarach don tslios is giorra ná an dá
uillinn atá ar a n-aghaidh.

TAIRISGINT 10. — TEORAGÁN.

Más mó uille atá ar thriantán ná uille eile atá
air fágfaidh sin an slios atá ar aghaidh na huillinne
is mó níos fuide ná an slios atá ar agaidh na
huillinne is lugha.

Is mó an uille ABC den triantán ABC ná an uille ACB de.
Tá sé le cruthú gur fuide an slios AC ná an slios AB.

Cruthú. Tá AC (1) chomh fada le AB, nó (2) níos giorra
ná AB, nó (3) níos fuide ná AB.

1. An amhlaidh go bhfuil AC agus AB comhada? Ní hain-
laidh: mar bheadh an uille B chomh mór leis an uillinn C
innsin, caoi nach bhfuil sí, do réir mar cuireadh i gcás.

2. An amhlaidh gur giorra AC ná AB? Ní hamhlaidh:
mar bheadh an uille B níos lugha ná an uille C innsin, caoi
nach bhfuil sí, do réir mar cuireadh i gcás.
Uime sin níl AC agus AB comhada ná níl AC níos giorra
ná AB,

tá AC níos fuide ná AB. Q.E.D.

CLEACHTA XX.

1. Isé an taobhagán an slios is fuide de thriantán
dronuillinneach.

2. An t-ingear an líne díreach is giorra is féidir a
tharraint go dtí líne díreach áirithe ó phoinnte atá amach
uaidh.

3. Is giorra an líne díreach atá ó rinn triantán
comhchosaigh go dtí poinnte ar bith sa mbonn ná ceachtar
den dá shlios chomhchosaigh.

4. An líne díreach atá ó rinn triantáin comhchosaigh go
dtí poinnte ar bith sa bhfad a curtar as an mbonn is
fuide é ná ceachtar den dá chomhchois.

5. Más fuide an slios AC den triantán ABC ná an
slios AB dhe, dá bhrígh sin is fuide an slios AC ná líne
díreach ar bith eile is féidir a tharraint ó A go dtí poinnte
ar bith ar BC.

TAIRISGINT 11. — TEORAGÁN.

Is fuide dhá shlios ar bith de thriantán as a chéile
ná an tríomhadh slios.

Triantán é ABC.

Ní mór a chruthú gur fuide dhá shlios de, as a chéile, ná
an tríomhadh slios.

Leig le BA go dtí D nó go mbeidh AD chomh fada le AC.

Ceangail D do C.

Tá AD agus AC comhada sa triantán ACD,
á an uille ACD chomh mór leis an uillinn ADC.
Ach is mó an uille, BCD ná an uille ACD,
is mó an uille BCD ná an uille ADC.

Is mó an uille BCD den triantán BCD ná an uille
BDC de,
is fuide an slios BD ná an slios BC.

Ach tá BD chomh fada le BA, AD as a chéile, nó chomh fada le
BA, AC as a chéile;

is fuide BA, AC as a chéile ná BC.

Tá sé ionchruthuighthe ar an gcuma chéadna
gur fuide AB, BC as a chéile ná AC, agus
gur fuide BC. CA as a chéile ná AB. Q.E.D.

TAIRISGINT 12. — TEORAGÁN.

Má tarraingightar dhá líne dhíreacha ó dhá cheann
sleasa triantáin go dtí poinnte ar bith istigh sa
triantán, an dá shlios sin as a chéile is giorra iad
ná an dá shlios eile den triantán ac is mó an uille
atá gabhtha acu ná an uille atá gabhtha ag an dá shlios
eile.

Is ó ABC an triantán agus BD, CD an dá líne dhíreacha
atá tarraingthe go dtí an poinnte D istigh sa triantán.

A chruthú anois

(1) gur giorra BD, DC as a chéile ná BA, AC,

(2) gur mó an uille BDC ná an uille BAC.

Leig le BD go sroiche sé AC sa bpoinnte E.

Cruthú (1) Is fuide BA, AE as a chéile ná BE, san
triantán BAE: cuir EC as gach fad díobh;

BA, AC as a chéile is fuide iad ná BE, EC as a chéile.

Agus DE, EC as a chéile, insa triantán DEC, is fuide
iad ná DC; cuir BD as gach fad díobh;

BE, EC as a chéile is fuide iad ná BD, DC as a chéile.
Ach BA, AC as a chéile cruthuigheadh go mb' fhuide iad ná
BE, EC; is mó ná sin, mar sin, is fuide BA, AC
as a chéile ná BD, DC.

(2) An uille sheachtarach BDC den triantán DEC, is
mó í ná an uille inmheadhonach ar a haghaidh .i. ná DEC;
agus is mó an uille sheachtarach DEC den triantán ABE ná
an uille inmheadhonach ar a haghaidh .i. ná BAC; is mó ná sin,
mar sin, is mó an uille BDC ná an uille BAC. Q.E.D.

CLEACHTA XXI.

1. A bhfuil d'fhad ag slios triantáin ar shlios eile dhe is
giorra ó ná an tríomhadh slios.

2. Cruthuigh gur fuide iad trí sleasa ceathairshleasáin
as a chéile ná an ceathrú slios.

3. Na línte atá ó phoinnte ar bith istigh i gceathair
shleasán go dtí na cheithre reanna cruthuigh gur fuide iad
as a chéile, go gnáthach, ná fad na dtreasnán as a chéile.
Innis cé'n uair nach fuide iad.

4. Na línte atá ó poinnte ar bith istigh i dtriantán
go dtí na trí reanna is fuide iad agus iad as a chéile ná
leath fad na sleas as a chéile.

5. Poinnte é E ar shlios BC an triantáin ABC, agus dhá
leith déanta den uillinn BAC ag an líne atá ag tuitim
ó A go dtí E; cruthuigh gur fuide AB ná BE, agus gur fuide
AC ná CE.

6. Is fuide timcheall ceathairshleasáin ná a threasnáin
as a chéile.

7. Tarraing línte ó phoinnte atá istigh i dtriantán
comhshleasach go dtí na reanna agus cruthuigh gur giorra an
fhad atá ag líne acu ar líne eile ná an tríomhadh líne (nó
an rud céadna, cruthuigh gur fuide líne acu ná a bhfuil
d'fhad ag ceann den phéire eile ar an gceann eile.)

TAIRISGINT 13. — TEORAGÁN.

Má tá dhá shlios triantáin chomh fada le n-a dhá
gcomhshlios i dtriantán eile, ach an uille atá gabhtha
ag an dá shlios tosaigh a bheith níos mó ná an uille atá
gabhtha ag an dá shlios eile; innsin is fuide an bonn
atá faoi an triantán a bhfuil an uille mhór air ná
bonn an triantáin eile.

Tá AB chomh fada le DE agus AC chomh fada le DF insan
dá thriantán ABC, DEF, ach is mó an uille BAC ná an
uille EDF.

Tá sé le cruthú gur fuide an bonn BC ná an bonn EF.

Cruthú. Cuir an triantán ABC leis an triantán
DEF, ionnus go dtuite an poinnte A ar an bpoinnte D
agus an líne díreach AB ar feadh DE; comhthuitfidh B innsin
ar E, mar tá AB agus DE comhada.

Ó thárla an uille BAC níos mó ná an uille EDF,
tuiteann AC taobh amuigh den uillinn EDF.

Cuir i gcás go dtuiteann AC, BC ar na hionada DG, EG.

Má théidheann EG thré F innsin is fuide EG ná EF;
'sé sin is fuide BC ná EF.

Ach mara dtéidheann EG thré F, tigeadh dhá-leathóir na
huillinne FDG ar EG sa bpoinnte H.

Ceangail F do H.

Insan dá thriantán FDH, GDH

DF agus DG comhada, ó is suidheamh eile ar AC é DG
tá DH ag baint leo araon
an uille FDH chomh mór leis an uillinn GDH

tá FH agus GH comhada. Tair. 4.

Is fuide na sleasa EH, HF, insan triantán EHF, as a
chéile, ná EF;

EH, HG as a chéile is fuide iad ná EF;
isé sin is fuide EG ná EF;
ach is suidheamh eile ar BC é EG,
is fuide BC ná EF. Q.E.D.

TAIRISGINT 14. — TEORAGÁN.

Má tá dhá shlios triantáin chomh fada le n-a dhá
gcomhshlios i dtriantán eile, ach bonn an triantáin
tosaigh a bheith níos fuide ná bonn an chinn eile; innsin
is mó an uille atá gabhtha ag an dá shlios a bhfuil an
bonn is fuide fútha ná an uille atá gabhtha ag an dá
shlios eile.

Tá AB agus DE comhada, agus AC agus DF comhada insan dá
thriantán ABC, DEF, ach is fuide an bonn BC ná an bonn
EF.

Tá sé le cruthú gur mó an uille BAC ná an uille
EDF.

Cruthú. Tá an uille BAC

(1) chomh mór leis an uillinn EDF, nó

(2) níos lugha ná an uille EDF, nó

(3) níos mó ná an uille EDF.

(1) An bhfuil an uille, BAC agus an uille EDF comhmhór?
Níl: mar dá mbeadh bheadh BC agus EF comhada, Tair. 4.
caoi nach bhfuil siad, do téir mar cuireadh i gcás.

(2) An lugha an uille BAC ná an uille EDF?
Ní lugha: mar dá mbu lugha ba giorra BC ná EF,
Tair. 13.

ach ní giorra, do réir mar cuireadh i gcás.

Uime sin níl an uille BAC agus an uille EDF comhmhór
ná níl an uille BAC níos lugha ná an uille EDF;

is mó an uille BAC ná an uille EDF.

Q.E.D.

TAIRISGINT 15. — TEORAGÁN.

Má tá dhá uillinn atá an thriantán agus a dhá gcomh-
uillinn ar thriantán eile comhmhór, agus slios triantáin
díobh agus a chomhshlios sa triantán eile comhada, más
comhgarach do na huillinneacha comhmhóra, nó ar a
n-aghaidh, atá na sleasa insan dá thriantán, beidh na
triantáin comhmhór innsin ar gach uile bhealach.

CÁS. I. Isiad ABC agus DEF an dá thriantán agus an uille
B chomh mór leis an uillinn E agus an uille C chomh mór leis an
uillinn F agus na sleasa BC, EF comhada, agus sin iad na sleasa
atá comhgarach do na huillinneachaibh comhmhóra.

Tá sé le cruthú go bhfuil na triantáin comhmhór ar gach
uile bhealach.

Cruthú. Cuir an triantán ABC leis an triantán DEF,
ionnus go dtuitfe B ar E agus BC ar feadh EF; comhthuitfidh
C innsin ar F ó thárla BC agus EF comhada.

Ó thárla an uille B agus an uille E comhmhór,
tuiteann BA ar feadh ED;
agus ó thárla an uille C agus an uille F comhmhór,
tuiteann CA ar feadh FD.
Uime sin tuiteann an poinnte A ar D;
comhthuiteann triantán ar an triantán eile
agus tá siad araon comhmhór ar gach uile bhealach.

CÁS II. Is iad ABC, DEF an dá thriantán agus an dá
uillinn B, E comhmhór ortha, agus freisin an dá uillinn C, F
comhmhór, agus na sleasa AB, DE, atá ar aghaidh na dhá uillinn
chomhmhóra C, F, iad comhada.

Tá sé le cruthú go bhfuil na triantáin comhmhór ar gach
uile shlighe.

Cruthú. Cuir an triantán ABC leis an triantán
DEF, ionnus go dtuitfe A ar D agus AB ar feadh DE;
tuiteann B innsin ar E, ó thárla AB agus DE comhada.

Ó thárla an uille B chomh mór leis an uillinn E,
tuiteann BC ar feadh EF.

Agus mara dtuite C ar F, tuiteadh sé san áit a bhfuil G;
fágann sin AC ag tuitim san áit i bhfuil DG, agus
fágann sé gurab ionann EGD agus an uille C.
Ach cuireadh i gcás go raibh an dá uillinn C, F comhmhór,

tá an uille EGD agus an uille F comhmhór; sé sin, uille
sheachtarach an triantáin DGF, agus an uille inmheadhonach
ar a haghaidh, iad comhmhór, rud nach féidir;

caithfidh C tuitim ar F;
agus uime sin caithfidh AC tuitim ar feadh DF;

comhthuiteann triantán ar an triantán eile, agus
dá bhrígh sin tá an dá cheann acu comhmhór ar gach uile chaoi.

Q.E.D.

TAIRISGINT 16. — TEORAGÁN.

An dá thaobhagán atá le dhá thriantán dhronuillin-
neacha má tá siad comhada, agus slios triantáin díobh
chomh fada le n-a chomhshlios sa triantán eile, tá na
triantáin comhmhór ar gach uile bhealach.

Is iad ABC, DEF an dá thriantán, agus dhá dhronuillinn
ortha iseadh B, E; tá AB agus a chomhshlios DE comhada agus an dá
thaobhagán AC, DF comhada.

Tá sé le cruthú go bhfuil an dá thriantán comhmhór
ar gach uile shlighe.

Cruthú. Cuir an triantán ABC leis an triantán
DEF ionnus go dtuitfidh A ar D agus AB ar feadh DE, agus
ionnus fós go dtuitfidh C ar an taobh de DE nach bhfuil
F ann; abair gurb é G an poinnte i dtuiteann C.

Isé DEG an suidheamh nua atá ar an triantán ABC.

Ó thárla gur dhá dhronuillinn iad DEG, DEF,
is líne díreach é an dá líne GE, EF as a chéile.

Tá DF agus DG (sé sin AC) comhada insa triantán DGF,
tá an uille DGF chomh mór leis an uillinn DFG.

Tair. 5.

Agus insan dá thriantán DEG, DEF,
an dá uillinn DEG, DEF comhmhór, mar is dhá dhron-
uillinn iad,
tá an dá uillinn DGE, DFE comhmhór rud a cruthuigheadh,
an slios DE ag baint leo araon:

tá an dá thriantán DEG, DEF comhmhór ar gach uile chaoi.
Ach isé DEG an suidheamh nua atá ar ABC;

tá na triantáin ABC, DEF comhmhór ar gach uile
bhealach. Q.E.D.

CLEACHTA XXII.

1. Tá na sleasa AB, AC comhada insa triantán ABC,
agus ingear é AD ó A go BC; cruthuigh go bhfuil dhá leith
déanta de BC sa bpoinnte D.

2. Dhá-leathóir uillinne triantáin má tá sé ingearach
leis an slios ar aghaidh na huillinne, tá an triantán
comhchosach.

3. Tá dhá leith déanta den uillinn AOB ag OF; tar-
raing ó phoinnte P ar OF tarraing sin dhá ingear go dtí
OA, OB, agus cruthuigh go bhfuil an dá ingear comhada.

4. Cruthuigh go bhfuil poinnte istigh i dtriantán agus go
bhfuil na hingir a tarraingightar uaidh go dtí na trí sleasa
go bhfuil siad comhada.

5. Líne díreach é AB agus M a lár; tarraing líne díreach
ar bith tré M agus cruthuigh go bhfuil an dá ingear a tarr-
aingightar go dtí é ó A agus ó B go bhfuil siad comhada.

6. Tá an dá uillinn A, B comhmhór ar thriantán; déan-
ann líne dhá leith de A agus leigtar leis go dtí P, sa slios
thall ar aghaidh A, agus déanann líne eile dhá leith de B agus
leigtar leis féin go dtí an poinnte R sa slios ar aghaidh
B. Cruthuigh AP, BR a bheith comhada.

SONNRÚ. — Línte comhthreormhara díreacha, sin línte
díreacha atá sa gcomhréidh céadna agus nach dtigeann ar a
chéile is cuma cé'n fad a curtar asta as ceachtar dhá
cheann díobh.

GNÁTH-FHOCAL. — Ní féidir le dá líne dhíreacha a bheith
comhthreormhar le líne eile, má ghearrann siad a chéile.

Gnáth-fhocal Playfair a tugtar ar an gcuir-i-gcás sin
agus tá gnatha dhe i dteoir na comhthreormhaireachta.

Leagann eile é seo air: is féidir líne díreach a tharr-
aint comhthreormhar le líne díreach áirithe, thré phoinnte
áirithe agus ní féidir a tharraint thríd ach an t-aon líne
comhthreormhar.

TAIRISGINT 17. — TEORAGÁN.

Líne díreach a ghearras dhá líne dhíreacha eile agus a
ghníos an dá uillinn umthanacha chomh mór le cheile,
an dá líne dhíreacha a gearrtar bheidh siad com-
threormhar.

An líne díreach EF atá ag gearradh an dá líne AB,
CD, sna dhá phoinnte G, H, déanann sé an dá uillinn
umthanacha AGH, GHD chomh mór le chéile.

Tá sé le cruthú go bhfuil AB comhthreormhar le CD.

Cruthú. Mara bhfuil AB agus CD comhthreormhar caithfid
siad a theacht ar a chéile nuair a leigtar leo ó B agus ó D,
nó ó A agus ó C.

Tigidís ar a chéile sa bpoinnte N, nuair a leigtar
leo tré B agus tré D.

Is triantán é GHN innsin, agus an slios NG dhe tá fad
curtha as;

is mó an uille sheachtarach AGH ná an uille inmheadh-
onach ar a haghaidh .i. GHD:

agus tá siad chomh mór le cheile de réir mar cuireadh i gcás.

Uime sin ní fhéadfadh AB agus CD a theacht ar a chéile nuair
a curtar fad asta ó B agus ó D.

Is féidir a theasbáint ar an gcuma chéadna nach féidir
dhóibh a theacht ar a chéile nuair a curtar fad asta
ó A agus ó C;
tá AB agus CD comhthreormhar.

Q.E.D.

TAIRISGINT 18. — TEORAGÁN.

Má thuiteann líne díreach ar dhá líne dhíreacha eile
agus an uille sheachtarach a dhéanamh chomh mór leis an

uillinn inmheadhonach ar a haghaidh, ar an taobh céadna
den líne; nó má ghníonn sé an dá uillinn inmheadh-
onacha atá ar an taobh céadna den líne chomh mór le
dhá dhronuillinn, nuair a curtar i dteannta a chéile
iad; fágann sin go bhfuil an dá líne dhíreacha comh-
threormhar.

CUID I. Tuiteadh an líne díreach EF ar an dá líne
dhíreacha AB, CD, agus déanadh sé an uille sheachtarach EGB
chomh mór leis an uillinn inmheadhonach ar a haghaidh GHD.

Tá sé le cruthú go bhfuil AB agus CD comhthreormhar.

Ó thárla an uille EGB chomh mór leis an uillinn GHD,
agus an uille EGB chomh mór leis an uillinn AGH atá go
rinneach ar a haghaidh;

tá an uille AGH chomh mór leis an uillinn GHD
agus is dhá uillinn umthanacha iad-san;
tá AB agus CD comhthreormhar.

CUID II. Bíodh an uille inmheadhonach BGH agus an uille
inmheadhonach GHD mar thuille léithe, bídís chomh mór le
dhá dhronuillinn, de bharr an líne díreach EF tuitim ar
an dá líne AB, CD.

Tá sé le cruthú go bhfuil AB comhthreormhar le CD.
Ó thárla an uille BGH agus an uille GHD mar thuille léithe,
chomh mór le dhá dhronuillinn,
agus an dá uillinn chomhgaracha BGH, AGH, i dteannta
a chéile, chomh mór le dhá dhronuillinn
an dá uillinn BGH, GHD i n-éineacht, táid siad
chomh mór leis an dá uillinn BGH, AGH i n-éineacht.

Bain an uille BGH as gach comhmhéid díobh;
agus fágfa sin an uille AGH chomh mór leis an uillinn
GHD,

agus is uillinneacha umthanacha iad sin;
tá AB comhthreormhar le CD. Q.E.D.

TAIRISGINT 19. — TEORAGÁN.

Má thuiteann líne díreach ar dhá líne dhíreacha chomh-
threormhara, bíonn:—

(i) na huillinneacha umthanacha chomh mór le chéile,

(ii) an uille sheachtarach chomh mór leis an uillinn
inmheadhonach ar a haghaidh, ar an taobh
céadna den líne,

(iii) An dá uillinn inmheadhonacha ar an taobh céadna,
bíonn sin i n-éineacht chomh mór le dhá dhron-
uillinn.

Tigeadh an líne díreach EF ar an dá líne dhíreacha
chomthreormhara AB, CD.

Tá sé le cruthú go bhfuil

(i) an uille AGH chomh mór leis an uillinn umthanach
GHD.

(ii) an uille sheachtarach EGB chomh mór leis an uillinn
inmheadhonach ar a haghaidh GHD

(iii) an dá uillinn inmheadhonacha BGH, GHD i n-éin-
eacht, chomh mór le dhá dhronuillinn.

Cruthú. (i) Mara bhfuil an uille AGH chomh mór leis an
uillinn GHD tarraing an líne LG ionnus go mbeidh an
uille LGH chomh mór leis an uillinn GHD.

Ó thárla an uille LGH chomh mór leis an uillinn umthanach
GHD, tá LG comhthreormhar le CD.

Ach cuireadh i gcás AB a bheith comhthreormhar le CD;

an dá líne dhíreacha AB, LG atá ag gearradh a chéile,
táid siad araon comhthreormhar le CD; rud nach féidir:

(Gnáth-fhocal Playfair).

ní fhéadfadh an dá uillinn AGH, GHD gan a bheith
comhmhór;

tá an uille AGH agus an uille GHD comhmhór.

(ii) Ó thárla an uille AGH agus an uille GHD comhmhór, do
réir Cuid I.

agus an uille AGH chomh mór leis an uillinn EGB atá
go rinneach ar a haghaidh;

an uille sheachtarach EGB atá sí chomh mór leis an
uillinn GHD atá go hinmheadhonach ar a haghaidh.

(iii) Ar réir Cuid I, tá an dá uillinn AGH, GHD comhmhór
cuir an uille BGH mar thuille le gach comhmhéid díobh;

annsin an dá uillinn AGH, BGH i n-éineacht táid siad
comhmhór leis an dá uillinn BGH, GHD i n-éineacht.

Ach an dá uillinn AGH, BGH i n-éineacht táid siad
chomh mór le dhá dhronuillinn;

an dá uillinn inmheadhonacha BGH, GHD i n-éineacht,
tá siad chomh mór le dhá dhronuillinn. Q.E.D.

TAIRISGINT 20. — TEORAGÁN.

Línte díreacha atá comhthreormhar leis an líne
díreach céadna atá siad comhthreormhar le n-a chéile.

Bíodh an dá líne dhíreacha AB, CD comhthreormhar le LM.

Tá se le cruthú go bhfuil AB, CD comhthreormhar le
n-a chéile.

Tarraing an líne díreach EF agus gearradh sé na línte ins na
poinntíbh P, O, R.

Cruthú. Ó thárla AB comhthreormhar le LM agus go
dtigeann EF ortha,

tá an uille APR chomh mór leis an uillinn umthanach
PRM.

Ó thárla CD agus LM comhthreormhar agus EF ag tuitim ortha,

tá an uille sheachtarach POD agus an uille inmheadhonach
ar a haghaidh .i. PRM comhmhór;

tá an uille APO agus an uille POD comhmhór,

agus is dhá uillinn umthanacha iad sin a rinneadh de bhrígh
gur thuit EF ar an dá líne AB, CD,

tá AB agus CD comhthreormhar.

Q.E.D.

Is forusta fírinne an Tairisgiona seo a theasbánadh
do réir gnáth-fhocail Playfair, má cruthuigheatar é ar
mhodh thimcheallach.

Arae mara bhfuil AB agus CD comhthreormhar tiocfadh siad
un a chéile ach leigeann leo — tigidís un a chéile sa
bpoinnte S. Tá dhá líne dhíreacha innsin ag gearradh
a chéile sa bpoinnte S, agus iad araon comhthreormhar le
LM; agus sin rud nach féidir.

Uime sin ní fhéadfadh AB agus CD a theacht un a chéile;
tá siad comhthreormhar.

CLEACHTA XXIII.

1. Tarraing líne díreach comhthreormhar le bonn .i.
BC, an triantáin comhchosaigh .i. ABC, agus gearradh sé na
sleasa comhada (taréis fad a chur asta más gádh é)
insna poinntibh D, E; cruthuigh gur triantán comhchosach
é ADE.

2. Dhá-leathóir uillinne, géag dá géagaibh agus líne atá
comhthreormhar leis an ngéig eile déan triantán comh-
chosach díobh.

3. Má tá dhá ghéag uillinne agus a dhá gcomhghéag i n-uillinn
eile comhthreormhar tá an dá uillinn comhmhór nó foir-
líonta.

4. Má ghníonn treasnáin ceathairshleasáin dhá leith dhá
chéile beidh na sleasa atá ar aghaidh a chéile comhthreormhar

5. Tigeann dhá-leathóir na huillinne A i dtriantán ar
an slios BC sa bpoinnte S; tarraing SR ó S comhth-
reormhar le AC, agus gearradh sé AB sa bpoinnte R, agus
tarraing ST ó S, comhthreormhar le AB agus gearradh sé AC
sa bpoinnte T; cruthuigh ARST a bheith comhshleasach.

TAIRISGINT 21. — TEORAGÁN.

Má curtar fad as slios triantáin beidh an uille
sheachtarach chomh mór leis an dá uillinn inmheadhonacha
ar a haghaidh i n-éineacht, agus trí uillinn triantáin
i n-éineacht tá siad chomh mór le dhá dhronuillinn.

Isé ABC an triantán agus fad ar a shlios BC go dtí D.

Tá sé le cruthú go bhfuil:—

(i) an uille sheachtarach ACD agus an dá uillinn inmeadh-
onacha ar a haghaidh .i. A agus B i n-éineacht comh-
mhór, agus

(ii) go bhfuil na trí uillinn A, B, agus BCA i n-éineacht
go bhfuil sin chomh mór le dhá dhronuillinn.

Cuir i gcás gurb é CE an líne díreach a tarraingigheadh
tré C, comhthreormhar le BA.

Cruthú. (i) Ó thárla CE agus BA comhthreormhar agus go
dtigeann AC ortha araon,

tá an uille ACE agus an uille umthanach A comhmhór.

Ó thárla CE agus BA comhthreormhar agus go dtigeann BD
ortha araon,

tá an uille sheachtarach ECD agus an uille inmheadhonach
ar a haghaidh .i. B comhmhór.

Uime sin tá an uille iomlán ACD agus an dá uillinn A, B
i n-éineacht comhmhór.

(ii) Cuir an uille BCA le gach comhmhéid díobh;

agus fágfaidh sin an dá uillinn BCA, ACD i n-éineacht
chomh mór le na trí uillinn A, B, BCA i n-éineacht.

Ach an dá uillinn chomhgaracha BCA, ACD i n-éineacht
tá siad chomh mór le dhá dhronuillinn;

tá trí uillinn an triantáin ABC .i. A, B, C i n-éineacht
tá sin chomh mór le dhá dhronuillinn. Q.E.D.

COMHTHORADH 1. Na huillinneacha inmheadhonacha
atá ar iolgán dronnach, i n-éineacht le cheithre dhron-
uillinn, tá siad chomh mór faoi dhó le gacha le dron-
uillinn agus tá de shleasa leis an iolgán.

Iolgán dronnach ar bith é ABCDE. Fagh poinnte ar
bith O istigh ann, agus ceangail O do gach rinn air.

Tá gacha le triantán déannta den iolgán iomlán anois
agus tá de shleasaibh leis. Agus freisin na trí uillinn atá
ar gach triantán díobh táid siad, i n-éineacht, chomh mór
le dhá dhronuillinn.

tá gach uile uille ar gach uile thriantán díobh, i
n-éineacht, chomh mór faoi dhó le gacha le dronuillinn agus tá
de shleasa leis an iolgán.

Ach a bhfuil d'uillinneacha ar na triantánaibh go hiom-
lán sin iad, i n-éineacht, uillinneacha inmheadhonacha iom-
lán an iolgáin i n-éineacht le na huillinneacha ag O, agus na
huillinneacha sin ag O táid siad i n-éineacht chomh mór
le cheithre dhronuillinn.

na huillinneacha inmheadhonacha go hiomlán atá ar
iolgán i n-éineacht le cheithre dhronuillinn tá sin faoi dhó

chomh mór le gacha le dronuillinn agus tá de shleasa leis
an iolgán. Q.E.D.

COMHTHORADH 2. Má leigtar le sleasaibh iolgáin
dronnaigh ar bith, ó cheann go ceann, na huillinneacha
seachtaracha a déantar ar an gcuma sin tá siad,
i n-éineacht, chomh mór le cheithre dhronuillinn.

Iolgán dronnach é ABCDE, agus fad as na sleasaibh AB,
BC, CD agus rl. aige tré B, C, D, agus rl.

Na huillinneacha seachtaracha agus na huillinneacha
inmheadhonacha atá ag gach rinn díobh táid siad chomh mór
i n-éineacht le dhá dhronuillinn.

na huillinneacha inmheadhonacha go hiomlán agus na
huillinneacha seachtaracha go hiomlán, i n-éineacht leo,
táid siad chomh mór faoi dhó le gacha le dronuillinn agus tá
de reanna nó de shleasa, leis an iolgán.

Ach tá na huillinneacha inmheadhonacha go léir i n-éineacht
le cheithre dhronuillinn faoi dhó chomh mór le gacha le
dronuillinn agus tá de shleasa leis an iolgán.

tá na huillinneacha seachatarcha go léir i n-éineacht
chomh mór le cheithre dhronuillinn. Q.E.D.

CLEACHTA XXIV.

1. Foirlíon na huillinne A ar an triantán ABC má
tá sí faoi dhó chomh mór leis an uillinn B is comhchosach
atá an triantán sin.

2. Uillinneacha ceathairshleasáin táid siad, i n-éin-
eacht, chomh mór le cheithre dhronuillinn.

3. Uillinneacha cúgáin i n-éineacht tá siad chomh mór
le sé dhronuillinn.

4. Uille buinn atá ar thriantán comhchosach más allroinn
í d'uillinn buinn triantáin comhchosaigh eile is uillinneacha
foirlíonta na huillinneacha rinneacha atá ortha. An fíor
a aisiompodh sin?

5. Má thuiteann líne díreach ar dhá líne dhíreacha chomh-
theormhara an dá líne a ghníos dhá leith de na huillinneacha
inmheadhonacha ar an taobh céadna tá siad sin dron-
uillinneach le chéile.

6. Isé M lár an tsleasa BC insa triantán ABC; má
tá MA agus MB comhada cruthuigh gur dronuille í A.

7. Cuir síos agus cruthuigh aisiompodh Uimh. a 6.

8. Isé M lár an tsleasa BC sa triantán ABC; más
géaruille í A cruthuigh gur fuide MA ná MB.

9. Má curtar fad as gacha le péire de shleasa cúgáin
ionnus go dtige siad ar a chéile, na chúig uillinn sin i
n-éineacht a rinneadh nuair a cuireadh fad as na sleasa,
tá siad chomh mór le dhá dhronuillinn.

10. Má tá gach uille buinn ar thriantán chomhchosach
faoi dhó chomh mór leis an uillinn rinneach, cé'n chuid de
dhronuillinn an uille rinneach?

SONNRUÍTHE.

Treolínteán, sin figiúir ceathairshleasach a bhfuil na
sleasa atá ar aghaidh a chéile ann comhthreormhar.

Cruthófar (Tair. 25) na sleasa atá ar aghaidh a chéile i dtreo-
línteán a bheith comhada agus freisin na huillinneacha atá ar aghaidh
a chéile a bheith comhmhór.

Dronuilleog, sin treolínteán agus uille dá bhfuil air
í dronuillinneach.

Cruthófar (Tair. 23, Comhth. 2) gur dronuille gach uile uille dá
bhfuil ar dhronuilleoig.

Cearnóg, sin dronuilleog a bhfuil dhá shlios chomh-
garacha dhe comhada.

Cruthófar (Tair. 23, Comhth. 3) sleasa cearnóige a bheith go léir
comhada, agus a cuid uillinneacha a bheith dronuillinneach.

Camchearn, sin figiúir ceathairshleasach a bhfuil a shleasa
go léir comhada agus a chuid uillinneacha gan a bheith dron-
uillinneach.

Cearchosóg, sin figiúir ceathairshleasach a bhfuil dhá
shlios de atá ar agháidh a chéile comhthreormhar.

TAIRISGINT 22. — TEORAGÁN.

Na línte díreacha atá ag ceangal gach aon dá
cheann chomhgaracha de línte díreacha atá comhada,
comhthreormhar, tá siad féin comhada, comhthreormhar.

Dhá líne dhíreacha chomhada chomhthreormhara iad AB
CD, agus an dá líne dhíreacha AC, BD ag ceangal gach aon dá
cheann chomhgaracha dhíobh.

Tá sé le cruthú go bhfuil AC, BD comhada comhth-
reormhar.

Ceangail A do D.

Cruthú. Ó thárla AB agus CD comhthreormhar agus AD ag
tuitim ortha,

tá an uille CDA agus an uille umthanach BAD comhmhór.
Insan dá thriantán CDA, BAD,

CD agus AB comhada,
tá AD ag baint leo araon,
an uille CDA agus an uille BAD comhmhór;

tá na triantáin comhmhór ar gach uile bhealach;

Tair. 4.

ionnus go bhfuil na sleasa AC, BD comhada,
agus an dá uillinn DAC, ADB comhmhór;

agus is dhá uillinn umthanacha iad sin a rinneadh de bhrigh
go dtuiteann AD ar na línte AC, BD.

tá AC agus BD comhthreormhar.

Uime sin tá AC, BD comhada agus comhthreormhar.

Q.E.D.

TAIRISGINT 23. — TEORAGÁN.

Tá na sleasa atá ar aghaidh a chéile comhada agus na
huillinneacha atá ar aghaidh a chéile comhmhór i dtreo-
línteán, agus dhá leith déanta dhe ag gach aon treasnán.

Treolínteán é ABCD agus treasnán ann é AC.

Tá sé le cruthú go bhfuil AB, DC comhada,
agus go bhfuil AD agus BC comhada,
go bhfuil an dá uillinn ABC, CDA comhmhór
BAD, BCD

agus go bhfuil an dá thriantán ABC, CDA comhmhór.

Cruthú. Ó thárla AB agus DC comhthreormhar agus AC ag
tuitim ortha,

tá an uille BAC agus an uille umthanach DCA comhmhór.

Ó thárla BC agus DA comhthreormhar agus AC ag tuitim ortha

tá an uille BCA agus an uille umthanach DAC comhmhór

an uille BAC agus an uille DCA comhmhór,
tá BCA DAC
agus AC ag baint leo araon,

insan dá thriantán ABC, CDA;

tá na triantáin comhmhór ar gach uile shlighe;

I gcruthamhnas go bhfuil AB agus DC comhada,
agus BC agus AD comhada;

an uille ABC chomh mór leis an uillinn CDA.

agus an t-achar atá faoi an triantán ABC chomh mór leis
an achar atá faoi an triantán CDA,

isé sin, tá dhá leith déanta den treolínteán ag an
treasnán AC.

Agus ó thárla an uille BAC chomh mór leis an uillinn DCA,
agus an uille DAC chomh mór leis an uillinn BCA,

tá an uille iomlán BAD chomh mór leis an uillinn
iomlán DCB. Q.E.D.

COMHTHORADH 1. Is figiúir comhshleasach é an treo-
línteán a bhfuil a dhá shlios chomhgaracha comhada.

COMHTHORADH 2. Má tá aon dronuille amháin ar
threolínteán is dronuille gach uile uille dá bhfuil air.

COMHTHORADH 3. Tá sleasa cearnóige go léir comh-
ada agus is dronuille gach uile uille dá bhfuil uirthe.

COMHTHORADH 4. Tá dhá leith déanta dhá chéile ag
treasnáin treolínteáin.

CLEACHTA XXV.

An dá phéire sleas atá ar aghaidh a chéile i gceathair-
shleasán, má tá siad comhada tá an figiúir 'na treo-
línteán.

2. An dá phéire uillinneacha atá ar aghaidh a chéile i
gceathairshleasán, má tá siad comhmhór tá an figiúir 'na
treolínteán.

3. Tá gach uile chamchearn ina threolínteán.

4. Dhá shlios chomhgaracha threolínteáin má tá siad
comhada, tá dhá leith déanta d'uillinneacha an treo-
línteáin ag na treasnáin.

5. Treasnáin treolínteáin má tá siad comhada is
dronuilleog é an treolínteán.

6. Má ghníonn treasnáin ceathairshleasáin dhá leith dhá
chéile tá an figiúir na treolínteán.

7. Déanann treasnáin camchearna dhá leith dhá chéile
go dronuillinneach.

8. Má tá treasnáin ceathairshleasáin comhada agus dhá
leith déanta dhá chéile acu go dronuillinneach, is cear-
nóg í an figiúir.

9. Líne díreach ar bith a tarraingightar tré M .i. lár-
phoinnte treasnáin treolínteáin, agus a bhfuil a dhá cheann
insan dá shlios atá ar aghaidh a chéile, tá dhá leith déanta
dhe sa bpoinnte M.

SONNRÚ. — Treasnachán a tugtar ar an líne díreach
atá tarraingthe treasna dhá líne dhíreacha nó tuille agus dhá
líne dhíreacha eile.

TAIRISGINT 24. — TEORAGÁN.

Na heidirlínte a déantar má thuiteann trí líne,
nó tuille agus trí líne, díreacha comhthreormhara ar
threasnachán, má tá siad comhada, beidh na heidir-
línte atá déanta acu ar aon treasnachán eile beidh
siad-san comhada.

Na heidirlínte AB, BC, CD a rinne na línte díreacha
comhthreormhara AL, BM, CN, DR ar threasnachán, tá siad
comhada.

Tá sé le cruthú go bhfuil na heidirlínte LM, MN, NR,
atá ar threasnachán eile, comhada.

Tógáil. Tarraing na línte AE, BF, CG, thré A, B,
C, comhthreormhar le LR.

Cruthú. Ó thárla AE agus BF comhthreormhar agus go dtuit
eann AC ortha, tá an uille BAE agus an uille CBF comhmhór.

Agus ó thárla BM agus CN comhthreormhar agus go dtuiteann AC
ortha, tá n auille ABE agus an uille BCF comhmhór.

an uille BAE agus an uille CBF comhmhór
tá ABE BCF
an líne AB agus an líne BC comhada

insan dá thriantán ABE, BCF;

tá AE agus BF comhada. Tair. 16.

Ach ó thárla gur treolínteáin iad ALME agus BMNF,
tá AE agus LM comhada, agus tá BF agus MN comhada,

tá LM agus MN comhada.

Is féidir a chruthú, ar an gcuma chéadna, go bhfuil LM
(nó MN) agus NR comhada. Q.E.D.

CLEACHTA XXVI.

1. Má tharraingigheann tú líne díreach thré lár-phoinnte
sleasa triantáin agus comhthreormhar le slios eile déan-
faidh sé dhá leith den tríomhadh slios.

2. Tá na sleasa AD, BC comhthreormhar insan gceath-
airshleasán ABCD; an líne a tarraingightar comhth-
reormhar le AD thré lár-phoinnte AB, cruthuigh go
ndéanann sé dhá leith de CD.

3. An líne díreach atá ag ceangal M agus N dhá lár-
phoinnte na sleas AB, AC insan triantán ABC, cruthuigh
go bhfuil sé comhthreormhar le BC agus leath chomh fada leis.
(Leig le MN go dtí H agus bíodh NH agus MN comhada, agus cean-
gail C agus H le chéile).

4. Tá lár-phoinntí L, M, N, na sleas atá le triantán
ceangailte ag na línte LM, MN, NL, agus tá cheithre

thriantán déanta ag na línte den triantán mór agus na
cheithre triantáin comhmhor ar gach uile shlighe.

5. Is iad D, E, F, lár-phoinntí na sleas BC, AC, AB
atá leis an triantán ABC; cruthuigh go bhfuil dhá leith
déanta dhá chéile ag na línte AD, EF.

6. Is iad L, M, N, R, lár-phoinntí na sleas AB, BC,
CD, DA, atá le ceathairshleasán. Is iad P, O, lár-
phoinntí na dtreasnán AC, BD; cruthuigh

(1) gur treolínteáin iad LMNR agus LPNO; agus

(2) go dtéidheann MR, PO thré lár-phoinnte LN agus go
bhfuil dhá leith déanta dhíobh sa bpoinnte sin.

7. Treolínteán é ABCD agus is iad R, S lár-phoinntí
na sleas AB, CD; cruthuigh go bhfuil trí chuid chothroma
déanta den treasnán BD ag AS, CR.

8. Na sleasa fiara AB, DC atá leis an gcearchosóig
ABCD, tá dhá leith déanta dhíobh insna poinntí M, N;
cruthuigh go bhfuil MN comhthreormhar le AD agus le BC agus leath
chomh fada leo araon as a chéile.

DE NA TÓGÁLA innseo síos.

Ceisteanna iad na tairisgiona seo síos (25–33);
tá sé a' teastáil rud eicínt a dhéanamh ins gach ceann
acu, ach níl cead rialóir céimeann ná rialghrádh a bheith
ag duine a tarraint na bhfiugúirí

Is féidir líne díreach a tharraint ó phoinnte áirithe go
dtí poinnte áirithe eile, nó fad a chur as líne atá ann
cheana le congnamh ó rialóir clárach.

Baintear leas as compás le haghaidh cearcall a thar-
raint agus le cuid a bhaint den líne is fuide de dhá líne
dhíreacha le n-a dhéanamh chomh fada leis an gceann is
giorra acu.

Caithfidh an mac léighinn gach uile thairisgint díobh seo
a thógáil ina leabhar féin, agus é dhá bhfoghluim agus ní mór
figiúirí a bheith tarraingthe chomh ceart agus is féidir é.

TAIRISGINT 25. — CEIST.

Triantán a thógáil a mbeidh a thrí shleasa chomh
fada le trí línte díreacha áirithe, agus aon dá líne
dhíobh-san, i n-éineacht, a bheith níos fuide ná an
tríomhadh ceann.

Is iad r, o, p na trí línte díreacha áirithe.

Tógáil. Tarraing an líne díreach AF, agus gearr cuid
de .i. AB a bheas chomh fada le p.

Déan lár cearcaill d'A, agus fad o de gha uaidh,
tarraing stuagh an chearcaill.

Déan lár-phoinnte eile de B, agus fad r de gha uaidh,
tarraing an stuagh eile agus gearradh sé an ceann tosaigh
sa bpoinnte C.

Ceangail A de C agus B de C.

Isé ABC an triantán a bhí ag teastáil, mar tá na
sleasa chomh fada le na línte áirithe .i. AB agus p comhada,
AC agus o comhada, agus BC agus r comhada.

Nota. — Maran fuide o, r as a chéile ná p, nó maran
giorra ná p a bhfuil d'fhad ag o ar r, chífear an dá
chearcall a bhfuil A agus B mar dhá lár ionnta nach ngearrfa
siad a chéile.

Dhá gcríochnuightí an dá chearcall ghearrfaidís a chéile
arís an taobh eile de AB; ionnus gur féidir dhá thriantán
chomhfheileamhnacha fhagháil, ón tógáil, agus iad araon ag
coimhlíonadh na gcoingheall.

TAIRISGINT 26. — CEIST.

Dhá leith a dhéanamh d'uillinn áirithe.

Isí BAC an uille áirithe a bhfuil dhá leith le déanamh dhi.

Tógáil. Fágh fad ar bith ón lár A mar gha, agus tarraing
stuagh cearcaill agus gearradh sé AB sa bpoinnte D, agus AC
sa bpoinnte E.

Fágh dhá gha agus fad comhgarach comhada ar bith ionnta, ón
dá lár D agus E, agus tarraing dhá stuagh dhá chearcall agus gearr-
aidís a chéile sa bpoinnte F.

Ceangail A d' F.

Beidh dhá leith déanta den uillinn innsin ag AF.

Cruthú. Ceangail D d'F, agus E d' F.

Insan dá thriantán ADF, AEF.

AD agus AE comhada
tá DF agus EF agus
AF mar shlios choitcheann leo araon

tá na triantáin comhmhór ar gach uile bhealach;

tá an uille DAF agus an uille EAF comhmhór;

sé sin, déanann AF dhá leith den uillinn BAC.

TAIRISGINT 27. — CEIST.

Dhá leith a dhéanamh de líne díreach áirithe.

Isé AB an líne áirithe a bhfuil dhá leith le déanamh dhe

Tógáil. Déan dhá lár-phoinnte d'A agus de B, agus fad dhá
gha chomhgaracha chomhada ar bith uatha tóg an dá chearcall
a ghearrfas a chéile ag na poinntí C, D.

Ceangail C agus D dá chéile agus gearradh an líne AB ag M.

Beidh dhá leith déanta d' AB sa bpoinnte M.

Cruthú. Ceangail A de C, B de C, A de D' B de D.

Insan dá thriantán ACD, BCD,

AC agus BC comhada,
tá AD agus BD comhada,
CD mar shlios choitcheann leo araon;

tá an uille ACD agus an uille BCD comhmhór. Tair. 7

Agus insan dá thriantán ACM, BCM,

AC agus BC comhada,
tá CM mar shlios choitcheann leo araon,
an dá uillinn ACM, BCM comhmhór

tá AM agus BM comhada; Tair. 4.

sé sin, tá dhá leith déanta d'AB sa bpoinnte M.

TAIRISGINT 28. — CEIST.

Líne díreach a tharraint ó phoinnte áirithe i líne
díreach áirithe agus ingearach leis.

Isé AB an líne díreach áirithe agus P an poinnte áirithe
ann ó n-a bhfuil an t-ingear le tarraint le AB.

Tógáil. Bain dhá ghiota chomhada PE, PF de AB ón
lár P. Fágh dhá gha chomhgaracha chomhada ag síneadh ón dá
lár E, F agus gearradh an dá gha a chéile sa bpoinnte C.

Ceangail P agus C dá chéile.

Isé PC an t-ingear á bhí ag teastáil.

Cruthú. Ceangail E de C agus F de C.

Ins an dá thriantán EPC, FPC,

PE agus 'PF comhada.
tá PC mar shlios choitcheann leo araon,
EC agus FC comhada;

tá an uille CPE agus an uille CPF comhmhór.

Tair. 7.

Ach is dhá uillinn chomhgaracha iad-san;

is dhá dhronuillinn iad.

tá PC ingearach le AB.

Modh Eile. Fágh poinnte ar bith, O cuir i gcás, amach
ó AB. Fad OP de gha amach ón lár O tóg cearcall agus

gearradh sé AB sa bpoinnte D. Ceangail D d'O agus leig
leis go dtí an tin cheallaí thall sa bpoinnte C. Ceangail
P de C. Beidh C ingearach le AB.

Cruthú. Ceangail O de P.

tá an uille CPB chomh mór leis an dá uillinn CDP, DCP,
i n-éineacht, Tair. 21.

ach tá an dá uillinn ODP, OPD comhmhór, agus Tair. 5
tá an dá uillinn OPC, OCP comhmhór;

tá an uille CPB agus an uille CPD comhmhór;

ach is dhá uillinn chomhgaracha iad;

uime sin tá CP ingearach le AB.

TAIRISGINT 29. — CEIST.

Líne díreach a tharraint ingearach le líne díreac
áirithe agus ó phoinnte áirithe amach uaidh.

Isé AD an líne díreach áirithe agus ise P an poinnte
amach uaidh a bhfuil an t-ingear le tarraint uaidh go dtí
AB.

Tógáil. Tarraing ga ón lár P agus fad áiseach ann,
agus tóg cearcall a ghearrfas AB san dá phoinnte C, D.

Dhá gha áiseacha chomhada a bheith agad agus dhá lár C, D,
tarraing dhá stuagh agus gearraidís a chéile sa bpoinnte O.

Ceangail P d'O agus gearradh sé an líne AB sa bpoinnte L.

Isé PL innsin an t-ingear a bhí a' teastáil.

Cruthú. Ceangail C de P, agus D de P, agus C d'O agus D d'O.

Insan dá thriantán CPO, DPO,
CP agus DP comhada,
tá CO agus DO
PO 'na shlios choitcheann eatortha;

tá an uille CPO agus an uille DPO comhmhór.

Tair. 7.

Agus insan dá thriantán CPL, DPL,
CP agus DP comhada,
tá PL na shlios choitcheann eatortha,
an uille CPL agus an uille DPL comhmhór;

tá an uille CLP agus an uille DLP comhmhór. Tair. 4.

Ach is dhá uillinn chomhgaracha iad sin;

is dhá dhronuillinn iad.

tá PL ingearach le AB.

Modh Eile. Isé AB an líne díreach áirithe agus C an
poinnte áirithe. (Mar tá an fig. san Modh Eile, Tair. 28.)

Tógáil. Poinnte áiseach ar bith, mar D, sa líne
AB, ceangail C dhe.

Déan dhá leith de CD sa bpoinnte O.

An lár O a bheith ann agus an fhad OC mar gha, tarraing cear-
call a ghearrfas AB sa bpoinnte P. Ceangail C de P.

Beidh CP ingearach le AB.

Cruthú. Mar tá sé i dTair. 28, Modh Eile.

TAIRISGINT 30. — CEIST.

Uille a thógáil i bpoinnte áirithe i líne díreach
áirithe agus í bheith chomh mór le uillinn áirithe.

Isé P an poinnte áirithe insan líne díreach áirithe DE
a bhfuil uille le cur air a bheas chomh mór leis an uillinn
áirithe BAC.

Tógáil. Fágh dhá fhad chomhgaracha chomhada, mar dhá gha,
ón dá lár A, P, agus tóg an dá stuagh FG, OR leo agus gearradh
na stuagha na línte AB, AC, PE insna poinntí F, G, O.
Tóg O mar lár agus ga chomh fada le FG agus tarraing stuagh
a ghearrfas an stuagh OR sa bpoinnte R.

Ceangail P d'R.

Isí an uille OPR an uille bhí a' teastáil.

Cruthú. Ceangail F do G agus O d'R.

Insan dá thriantán FAG, OPR,

AF agus PO comhada
tá AG agus PR
FG agus OR

tá an uille FAG agus an uille OPR comhmhór, Tair. 7.
isé sin, tá an uille EPR agus an uille BAC comhmhór.

TAIRISGINT 31. — CEIST.
Tarraing líne díreach thré phoinnte áirithe agus bíodh sé
comhthreormhar le líne díreach áirithe.

Isé AB an líne díreach áirithe agus P an poinnte áirithe
a bhfuil líne díreach le tarraint thríd a bheas comhthreor-
mhar le AB.

Tógáil. Fágh poinnte ar bith, C, sa líne AB, agus
ceangail C de P.

Tarraing an stuagh PD ar an nga CP agus thart ar an lár C.

Tarraing an stuagh CO ar an nga PC agus thart ar an lár P
Ceangail DP.

Thart ar an lár C agus ar gha chomh fada le DP, tarraing
stuagh a ghearrfas an stuagh CO sa bpoinnte O.

Ceangail O agus P dá chéile.

Beidh OP comhthreormhar le AB innsin.

Cruthú. Insan dá thriantán DCP, OPC,

CD agus PO comhada,
tá CP mar shlios choitcheanta leo araon,
DP agus CO comhada

tá an uille DCP agus an uille OPC comhmhór; Tair. 7.
agus is dhá uillinn umthanacha iad-san;

tá OP agus AB comhthreormhar. Tair. 18.

An Dara Modh. Nó is forusta a chruthú leis an
bhfíorchearn, mar tá sé i gCleachta a XII., go bhfuil.
na línte díreacha comhthreormhar.

TAIRISGINT 32. — CEIST.

Uimhir ar bith de chodcha chomhada a dhéanamh de líne
dhíreach.

Isé AB an líne díreach áirithe a bhfuil chúig roinn, cuir
i gcás, le déanamh dhe.

Tógáil. Tarraing AL ó A agus déanadh sé uille le AB.

Déan chúig chuid chomhada chomhgaracha d'AL .i. AP, PO,
OR, RS, ST.

Ceangail B de T.

Tarraing línte thré P, O, R, S, comhthreormhar le TB agus
tigdís ar AB insna poinntí C, D, E, F.

Tá chúig chuid chomhada déanta d'AB innsin.

Cruthú. Tarraing MN thré A comhthreormhar le TB.

Na heidirlínte AP, PO, OR, RS, ST atá déanta ag
na sé línte díreacha comhthreormhara ar an treasnachán
AL tá siad comhada;

na heidirlínte AC, CD, DE, EF, FB a rinneadh
ar an treasnachán A.B tá siad comhada.

Uime sin tá chúig roinn chomhada déanta d'AB.

TAIRISGINT 33. — CEIST.

Cearnóg a thógáil ar líne díreach áirithe.

Isé AB an líne díreach áirithe.

Cearnóg a thógáil agus an líne áirithe AB a bheith mar
shlios dá sleasaibh.

Tógáil. Tarraing AL ó A ingearach le AB.

Bain an giota AD d'AL, agus bíodh sé féin agus AB comhada.

Tarraing BC thré B comhthreormhar le AL, agus tarraing
DC thré D comhthreormhar le AB.

Isí ABCD an chearnóg a bhí ag teastáil.

Cruthú. Is treolínteán é ABCD agus is dronuille í
an uille A,

is dronuilleog í ABCD.

Agus na sleasa comhgaracha AB, AD, tá siad comhada,

is cearnóg í ABCD.

CLEACHTA XXVII.

DO RÉIR FEIDHME.

1. Dhá phoinnte A, B atá 3 hórlaí óna chéile; agus fágh
poinnte eile atá 2 órlach ó A agus 1.5 ór. ó B. Cé mhéad
poinnte díobh-san ann?

2. Líne díreach ar bith agus an poinnte P, atá 4cm. uaidh.
Fágh poinntí atá 7cm. ón líne agus 5cm. ó P. Na poinntí

a fríth do choimhlíonadh na gcoingheall cén fhad atá
eatortha?

3. Tarraing triantán a mbeidh na sleasa atá leis
6cm., 7 gcm., agus 8 gcm. Cá háit ar an slios atá
7 gcm. a bhfuil an poinnte atá comhada ó na sleasa eile,
agus tomhais na gearrthóga atá déanta den tslios ag an
bpoinnte. 'Sbáin cé'n chaoi an bhféadfaí poinnte eile
fháil (ar an bhfad a curtar as an slios sin) atá comhada
ó n-a sleasa eile.

4. Tarraing an dá líne AB, CD dronuillinneach le
chéile agus tigdís ar a chéile sa bpoinnte O. Cá bhfuil an
poinnte atá 2 órlach ó AB agus 1.5 ór. ó CD? Cé mhéad
poinnte de na poinntí sin ann? Cáide ó O gach ceann
acu?

5. Tarraing triantán comhshleasach agus gach slios de
7.5cm. agus fágh amach cá háit ar shlios de a bhfuil an poinnte
atá 4.5cm. ó shlios eile. Tomhais cé n fhad ón tríomhadh
slios an poinnte sin.

6. Tarraing triantán comhshleasach agus gach slios de
3 hórlaí ar fad agus fágh amach cén áit istigh ann a bhfuil
an poinnte atá 1.4 ór. ó shlios agus 1.2 ór. ó shlios eile.
Tomhais cé'n fhad ón tríomhadh slios an poinnte.

7. Tóg triantán géaruillinneach agus triantán maol
uillinneach, bíodh an uille A 45 grádha, bíodh AB 3.2
órlaí, agus BC 2.4 órlaí. Tomhais cén mhéid atá san
uillinn C ins gach triantán díobh.

8. Tóg triantán a mbeidh AB 3 hór., AC 2.4 ór., agus
BC 1.8 ór. Fágh amach cén áit ar AC agus ar an bhfad a
cuireadh as AC a bhfuil dhá phoinnte atá comhada ó AB agus ó
BC. Cáide ó AB iad?

9. Tarraing triantán agus na sleasa atá leis 6.5cm.,
7cm., agus 7.5cm. Cá bhfuil an poinnte atá comhada
ó na reanna agus tomhais cén fhad ó na reanna é.

10. Tarraing triantán eile agus na sleasa atá leis 6.5
cm., 7cm., agus 7.5cm. Cá bhfuil an poinnte, istigh sa

triantán, atá comhada ó na trí sleasa agus tomhais cén fhad
é ó gach slios.

11. Tarraing triantán agus na sleasa an fhad seo:
BC 2 órlach, AC 1.5 órlach, AB 2.5 órlach. Leig leis na
sleasa AB, AC agus fágh amach cén áit istigh i ngéaga na
huillinne A a bhfuil dhá phoinnte atá comhada ó shleasa an
triantáin. Tomhais cén fhad é ó na sleasa go dtí na
poinntí sin.

12. Tóg an triantán ABC agus AB 5 órlaí, agus
C 2.4 órlach ó AB,. agus C 2.5 órlach ó lár-phoinnte AB.
Tomhais cén fhad AC agus BC.

CLEACHTA XXVIII.

1. Líne áirithe é AB agus poinnte áirithe amach uaidh é P.
Togh poinnte ar bith ar AB, O cuir i gcás, agus ceangail do
P é. Leig le OP go dtí R agus bíodh OP agus PR comhada. Cá
bhfuil rian-phoinnte R, agus O ag gluaiseacht ar feadh AB?

2. Líne áirithe é AB agus poinnte áirithe amach uaidh é O
Togh poinnte ar bith ar AB, N cuir i gcás, agus ceangail
d'O é. Cá bhfuil rian-phoinnte M, sin é lár-phoinnte
ON, agus N ag gluaiseacht ar feadh AB?

3. Líne áirithe é EF agus poinnte áirithe amach uaidh é B.
Ceangail B do phoinnte ar bith atá ar EF, do C cuir i
gcás, agus leig le BC go D agus bíodh C.D agus BC comhada. Cá
bhfuil rian-phoinnte D, agus C ag gluaiseacht ar feadh EF.

4. Dhá phoinnte áirithe iad A, B. Tarraing líne
díreach ar bith thré A agus tarraing BL ingearach leis. Cá
bhfuil rian-phoinnte L, agus A.L ag casadh thart timcheall
ar A? (Féach ceist a 7 Cl.. XXIV.).

5. Dhá líne dhíreacha iad DE, DF agus iad dronuillinneach
le n-a chéile sa bpoinnte D. Dhá phoinnte iad A, B,
atá ag gluaiseacht ar feadh DE, DF agus 4 hórlaí d'fhad i
gcomhnuidhe eatortha. Cá bhfuil rian-phoinnte de lár-
phoinnte AB?

6. Poinnte istigh i gcearcall é P. Lár-phoinntí na
línte díreacha a tarraingightar ó P go dtí an tim
cheallaí, cá bhfuil a rian-phoinntí sin (1) nuair isé P lár
an chearcaill, nuair (2) nach é P lár an chearcaill?

7. Líne díreach é AB agus é ag gearradh cearcaill
áirithe, agus poinnte istigh sa gcearcall é P. Sbáin cén
chaoi a dtarraingeofaí líne díreach CD, thré P, ceann
de a bheith ar AB agus an ceann eile dhe ar an timcheallaí,
agus CP agus DP a bheith comhada. Cé mhéad líne dhíobh is féidir
a tharraint? An féidir an cheist a réiteach i gcomhnuidhe?