Corpas

<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<!DOCTYPE TEI [
<!ENTITY hellip "…">
]>
<TEI><teiHeader type="text">
	 <fileDesc>
	  <titleStmt><title type="main">Tús na Céimseatan - Leabhar a hAon</title><author><name type="main">Joseph Browne, aistrithe ag Eoghan Ó Neachtain</name></author><respStmt>
		<resp>Electronic edition compiled by</resp>
		<name>Foclóir na Nua-Ghaeilge</name>
		</respStmt>
	  </titleStmt><editionStmt>
                     <edition>
                         <note type="N">A008</note>
                         <note type="L">iii</note>
                         <note type="B">1923</note>
                         <note type="C">Prós</note>
                         <note><p>Description of how and why changes were made</p></note>
                     </edition>
            </editionStmt><publicationStmt>
		<publisher>Foclóir na Nua-Ghaeilge</publisher>
		<pubPlace>19 Dawson Street, Dublin 2</pubPlace>
		<pubPlace>http://www.ria.ie/research/focloir-na-Nua-Ghaeilge.aspx</pubPlace><date>2013</date><idno>A008</idno><distributor>Royal Irish Academy</distributor>
		<availability>
		<p>Creative Commons Attribution Non-Commercial Share Alike (cc by-nc-sa)</p>
		</availability>
	  </publicationStmt>
	  <sourceDesc><bibl><title>Tús na Céimseatan - Leabhar a hAon</title><author>Joseph Browne, aistrithe ag Eoghan Ó Neachtain</author><imprint><publisher>Connradh na Gaedhilge</publisher><date>1923</date></imprint>
 </bibl></sourceDesc></fileDesc>
	</teiHeader>
<text><body><div><p>
<lb n="1"/><span>TÚS NA CÉIMSEATAN</span></p>
<lb n="2"/>
<lb n="3"/><p><span>BROLLACH.</span></p>
<lb n="4"/>
<lb n="5"/><p><span>Is é Joseph Brown, M.A., T.C.D., a chuir i n-eagar</span>
<lb n="6"/><span>an chéad leabhar seo den chéimseata as a ndearna mé</span>
<lb n="7"/><span>an t-aistriú seo; agus is é Cormac Breathnach, Uach-</span>
<lb n="8"/><span>tarán ar Chumann na Múinteoirí Náisiúnta, a mhol dom</span>
<lb n="9"/><span>gan gach a raibh ag an mBrúnach a thabhairt liom san</span>
<lb n="10"/><span>aistriú, go madh leor tuairim le leath a raibh de chleach-</span>
<lb n="11"/><span>taí aige, agus tuille dá raibh aige nach raibh aon chall</span>
<lb n="12"/><span>leis faoi láthair sa nGaedhilg.</span></p>
<lb n="13"/>
<lb n="14"/><p><span>Tá sé 15 bhliana ó rinneas aistriú cheana ar an leabhar</span>
<lb n="15"/><span>seo, sa mbliain 1908.  Bu gnáthach an uair son eagar</span>
<lb n="16"/><span>áirithe a bheith ar an ealadhain, ach do réir mar chuaidh</span>
<lb n="17"/><span>lucht na healadhaine isteach insna ceisteanna dorcha</span>
<lb n="18"/><span>docamhlacha a bhain léi, dhá mion-sgrúdú, fachtas</span>
<lb n="19"/><span>dóibh nár mhiste eagar nua a chur ar an obair.  Rinn-</span>
<lb n="20"/><span>eadar sin, agus ní hé leagan amach Euclid a leanadar</span>
<lb n="21"/><span>go hiomlán.  Sin é an t-údarás a bhí ag an mBrúnach</span>
<lb n="22"/><span>leis an gcaoi ar leag sé féin amach an leabhar seo.</span></p>
<lb n="23"/>
<lb n="24"/><p><span>Mo chuid-se dhe, bhí mé sásta leis an aistriú a</span>
<lb n="25"/><span>dhéanamh, agus rinneas é sin glan as a nua.  D'fhága</span>
<lb n="26"/><span>mé an t-eagar mar bhí sé ag an bhfear eile.  Tá corr-</span>
<lb n="27"/><span>fhocal nár chuireas síos den chor seo mar bhíodar shíos</span>
<lb n="28"/><span>cheana agam, agus beagán beag focal atá litrighthe</span>
<lb n="29"/><span>agam anois féin an dhá shlí.</span></p>
<lb n="30"/>
<lb n="31"/><p><span>Na cleachtaí atá ag gabhail le gach tairisgint tá gaol</span>
<lb n="32"/><span>gairid idir iad agus an tairisgint ónar fhásadar, agus má</span>
<lb n="33"/><span>shaothruigheann an sgoláire na cleachtaí, agus a</span>
<lb n="34"/><span>dtuisgint i gceart — agus níl ceachtar acu doiléir — ní</span>
<lb n="35"/><span>dhéanfha sé aon dearmad feasta ar an méid sin den</span>
<lb n="36"/><span>obair.  Ach níor mhór dhó uirnis a bheith aige le n-a</span>
<lb n="37"/><span>dtomhaisfeadh sé uille agus achar agus líne, 'sé sin</span>
<lb n="38"/><span>compás agus rial agus neithe mar sin; má bhíonn an</span>
<lb n="39"/><span>uirnis aige agus é fhéin ghá n-oibriú is cumasach an</span>
<lb n="40"/><span>congnamh dhó é.</span></p>
<lb n="41"/>
<lb n="42"/><p><span>E. Ó. N.</span></p>
<lb n="43"/>
<lb n="44"/><p><span>Bleáclia,</span>
<lb n="45"/><span>Abráin, 1923.</span>
<lb n="46"/></p>
</div>
<pb n="iv"/>
<div><lb n="47"/><p><span>Má fiafruightheach ba fiosach,</span>
<lb n="48"/><span>Glic an éigse fhor-cheasdach;</span>
<lb n="49"/><span>Fuasglann ceisd ceisd eile,</span>
<lb n="50"/><span>Dorus fiosa fiafruighthe.</span></p>
<lb n="51"/>
<lb n="52"/><p><span>GODFRAIDH FIONN O DALAIGH.</span></p>
<lb n="53"/>
<lb n="54"/><p><span>An fhoghluim do-gheibh duine i n-aois a leinbh</span>
<lb n="55"/><span>leanbuidhe</span>
<lb n="56"/><span>Ní bhaintear as ach tre dhóghruing, má olc</span>
<lb n="57"/><span>maith an chéan-fhoghluim.</span></p>
<lb n="58"/>
<lb n="59"/><p><span>SEAN-RANN.</span>
<lb n="60"/></p>
</div>
<pb n="v"/>
<div><lb n="61"/><p/>
</div>
<pb n="1"/>
<div><lb n="62"/><p><span>TÚS NA CÉIMSEATAN</span></p>
<lb n="63"/>
<lb n="64"/><p><span>INNSEO SÍOS.</span></p>
<lb n="65"/>
<lb n="66"/><p><span>Sgrúduigh bloc dronuillinneach, nó bríce nó bloc</span>
<lb n="67"/><span>cúbac.  Síneann sé i dtrí threo, 'sé sin le rádh tá fad</span>
<lb n="68"/><span>leithead agus tiughas ann.</span></p>
<lb n="69"/>
<lb n="70"/><p><span>Tá sé pháirt ann, ar an taobh amuigh dhe.</span></p>
<lb n="71"/>
<lb n="72"/><p><span>An falach iomlán atá mar thórainn leis, ar an taobh</span>
<lb n="73"/><span>amuigh dhe sin é a dhromchla, agus na sé pháirt sin iad éadain</span>
<lb n="74"/><span>an bhluic.</span></p>
<lb n="75"/>
<lb n="76"/><p><span>Gach éadan díobh tá sé comhréidh agus tá fad agus leithead ann</span></p>
<lb n="77"/>
<lb n="78"/><p><span>Níl aon tiughas san éadan, 'sé sin sa dromchla.</span></p>
<lb n="79"/>
<lb n="80"/><p><span>Dromchla comhréidh sin dromchla cothrom, nó coth-</span>
<lb n="81"/><span>román.</span></p>
<lb n="82"/>
<lb n="83"/><p><span>Gach éadan den bhloc is línte atá mar thórainneacha</span>
<lb n="84"/><span>leis.  Cé mhéad líne le gach éadan?  Isiad ciumhaiseanna</span>
<lb n="85"/><span>an bhluic na línte sin.  Cé mhéad ciumhais ann?</span></p>
<lb n="86"/>
<lb n="87"/><p><span>Líne céimseatan níl ann ach fad, níl léithead ná tiughas</span>
<lb n="88"/><span>ann.</span></p>
<lb n="89"/>
<lb n="90"/><p><span>Ní féidir líne céimseatan a tharraint ar pháipéar.</span>
<lb n="91"/><span>Tuige?  An rud a tarraingítar ar pháipéar níl ann ach</span>
<lb n="92"/><span>go spáineann sé céard é líne.</span></p>
<lb n="93"/>
<lb n="94"/><p><span>Trí chiumhais bluic tagann siad un a chéile i bpoinnte.</span>
<lb n="95"/><span>Dhá líne tórann atá leis an éadan tagann siad un a chéile</span>
<lb n="96"/><span>i bpoinnte.  Cé mhéad treo i bpoinnte?</span></p>
<lb n="97"/>
<lb n="98"/><p><span>Ní féidir poinnte ceart a dhéanamh ar pháipéar le</span>
<lb n="99"/><span>peannluaidhe; teasbáineann maircín beag áit an phoinnte,</span>
<lb n="100"/><span>ach sin é a ndéanann sé.  Do réir cinnlitreacha iseadh a</span>
<lb n="101"/><span>hainmnightear poinntí, agus curtar an litir i ngar don</span>
<lb n="102"/><span>phoinnte a bhfuil sí mar ainm air.</span></p>
<lb n="103"/>
<lb n="104"/><p><span>AN CEARCALL.</span></p>
<lb n="105"/>
<lb n="106"/><p><span>Tarraing dronlíne AB, bíodh 1.4 ór. ina fhad, agus fágh</span>
<lb n="107"/><span>poinnte O mar atá i bhfig. 1.  Cuir an bior gear den</span></p>
</div>
<pb n="2"/>
<div><lb n="108"/><p><span>chompás ar an bpoinnte A, agus osgail an compás go dtí</span>
<lb n="109"/><span>go mbeidh an chos eile dhe ar an bpoinnte B.  Fágann sin</span>
<lb n="110"/><span>1.4 ór. go díreach idir A agus B dhá phoinnte an chompáis.</span>
<lb n="111"/><span>Coinnigh dhá chois an chompáis an fhad sin ó n-a chéile, cuir</span>
<lb n="112"/><span>an poinnte géar dhe ar O agus cas an chos eile a bhfuil an</span>
<lb n="113"/><span>peannluaidhe ann thart timcheall go ndéana sé líne ar</span>
<lb n="114"/><span>an bpáipéar.</span></p>
<lb n="115"/>
<lb n="116"/><p><span>An líne lúbtha a rinneadh leis an bpeannluaidhe isé</span>
<lb n="117"/><span>tórainn an chearcaill é agus timcheallaí a tugtar air.</span>
<lb n="118"/><span>Stuagh cearcaill a tugtar ar chuid ar bith den timcheallaí,</span>
<lb n="119"/><span>ar EC cuir i gcás.  Isé an poinnte O lár an chearcaill.</span>
<lb n="120"/><span>Ga cearcaill a tugtar ar dhronlíne ar bith atá ag dul</span>
<lb n="121"/><span>ón lár go dtí an timcheallaí.  Isé an lárlíne an dronlíne</span>
<lb n="122"/><span>atá ag dul ón timcheallaí thríd an lár agus go dtí an tim-</span>
<lb n="123"/><span>cheallaí thall.  Is gaethe iad OC, OD, OE agus is lárlíne é</span>
<lb n="124"/><span>DE.  Cuir an poinnte géar den chompás ar an bpoinnte</span>
<lb n="125"/><span>O arís, agus féacha, agus tú a' tarraint an pheannluaidhe arís</span>
<lb n="126"/><span>ar an timcheallaí, gur b'é an fhad céadna atá ins an nga</span>
<lb n="127"/><span>i gcomhnuidhe atá idir dhá chois an chompáis agus dá bhrígh sin:</span></p>
<lb n="128"/>
<lb n="129"/><p><span>Tá gaethe cearcaill comhada.</span></p>
<lb n="130"/>
<lb n="131"/><p><span>Tomhais lárlíne cearcaill.  An bhféadfá a fhagháil</span>
<lb n="132"/><span>amach gan a thomhas cé an fad atá ann?  Cé mhéad lárlíne</span>
<lb n="133"/><span>is féidir a bheith i gcearcall?  An bhfuil siad comhada?</span>
<lb n="134"/></p>
</div>
<pb n="3"/>
<div><lb n="135"/><p><span>CLEACHTA I.</span></p>
<lb n="136"/>
<lb n="137"/><p><span>1.  Tarraing cearcall ar rúinne pháipéir agus tarraing</span>
<lb n="138"/><span>lárlíne.  Gearr amach an cearcall le siosúr agus fill é</span>
<lb n="139"/><span>agus bíodh an fithín ar feadh an lárlíne, nó gearr ar feadh</span>
<lb n="140"/><span>an lárlíne agus déan dhá leith chomhmhóra den chearcall.  An</span>
<lb n="141"/><span>dá leith a déantar den chearcall an dtuilleann siad</span>
<lb n="142"/><span>go cruinn ar a chéile?  Leith-chearcall a tugtar ar gach</span>
<lb n="143"/><span>roinn díobh.</span></p>
<lb n="144"/>
<lb n="145"/><p><span>2.  Tarraing cheithre chearcall agus bíodh an poinnte</span>
<lb n="146"/><span>céadna mar lár ionnta.  1.3 órlaí fad an ghaethe insan</span>
<lb n="147"/><span>gcearcall is mó, 1.1 órlaí fad an ghaethe ins an gcéad</span>
<lb n="148"/><span>cheann eile, .9 órlaí sa gcéad cheann eile agus .7 órlaí</span>
<lb n="149"/><span>fad an ghaethe sa gceann is lugha.</span></p>
<lb n="150"/>
<lb n="151"/><p><span>Ní mór an peannluaidhe a ghéarú agus béal siséil a chur air, cuir</span>
<lb n="152"/><span>sa gcompás é innsin sa gcaoi go mbeidh leithéad an bhéil ar</span>
<lb n="153"/><span>aghaidh na coise eile.  Is féidir líne an-tanaidhe a tharraint le</span>
<lb n="154"/><span>peannluaidhe den tsórt sin líne nach mbeadh ann ach go bhfeicfí</span>
<lb n="155"/><span>é agus isé sin an sórt líne bu chóir a bheith mar thimcheallaí le cearcall.</span></p>
<lb n="156"/>
<lb n="157"/><p><span>3.  Tarraing dronlíne AB a bheas 2 órlach ar fad.</span>
<lb n="158"/><span>Déan lár-phoinnte de A agus tarraing an cearcall a mbeidh</span>
<lb n="159"/><span>an ga 1.2 órlaí ar fad ann.  Agus déan lár de B</span>
<lb n="160"/><span>agus tarraing cearcall eile a mbeidh an ga .8 órlaí ann.</span>
<lb n="161"/><span>(Fágh amach i dtosach an poinnte C insan líne AB agus bíodh</span>
<lb n="162"/><span>C 1.2 órlaí ó A).  An gcasann na timcheallaíthe dá</span>
<lb n="163"/><span>chéile?  An ngearrann siad a chéile?</span></p>
<lb n="164"/>
<lb n="165"/><p><span>4.  Tarraing an dronlíne AB agus bíodh 3 chéadaméadar</span>
<lb n="166"/><span>ina fhad.  Déan lár-phoinnte de A agus tarraing an</span>
<lb n="167"/><span>cearcall agus bíodh 5cm. ar fad ina gha.  Tarraing cearcall</span>
<lb n="168"/><span>eile, bíodh B mar lár ann agus bíodh 2cm. ar fad ina gha.</span></p>
<lb n="169"/>
<lb n="170"/><p><span>UILLINNEACHA.</span></p>
<lb n="171"/>
<lb n="172"/><p><span>Dhá dhronlíne a tarraingítar ó phoinnte ar bith déanann</span>
<lb n="173"/><span>siad uille le n-a chéile insan bpoinnte sin.  San bhfig.</span>
<lb n="174"/><span>2 cuir i gcás, déanann an dá líne OA, OB uille le</span></p>
</div>
<pb n="4"/>
<div><lb n="175"/><p><span>chéile insan bpoinnte O; déanann an dá líne PC, PD</span>
<lb n="176"/><span>uille eile le chéile san bpoinnte P; agus an dá líne RE, RF</span>
<lb n="177"/><span>uille eile insan bpoinnte R.</span></p>
<lb n="178"/>
<lb n="179"/><p><span>Rinn na huillinne tosaigh a tugtar ar O agus a géaga sin</span>
<lb n="180"/><span>iad OA, OB.</span></p>
<lb n="181"/>
<lb n="182"/><p><span>Ag ainmniú uillinne is iondamhuil go ndéantar úsáid</span>
<lb n="183"/><span>de thrí litir, agus thiubhrfaidhe an uille BOA nó AOB ar an</span>
<lb n="184"/><span>uillinn tosaigh sin thuas agus an uille CPD ar a dara huillinn.</span>
<lb n="185"/><span>Ní mór an litir ag an rinn a bheith idir dhá litir eile agus</span>
<lb n="186"/><span>iad-san a bheith ar dhá ghéag na huillinne.</span></p>
<lb n="187"/>
<lb n="188"/><p><span>Mara bhfuil aon uille ag an bpoinnte O ach aon uille</span>
<lb n="189"/><span>amháin ní haon dul amugha an uille O a thabhairt uirthi</span>
<lb n="190"/><span>agus is minic a tugtar sin uirthi.  Déantar úsáid freisin</span>
<lb n="191"/><span>den chomhartha < ar uillinn nó den chomhartha agus</span>
<lb n="192"/><span>sgríobhtar an uille thosaigh sin thuas i bhfig. 2 mar so</span>
<lb n="193"/><span>< AOB nó AOB.</span></p>
<lb n="194"/>
<lb n="195"/><p><span>CLEACHTA II.</span></p>
<lb n="196"/>
<lb n="197"/><p><span>1.  Cuir leath-chois den chompás sa gcaoi go mbeidh</span>
<lb n="198"/><span>an taobh istigh dhe ar feadh an líne OA, coinnigh an leath-</span>
<lb n="199"/><span>chois sin mar sin agus cas an leath-chois eile thart ar an tuisle</span>
<lb n="200"/><span>nó go mbeidh an taobh istigh dhe ar feadh an líne OB.  Inn-</span>
<lb n="201"/><span>sin deirtar an uille atá déanta ag an gcompás go bhfuil</span>
<lb n="202"/><span>sí chomh mór leis an uillinn AOB.  Agus nuair a fheileas</span>
<lb n="203"/><span>uille go cruinn d'uillinn eile deirtar go bhfuil an dá</span>
<lb n="204"/><span>uillinn comhmhór.</span></p>
<lb n="205"/>
<lb n="206"/><p><span>2.  Féach an bhfuil an dá uillinn AOB, CPD i bhfig. 3</span>
<lb n="207"/><span>comhmhór agus gearr nó fill píosa de pháipéar a fheilfeas go</span></p>
</div>
<pb n="5"/>
<div><lb n="208"/><p><span>cruinn d'AOB (sin nó déan tarraictheoracht d'AOB)</span>
<lb n="209"/><span>agus cuir leis an uillinn CPD í.</span></p>
<lb n="210"/>
<lb n="211"/><p><span>Tabhair faoi deara nach gábh don dá ghéag OA, OB a</span>
<lb n="212"/><span>bheith chomh fada leis an dá ghéag PC, PD.  Ní bhaineann</span>
<lb n="213"/><span>méid na huillinne le fad na ngéag agus is féidir fad</span>
<lb n="214"/><span>ar bith a chur as na línte OA, OB tré A agus tré B gan aon</span>
<lb n="215"/><span>athrú a chur ar an uillinn.</span></p>
<lb n="216"/>
<lb n="217"/><p><span>3.  Tarraing an figiúir 2 nó gearr amach píosa</span>
<lb n="218"/><span>pháipéir a fheilfeas go cruinn don uillinn CPD.  Cuir</span>
<lb n="219"/><span>poinnte an pháipéir atá gearrtha agad ar O agus a chorr ar</span>
<lb n="220"/><span>OA; féach an luigheann an corr eile ar OB nó nach luigheann</span>
<lb n="221"/><span>agus innis cé acu uille is mó.  Cuir an páipéar innsin ar</span>
<lb n="222"/><span>an uillinn ERF agus a fhagháil amach ort cé acu is mó; an</span>
<lb n="223"/><span>uille CPD nó an uille ERF.  Cé acu uille de na trí cinn</span>
<lb n="224"/><span>is mó agus cé acu is lugha?</span></p>
<lb n="225"/>
<lb n="226"/><p><span>4.  Tarraing an uille AOB ar pháipéar.  Fág poinnte</span>
<lb n="227"/><span>M ar OA agus poinnte eile ar OB.  Cé mhéad caoi is</span>
<lb n="228"/><span>féidir an uille O a ainmniú?</span></p>
<lb n="229"/>
<lb n="230"/><p><span>Déantar uille má hosgluigheatar dronlíne ó dhron-</span>
<lb n="231"/><span>líne eile ach ceann gach líne dhíobh a bheith ina chéile.</span></p>
<lb n="232"/>
<lb n="233"/><p><span>Cuir i gcás go bhfuil an líne OA ar thuisle (Fig. 4)</span>
<lb n="234"/><span>insan bpoinnte O agus go gcastar amach é ar an gcothrom</span></p>
</div>
<pb n="6"/>
<div><lb n="235"/><p><span>ón ionad OA go dtí ionad eile OB is amhlaidh deirtar go</span>
<lb n="236"/><span>gcastar thríd an uillinn AOB é.  Má castar go dtí OC é</span>
<lb n="237"/><span>is í AOC an uille a gcastar thríthe é, agus má castar go dtí</span>
<lb n="238"/><span>OD é isí AOD an uille a gcastar thríthe é.  Cé'n uille</span>
<lb n="239"/><span>a gcastar an líne thríthe má castar ó OB é go dtí OC?</span>
<lb n="240"/><span>Agus má castar an líne ón áit OC go dtí an áit OD cén</span>
<lb n="241"/><span>uille a gcastar an líne thríthe?</span></p>
<lb n="242"/>
<lb n="243"/><p><span>CLEACHTA III.</span></p>
<lb n="244"/>
<lb n="245"/><p><span>AN DRONUILLE.</span></p>
<lb n="246"/>
<lb n="247"/><p><span>Fágh píosa páipéir agus bíodh corr dhe díreach, mar tá AC</span>
<lb n="248"/><span>i bhFig. a 5 cuir i gcás.  Fágh poinnte D ar an líne AC,</span>
<lb n="249"/><span>gar do A, agus fill an páipéar ionnus go dtuitfe an poinnte</span>
<lb n="250"/><span>C ar D, EC den chorr díreach a bheith na luighe ar feadh</span>
<lb n="251"/><span>ED Fig. 6.  Cuir fithín sa bpáipéar ar feadh EF agus osgail</span>
<lb n="252"/><span>amach ar an gcothrom arís é.  Bhfuil an uille AEF chomh</span>
<lb n="253"/><span>mór leis an uillinn CEF?  Tuige?</span></p>
<lb n="254"/>
<lb n="255"/><p><span>Dronuille a tugtar ar an uillinn AEF agus dronuille</span>
<lb n="256"/><span>ar an uillinn CEF.</span></p>
<lb n="257"/>
<lb n="258"/><p><span>2.  Uille ar bith atá chomh mór leis an uillinn AEF is</span>
<lb n="259"/><span>dronuille í.  Féach, leis an bpíosa pháipéir atá fillte</span>
<lb n="260"/><span>(nó le píosa de na píosaibh atá gearrtha ar feadh EF)</span>
<lb n="261"/><span>féach an dronuille í an uille atá ag coirnéal an leath-</span>
<lb n="262"/><span>anaigh seo.</span></p>
<lb n="263"/>
<lb n="264"/><p><span>Féach le huillinneachaí eile é chomh maith; le na huill-</span>
<lb n="265"/><span>inneachaí atá ag coirnéil cláirín do bhosga cailce, nó</span>
<lb n="266"/><span>ag coirnéil an chláir duibh.</span>
<lb n="267"/></p>
</div>
<pb n="7"/>
<div><lb n="268"/><p><span>An dronlíne EF deirtear go bhfuil sé dronuillinneach</span>
<lb n="269"/><span>nó ingearach le AC nó le EA nó le EC.</span></p>
<lb n="270"/>
<lb n="271"/><p><span>Tá an comhartha seo i n-úsáid ar son an fhocail ingearach</span></p>
<lb n="272"/>
<lb n="273"/><p><span>Géaruille, sin uille is lugha ná dronuille.</span></p>
<lb n="274"/>
<lb n="275"/><p><span>Maoluille, sin uille is mó ná dronuille.</span></p>
<lb n="276"/>
<lb n="277"/><p><span>3.  Fágh píosa pháipéir gan aon chorr dhe a bheith — díreach.</span>
<lb n="278"/><span>Fill é, agus bíodh an fithín gar dá lár i n-áit eicínt.  An</span>
<lb n="279"/><span>dronlíne é an fithín seo?  Fill arís é agus bíodh cuid den</span>
<lb n="280"/><span>fhithín go cruinn ar feadh an fhithín eile.  Osgail amach</span>
<lb n="281"/><span>innsin an páipéar agus chífe tú dha fhithín treasna ar a chéile.</span>
<lb n="282"/><span>Cé mhéad uillinn déanta ag an dá fhithín?  An bhfuil siad</span>
<lb n="283"/><span>comhmhór?  Tuige?  Céard a tugtar ar gach uillinn</span>
<lb n="284"/><span>díobh?</span></p>
<lb n="285"/>
<lb n="286"/><p><span>An uille atá déanta ag líne nuair a castar thart tim-</span>
<lb n="287"/><span>cheall ar a cheann go hiomlán é cén chuid di sin an</span>
<lb n="288"/><span>dronuille?</span></p>
<lb n="289"/>
<lb n="290"/><p><span>4.  Gearr amach dronuille AEF as píosa pháipéir agus</span>
<lb n="291"/><span>fill é ionnus go dtuitfe EF ar EA.  An dteidheann an</span>
<lb n="292"/><span>fithín thré E?  Má's poinnte é H ar an bhfithín (Fig. 7)</span>
<lb n="293"/><span>an bhfágann sin an uille AEH a bheith chomh mór leis an</span>
<lb n="294"/><span>uillinn HEF.  Tuige?  Cé'n chuid de dhronuillinn an uille</span>
<lb n="295"/><span>AEH?  Is amhlaidh go ndéanann an dronlíne EH dhá leith</span>
<lb n="296"/><span>den uillinn AEF agus dháleathóir na huillinne a tugtar ar</span>
<lb n="297"/><span>an líne.</span></p>
<lb n="298"/>
<lb n="299"/><p><span>5.  Má ghníonn an dá dhronlíne EM, EN dhá leith den dá</span>
<lb n="300"/><span>uillinn AEH, HEF (Fig. 7) cé mhéad cuid comhmhór atá</span>
<lb n="301"/><span>déanta den uillinn AEF?  Cén chuid den dronuillinn</span></p>
</div>
<pb n="8"/>
<div><lb n="302"/><p><span>an uille AEM?  Cén chuid de dhronuillinn an uille HEN?</span>
<lb n="303"/><span>Cén chuid de dhronuillinn an uille MEN?  Cén chuid de</span>
<lb n="304"/><span>dhronuillinn an uille MEF?</span></p>
<lb n="305"/>
<lb n="306"/><p><span>DE THOMHAS NA nUILLINNEACHA.</span></p>
<lb n="307"/>
<lb n="308"/><p><span>Is amhlaidh tomhaistear an dronuille 90 (nochad) uille</span>
<lb n="309"/><span>chomhmhóra a dhéanamh dhi, agus grádh a tugtar ar gach uillinn</span>
<lb n="310"/><span>díobh: fágann sin 45 grádha i leath dronuillinne (45°, is</span>
<lb n="311"/><span>mar sin a sgríobhtar é) agus 60 grádh (60°) i dhá-dtrian</span>
<lb n="312"/><span>dronuillinne.</span></p>
<lb n="313"/>
<lb n="314"/><p><span>CLEACHTA IV.</span></p>
<lb n="315"/>
<lb n="316"/><p><span>Cé an chuid de dhronuillinn atá insa timcheall a dteidh-</span>
<lb n="317"/><span>eann lámh mhór an chluig thríd i n-imtheacht (1) 15 noiméad,</span>
<lb n="318"/><span>(2) 5 noiméad, (3) 20 noiméad, (4) 35 noiméad, (5) 7</span>
<lb n="319"/><span>noiméad?  Cé mhéad grádh ins gach uillinn díobh?</span></p>
<lb n="320"/>
<lb n="321"/><p><span>Cé'n chuid de dhronuillinn atá déanta ag láimh an chluig</span>
<lb n="322"/><span>leis an láimh eile ag an (6) 3 a chlog?  (7) 1 a chlog?</span>
<lb n="323"/><span>(8) 9 a chlog?  (9) 8 a chlog?  (10) 2 a chlog?  (11) leath</span>
<lb n="324"/><span>uair thréis a 5?  (12) leath uair thréis a 10?  (13) ceathrú</span>
<lb n="325"/><span>thréis a dó-dhéag?  Teasbáin le tarraictheoireacht an</span>
<lb n="326"/><span>chruth atá ar an uillinn gach am díobh agus innis an géar-</span>
<lb n="327"/><span>uille, dronuille nó maoluille í.  Cé mhéad grádh ins gach</span>
<lb n="328"/><span>uillinn díobh?</span></p>
<lb n="329"/>
<lb n="330"/><p><span>Rialghrádh a tugtar ar an uirnis a dtomhaistear uill-</span>
<lb n="331"/><span>inneacha leis: tá dhá chineál díobh ann agus spáintear iad</span>
<lb n="332"/><span>san dá fhigiúir 8 agus 9.</span></p>
<lb n="333"/>
<lb n="334"/><p><span>An ceann a bhfuil an chruth leith-chearclach air an ceann</span>
<lb n="335"/><span>is gnáthach a bheith i n-úsáid i sgoileannaibh agus miotal an</span>
<lb n="336"/><span>mianach atá ann nó cellúloid.  Tá anga i lár (O) an</span>
<lb n="337"/><span>chiumhasa BA, agus is ar a bharr sin a tugtar bata an rial-</span>
<lb n="338"/><span>ghrádha.  Tá marcanna roinne ar an gcuimhais atá lúbtha,</span>
<lb n="339"/><span>agus uimhreacha ortha ó 0 go dtí 180, a dtús ag A agus a ndeire</span>
<lb n="340"/><span>ag B: tá sreath eile uimhreacha ar an gcuimhnais amuigh a</span>
<lb n="341"/><span>dtús ag B agus a ndeire ag A. uimhrighthe ó 0 go dtí 180.</span></p>
</div>
<pb n="9"/>
<div><lb n="342"/><p><span>Cé mhéad grádh i ndá dhronuillinn?  Cé mhéid roinn ó A</span>
<lb n="343"/><span>go B insan gciumhais cearcalda?  An bhfuil siad comhmhór?</span>
<lb n="344"/><span>Céard a bhfreagruigheann gach roinn acu dhó?</span></p>
<lb n="345"/>
<lb n="346"/><p><span>A' tomhas uillinne dhuit socruigh an rialghrádh sa gcaoi</span>
<lb n="347"/><span>go mbeidh an bata (O) ag rinn na huillinne agus OA nó OB</span>
<lb n="348"/><span>a bheith go cruinn ar feadh géag na huillinne; tabhair faoi</span>
<lb n="349"/><span>deara innsin an roinn den rialghrádh a bhfuil an ghéag</span>
<lb n="350"/><span>eile faoi.  An uille SOL, cuir i gcás, i bhFig. 8 45°</span>
<lb n="351"/><span>atá innti agus 137° insan uillinn SOM, má chomhaireann</span>
<lb n="352"/><span>tú ón marc O ag A: 43°.</span></p>
<lb n="353"/>
<lb n="354"/><p><span>Is féidir uille a thomhas go dtí an cúigmhadh cuid de ghrádh ach</span>
<lb n="355"/><span>rialghrádh réasúnta mór a bheith agat, ceann a mbeidh 2 órlach ar</span>
<lb n="356"/><span>fad ina gha, má bhíonn ceann níos lugha ná sin agad is féidir an</span>
<lb n="357"/><span>uille a thomhas go dtí leath grádha.  Ach is fearr don mhac léighinn</span>
<lb n="358"/><span>gan bacadh le cuideanna na huillinne ar dtús ach a bheith sásta</span>
<lb n="359"/><span>más féidir leis an uille a thomhas agus a innsint cé mhéad grádh</span>
<lb n="360"/><span>innti.</span></p>
<lb n="361"/>
<lb n="362"/><p><span>An sórt rialghrádh atá i bhFig. 9 tá a chiumhaiseanna</span>
<lb n="363"/><span>maoluighthe agus is féidir rialóir a dhéanamh dhe; tá sé</span></p>
</div>
<pb n="10"/>
<div><lb n="364"/><p><span>iórlaí ina fhad agus is rialóir adhmuid é.  Tá na huimhreacha</span>
<lb n="365"/><span>air do réir an ghrádha agus is féidir leas a bhaint as mar</span>
<lb n="366"/><span>bhainfí as an rialghrádh cearcalda.  Na roinneanna atá</span>
<lb n="367"/><span>ar an gciumhais níl siad comhmhór, ach beidh siad comhmhór</span>
<lb n="368"/><span>má leigtar le na línte roinne siar go dtí O.</span></p>
<lb n="369"/>
<lb n="370"/><p><span>CLEACHTA V.</span></p>
<lb n="371"/>
<lb n="372"/><p><span>1.  Tarraing trí dronlínte OA, OB, OC ar pháipéar</span>
<lb n="373"/><span>agus tagaidís ina chéile mar tá siad i bhFig. 10.  Tomhais na</span>
<lb n="374"/><span>huillinneacha AOB, BOC: uillinneacha comhgaracha a</span>
<lb n="375"/><span>tugtar ortha; cuir a suim i gceann a chéile agus tomhais an</span>
<lb n="376"/><span>uille AOC go bhfeice tú an bhfuil an toradh agad go cruinn.</span></p>
<lb n="377"/>
<lb n="378"/><p><span>2  Tarraing cheithre dronlínte OA, OB, OC, OD, agus</span>
<lb n="379"/><span>tigidís ina chéile insan bpoinnte céadna O, Fig. 11.</span>
<lb n="380"/><span>Tomhais na huillinneacha AOB, BOC, COD.  Cuir suim</span>
<lb n="381"/><span>na dhá uillinn AOB, BOC le chéile agus tomhais AOC go bhfeice</span>
<lb n="382"/><span>tú an bhfuil an toradh ceart agad.  Cuir suim na dhá</span>
<lb n="383"/><span>uillinn BOC, COD le chéile agus tomhais DOB go bhfeice tú</span>
<lb n="384"/><span>an bhfuil an ceart agad.  Cuir suim na dtrí uillinn AOB,</span></p>
</div>
<pb n="11"/>
<div><lb n="385"/><p><span>BOC, COD le chéile agus tomhais an uille iomlán AOD,</span>
<lb n="386"/><span>féachaint an bhfuil an toradh ceart agad.</span></p>
<lb n="387"/>
<lb n="388"/><p><span>3.  Déan cóip de gach uillinn den fhíor-chearnóig, i</span>
<lb n="389"/><span>ndiaidh a chéile, agus tomhais í.  Coinnigh an fhíor-chearnóg</span>
<lb n="390"/><span>ar an bpáipéar go láidir leis an gciotóig agus an coirnéal</span>
<lb n="391"/><span>atá tú a tharraint bíodh sé dírighthe ar bharr an leathanaigh;</span>
<lb n="392"/><span>tarraing línte leis an dá chiumhais ach ná tarraing go</span>
<lb n="393"/><span>dtí an coirnéal iad.  Leag uait an fhíor-chearnóg, fagh</span>
<lb n="394"/><span>an rialóir, leig leis an dá líne nó go dtige siad ar a</span>
<lb n="395"/><span>chéile.</span></p>
<lb n="396"/>
<lb n="397"/><p><span>4.  Tarraing cearcall a mbeidh 2 órlach ina gha: ná</span>
<lb n="398"/><span>déan aon athrú ar an gcompás agus fagh cheithre phoinnte A, B,</span>
<lb n="399"/><span>C agus D, ar an timcheallaí, ionnus go mbeidh A 2 órlach ó</span>
<lb n="400"/><span>B, B 2 órlach ó C, agus C 2 órlach ó D.  Ceangail an</span>
<lb n="401"/><span>lár O do gach poinnte de na poinntí agus tomhais na huill-</span>
<lb n="402"/><span>inneacha AOB, BOC, COD.</span></p>
<lb n="403"/>
<lb n="404"/><p><span>5.  Réitigh ceist a 4 má tá an ga 2½ órlach, agus gach aon</span>
<lb n="405"/><span>dá phoinnte 2 órlach ó chéile.</span></p>
<lb n="406"/>
<lb n="407"/><p><span>6.  Réitigh ceist a 4 má tá an ga 1.8 órlach agus gach aon</span>
<lb n="408"/><span>dá phoinnte 1.8 órlach óna chéile.  Ceangail A do B</span>
<lb n="409"/><span>agus tomhais na huillinneacha OAB, OBA.  Céard tá le rádh</span>
<lb n="410"/><span>agad i dtaobh na n-uillinneacha AOB, OAB, OBA?</span></p>
<lb n="411"/>
<lb n="412"/><p><span>7.  Uille a dhéanamh a mbeidh méid áirithe innte — 65°</span>
<lb n="413"/><span>cuir i gcás.  Cuir poinnte ar an bpáipéar agus tabhair O</span>
<lb n="414"/><span>air; cuir bata an rialghradha ar an bpoinnte seo agus déan</span>
<lb n="415"/><span>dhá mharc bheaga ar aghaidh marcanna roinne a 10° agus a</span>
<lb n="416"/><span>75° déan sin le bior do chompáis nó le peannluaidhe géar.</span>
<lb n="417"/><span>Tabhair A agus B ortha.  Ceangail an dá phoinnte sin</span>
<lb n="418"/><span>do O agus sgríobh síos 65° insan uillinn AOB.</span></p>
<lb n="419"/>
<lb n="420"/><p><span>Is féidir dhá roinn ar bith a thoghadh ar an rialghrádh ach 65° a</span>
<lb n="421"/><span>beith eatortha.</span></p>
<lb n="422"/>
<lb n="423"/><p><span>Má tá fhios agad leath-ghéag na huillinne (OA) agus an</span>
<lb n="424"/><span>rinn (O) tógtar mar sin thuas é freisin.  Má theas-</span>
<lb n="425"/><span>tuigheann uait uille a dhéanamh a bheas 50° ag O agus gurb é</span>
<lb n="426"/><span>OA an leath-ghéag.  Cuir bata an rialghradha ag O agus a</span>
<lb n="427"/><span>bhonn ar feadh OA; cuir an marc B ar an bpáipéar ar</span></p>
</div>
<pb n="12"/>
<div><lb n="428"/><p><span>aghaidh an mhairc 50°, ach go gcomhaire tú ón 0 (neimhní)</span>
<lb n="429"/><span>atá ag A.  Ceangail O do B agus sgríobh 50°, mar sin é méad</span>
<lb n="430"/><span>na huillinne AOB.</span></p>
<lb n="431"/>
<lb n="432"/><p><span>Nó mar so: fágh an rialghrádh dronuillinneach, cuir a</span>
<lb n="433"/><span>bhata ag O agus cuir an marc roinne atá ag 50° ar an</span>
<lb n="434"/><span>líne OA; tarraing líne ó O ar feadh bonn-líne an rial-</span>
<lb n="435"/><span>ghrádha nó go mbeidh an uille atá uait déanta le OA agad.</span></p>
<lb n="436"/>
<lb n="437"/><p><span>CLEACHTA VI.</span></p>
<lb n="438"/>
<lb n="439"/><p><span>1.  Tóg uillinneacha leis an rialghrádh agus bídís 30°, 45°,</span>
<lb n="440"/><span>68°, 125°, 151°.  Agus innis cé acu an mhaoluille agus cé acu</span>
<lb n="441"/><span>an ghéaruille.</span></p>
<lb n="442"/>
<lb n="443"/><p><span>2.  Bíodh an uille AOB 70°.  Cuir uille le OA .i. AOC,</span>
<lb n="444"/><span>agus bíodh sí 35° agus bíodh OC ar an taobh céadna de AO a bhfuil</span>
<lb n="445"/><span>OB ann.  Tomhais an uille COB.  An bhfuil dhá leith déanta</span>
<lb n="446"/><span>den uillinn AOB?</span></p>
<lb n="447"/>
<lb n="448"/><p><span>3.  Déan cóip d' uillinn de na huillinneacha beaga ar</span>
<lb n="449"/><span>d' fhíor-chearnóig.  Tomhais í agus déan dhá leith dhi mar</span>
<lb n="450"/><span>rinneadh i gceist a 2.</span></p>
<lb n="451"/>
<lb n="452"/><p><span>4.  Déan uille a mbeidh 130° innti .i. AOB.  Déan dhá</span>
<lb n="453"/><span>leith dhi leis an rialghrádh.</span></p>
<lb n="454"/>
<lb n="455"/><p><span>5.  Déan uille AOB agus bíodh sí 75°.  Leig le AO thré O</span>
<lb n="456"/><span>go dtí an poinnte C.  Tomhais an uille COB.  Cé mhéad</span>
<lb n="457"/><span>é suim na dhá uillinn AOB, COB?</span></p>
<lb n="458"/>
<lb n="459"/><p><span>6.  Má bhíonn an uille AOB 53° i gceist a 5 réitigh an</span>
<lb n="460"/><span>cheist.</span></p>
<lb n="461"/>
<lb n="462"/><p><span>7.  Má bhíonn an uille AOB 131° i gceist a 5 réitigh í.</span></p>
<lb n="463"/>
<lb n="464"/><p><span>8.  Cuir na trí thoradh sin i gcomortas le n-a chéile.</span>
<lb n="465"/><span>Is cuma cén mhéid atá san uillinn AOB cé'n rud atá</span>
<lb n="466"/><span>fíor i gcomhnuidhe ina taobh?  Cruthuigh sin de dhruim méid</span>
<lb n="467"/><span>áithrid a cheapadh dhuit féin a bheith insan uillinn.</span>
<lb n="468"/></p>
</div>
<pb n="13"/>
<div><lb n="469"/><p><span>DE NA TRIANTÁIN</span></p>
<lb n="470"/>
<lb n="471"/><p><span>innso síos.</span></p>
<lb n="472"/>
<lb n="473"/><p><span>Figiúir comhréidh, sin aon chuid de chothromán a bhfuil</span>
<lb n="474"/><span>líne nó tuille agus aon líne amháin mar thórainn leis.  An</span>
<lb n="475"/><span>figiúir comhréidh é cearcall?  Cé an tórainn atá leis?</span>
<lb n="476"/><span>Cé an t-ainm atá ar an tórainn?  Teasbántar figiúir</span>
<lb n="477"/><span>(Fig. 12) a bhfuil trí dronlínte mar thórainn leis.  Trian-</span>
<lb n="478"/><span>tán a tugtar air.  Féach go bhfuil trí uillinn air (uime</span>
<lb n="479"/><span>sin an t-ainm triantán), agus trí beara a dtugtar na lit-</span>
<lb n="480"/><span>reacha A, B, C ortha.  Sleasa an triantáin a tugtar</span>
<lb n="481"/><span>ar na dronlínte AB, AC, BC.  Bonn an triantáin a</span>
<lb n="482"/><span>tugtar go gnáthach ar an slios AC; féachann an triantán</span>
<lb n="483"/><span>a bheith na sheasamh air sin; bior an triantáin a tugtar</span>
<lb n="484"/><span>ar B, an poinnte atá ar a aghaidh sin, agus an uille rinneach</span>
<lb n="485"/><span>ar an uillinn ABC; uillinneacha an bhuinn a tugtar</span>
<lb n="486"/><span>ar na huillinneacha eile.</span></p>
<lb n="487"/>
<lb n="488"/><p><span>CLEACHTA VII.</span></p>
<lb n="489"/>
<lb n="490"/><p><span>1.  Déan uille ACB a bheas 64°.  Cuir marc ar an ngéig</span>
<lb n="491"/><span>CA, 2.5 órlaí ó C agus marc eile ar an ngéig CB 3.1 orlaí</span>
<lb n="492"/><span>ó C agus ceangail A do B.  Tomhais an uille A, agus an uille B</span>
<lb n="493"/><span>agus an slios AB.  Tá ort suim méid na dtrí uilleann</span>
<lb n="494"/><span>A, B, C a fhagháil amach.</span></p>
<lb n="495"/>
<lb n="496"/><p><span>Nuair atá ort triantán a thógáil, nó figiúir ar bith eile, agus</span>
<lb n="497"/><span>fad nó méid áirithe ar bith a bheith ionnta tarraing go réidh-</span>
<lb n="498"/><span>chúiseach é i dtosach agus sgríobh síos air an fhad nó an mhéid eile atá</span></p>
</div>
<pb n="14"/>
<div><lb n="499"/><p><span>le cur ionnta.  Nuair a tugtar órlaí bíodh órlaí insa bhfreagra</span>
<lb n="500"/><span>agad, ach bíodh ceadaméadair agad má tugtar dhuit an tomhas</span>
<lb n="501"/><span>sin.</span></p>
<lb n="502"/>
<lb n="503"/><p><span>Tóg triantáin ABC a mbeidh an tomhas seo síos ionnta;</span>
<lb n="504"/><span>agus tá ort na dúil eile atá ionnta a thomhais mar thomhais</span>
<lb n="505"/><span>tú iad i gceist a 1.</span></p>
<lb n="506"/>
<lb n="507"/><p><span>2.  An uille ACB a bheith 60°, CA a bheith 5.8cm., CB</span>
<lb n="508"/><span>5.8cm.</span></p>
<lb n="509"/>
<lb n="510"/><p><span>3.  An uille ABC a bheith 75°, BA a bheith 4.9cm., BC</span>
<lb n="511"/><span>6.2cm.</span></p>
<lb n="512"/>
<lb n="513"/><p><span>4.  An uille BAC a bheith 82°, AB a bheith 3.7 órlaí,</span>
<lb n="514"/><span>AC 1.7 órlaí.</span></p>
<lb n="515"/>
<lb n="516"/><p><span>5.  Cuir 3 hórlaí i bhfad an dronlíne AB.  Cuir 50° san</span>
<lb n="517"/><span>uillinn BAF agus cuir 60° i n-uillinn eile ABC ar an taobh</span>
<lb n="518"/><span>céadna de AB.  Tagann AF agus BC ar a chéile sa bpoinnte</span>
<lb n="519"/><span>C.  Tomhais na sleasa eile agus méid na huillinne eile sa</span>
<lb n="520"/><span>triantán ABC.  Tá ort a fhagháil amach cé mhéad é suim</span>
<lb n="521"/><span>na n-uillinneacha.</span></p>
<lb n="522"/>
<lb n="523"/><p><span>Tóg na triantáin ABC agus an tomhas seo síos ionnta:</span>
<lb n="524"/><span>agus tomhais na huillinneacha eile agus na sleasa eile.</span></p>
<lb n="525"/>
<lb n="526"/><p><span>6.  AB a bheith 5.5cm., an uille A 48°, an uille B 69°.</span></p>
<lb n="527"/>
<lb n="528"/><p><span>7.  AC a bheith 2.1 órlach, an uille A 112°, an uille</span>
<lb n="529"/><span>C34°.</span></p>
<lb n="530"/>
<lb n="531"/><p><span>8.  BC a bheith 1.5 órlach, an uille B 65°, an uille C 95°.</span></p>
<lb n="532"/>
<lb n="533"/><p><span>9.  Tá fáighte amach agad anois ce'n mhéid atá i suim</span>
<lb n="534"/><span>na n-uillinneacha ins gach triantán de na hocht gcinn</span>
<lb n="535"/><span>sin thuas.  Sgríobh i gcolamhan iad agus sgríobh freisin an</span>
<lb n="536"/><span>fhírinne, dar leat, atá ag baint le huillinneachaí triantáin</span>
<lb n="537"/><span>ar bith.  Tá an uille B 51° i dtriantán, an uille C 58°,</span>
<lb n="538"/><span>cé'n mhéid atá san uillinn A?  Tóg an triantán sin go</span>
<lb n="539"/><span>bhfeice tú é bheith fíor.</span></p>
<lb n="540"/>
<lb n="541"/><p><span>10.  Tóg triantán agus gearr amach é.  Gearr dhe na coir-</span>
<lb n="542"/><span>néil nó stróic dhe iad agus feil le chéile iad ionnus go mbeidh</span>
<lb n="543"/><span>na rinneacha i n-aon phoinnte amháin; tá ort a fhagháil</span>
<lb n="544"/><span>amach ar an gcuma sin cé'n mhéid atá insna trí huillinn-</span></p>
</div>
<pb n="15"/>
<div><lb n="545"/><p><span>eacha i dteannta a chéile.  An gcruthuigheann sin gur</span>
<lb n="546"/><span>fíor an rádh a sgríobh tú síos i gceist a 9?</span></p>
<lb n="547"/>
<lb n="548"/><p><span>Tóg triantáin ABC a mbeidh an mhéid seo síos insna</span>
<lb n="549"/><span>sleasaibh agus insna huillinneachaibh agus tá ort na sleasa eile</span>
<lb n="550"/><span>a thomhas.</span></p>
<lb n="551"/>
<lb n="552"/><p><span>11.  AB a bheith 4.3 órlaí, an uille A 39°, an uille C 80°.</span></p>
<lb n="553"/>
<lb n="554"/><p><span>12.  BC a bheith 7.8cm., an uille A 67°, an uille C 46°.</span></p>
<lb n="555"/>
<lb n="556"/><p><span>13.  AC a bheith 9.2cm., an uille A 50°, an uille B a</span>
<lb n="557"/><span>bheith chomh mór leis an uillinn C.  Tomhais na sleasa eile.</span></p>
<lb n="558"/>
<lb n="559"/><p><span>14.  AB a bheith 3.5 órlaí, na trí uillinn A, B, C a bheith</span>
<lb n="560"/><span>chomh mór le chéile.  Tomhais na sleasa eile.</span></p>
<lb n="561"/>
<lb n="562"/><p><span>CLEACHTA VIII.</span></p>
<lb n="563"/>
<lb n="564"/><p><span>Ceathairshleasán sin figiúir a bhfuil cheithre dron-</span>
<lb n="565"/><span>línte mar thórainn leis.  Teasbántar ceathairshleasán</span>
<lb n="566"/><span>ABCD sa bhFig. 13.  Treasnáin an cheathairshleasáin a</span>
<lb n="567"/><span>tugtar ar na dronlínte AC, BD a cheanglas na rinneacha</span>
<lb n="568"/><span>atá ar aghaidh a chéile.  Is iad na huillinneacha DAB,</span>
<lb n="569"/><span>ABC, BCD, CDA uillinneacha an cheathairshleasáin agus is</span>
<lb n="570"/><span>féidir na huillinneacha A, B, C, D a thabhairt ortha.</span></p>
<lb n="571"/>
<lb n="572"/><p><span>Bíodh an dronlíne AB 3 hór.  Bíodh an uille BAD 75°</span>
<lb n="573"/><span>agus bíodh AD 1.9 ór.  Bíodh an uille ABC 80° agus bíodh BC</span>
<lb n="574"/><span>2.5 ór.  Ceangail C do D.  Tomhais an dá uillinn C, D,</span>
<lb n="575"/><span>agus fágh amach cé mhéad é suim na n-uillinneacha A, B, C, D.</span></p>
<lb n="576"/>
<lb n="577"/><p><span>2.  Tóg an ceathairshleasán ABCD; bíodh AB 2.2 ór.</span>
<lb n="578"/><span>BC 2 ór. an uille A 84°, an uille B 79°, an uille C 101°.</span>
<lb n="579"/></p>
</div>
<pb n="16"/>
<div><lb n="580"/><p><span>Tomhais CD agus an uille D.  Cé mhéad é suim na n-uill-</span>
<lb n="581"/><span>inneacha A, B C D?</span></p>
<lb n="582"/>
<lb n="583"/><p><span>TRIANTÁIN.</span></p>
<lb n="584"/>
<lb n="585"/><p><span>CLEACHTA IX.</span></p>
<lb n="586"/>
<lb n="587"/><p><span>1.  Cé leis a bhfuil suim trí uillinn triantáin chomh</span>
<lb n="588"/><span>mór?  Má tá 71° san uillinn A, agus 53° san uillinn B,</span>
<lb n="589"/><span>cé mhéad grádh san uillinn C?  An géaruillinneacha, dron-</span>
<lb n="590"/><span>uillinneacha nó maoluillinneacha iad sin?</span></p>
<lb n="591"/>
<lb n="592"/><p><span>Triantán géaruillinneach, tá gach uille dhe géar.</span></p>
<lb n="593"/>
<lb n="594"/><p><span>2.  Is dronuille í an uille A insan triantán ABC.</span>
<lb n="595"/><span>Cé'n sórt uillinneacha iad B agus C?  Tuige?</span></p>
<lb n="596"/>
<lb n="597"/><p><span>Triantán dronuillinneach, tá uille dhe 'na dronuillinn</span></p>
<lb n="598"/>
<lb n="599"/><p><span>3.  Tá an uille B 116° insan triantán ABC.  An géar-</span>
<lb n="600"/><span>uille nó maoluille í?  Cén sórt uillinneacha iad A agus C?</span>
<lb n="601"/><span>Tuige?</span></p>
<lb n="602"/>
<lb n="603"/><p><span>Triantán maoluillinneach, tá uille dhe maol.</span></p>
<lb n="604"/>
<lb n="605"/><p><span>4.  An bhféadfadh triantán comhshleasach a bheith dron-</span>
<lb n="606"/><span>uillinneach?</span></p>
<lb n="607"/>
<lb n="608"/><p><span>Tóg an triantán ABC agus an uille A dronuillinneach</span>
<lb n="609"/><span>ann agus dhá shlios de comhada.  Déan méid na n-uillinneacha</span>
<lb n="610"/><span>eile a thomhas agus a áireamh.</span></p>
<lb n="611"/>
<lb n="612"/><p><span>5.  Tóg an triantán ABC agus bíodh AB 8cm. ann.,</span>
<lb n="613"/><span>AC 7cm.  Agus an uille A 120°.  Tomhais BC.  Cé'n sórt</span>
<lb n="614"/><span>triantán é ABC?</span></p>
<lb n="615"/>
<lb n="616"/><p><span>6.  An bhféadfadh triantán comhchosach a bheith dron-</span>
<lb n="617"/><span>uillinneach?  An bhféadfadh sé a bheith géaruillinneach?</span>
<lb n="618"/><span>An bhféadfadh sé a bheith maoluillinneach?</span></p>
<lb n="619"/>
<lb n="620"/><p><span>Feach le triantán a thógáil de gach sórt díobh — an trian-</span>
<lb n="621"/><span>tán ABC — agus an uille A 40° ann.</span>
<lb n="622"/></p>
</div>
<pb n="17"/>
<div><lb n="623"/><p><span>ANT INGEAR.</span></p>
<lb n="624"/>
<lb n="625"/><p><span>CLEACHTA X.</span></p>
<lb n="626"/>
<lb n="627"/><p><span>1.  Tarraing ar do pháipéar an dronlíne AB, mar</span>
<lb n="628"/><span>spáintear é sa bhfigiúir 14, agus cuir an fíor-chearn sa gcaoi</span>
<lb n="629"/><span>go mbeidh an chiumhais ghearr dhe go cruinn ar feadh AB.</span>
<lb n="630"/><span>Tarraing líne ar feadh na ciumaise PS go dtí S, beagnach;</span>
<lb n="631"/><span>cuir uait an fíor-chearn agus leig leis an líne sin le cong-</span>
<lb n="632"/><span>namh an rialóra go dtige sé ar AB insan bpoinnte N.</span>
<lb n="633"/><span>Cuir an marc C ar an gceann eile den líne.  Is dron-</span>
<lb n="634"/><span>uille í an uille ANC.  Tuige?  Cuir uille an fhír-chearn</span>
<lb n="635"/><span>.i. PSR anuas ar an uillinn BNC.  An dronuille í seo?</span>
<lb n="636"/><span>Ce'n bhaint atá ag CN le AB?</span></p>
<lb n="637"/>
<lb n="638"/><p><span>Acht ní cóir an modh sin a leanacht ag cur ingear le</span>
<lb n="639"/><span>líne AB má tá ort ant ingear a chur thré phoinnte áirithe,</span>
<lb n="640"/><span>bíodh an poinnte sin ar AB nó ná bíodh.  Seo é síos an</span>
<lb n="641"/><span>modh ceart.</span></p>
<lb n="642"/>
<lb n="643"/><p><span>2.  Tarraing an dronlíne AB agus cuir an marc C os a</span>
<lb n="644"/><span>chionn.  Cuir an fíor-chearn síos mar tá PSR sa gcaoi</span>
<lb n="645"/><span>go mbeidh SR go cruinn ar feadh AB.  Coinnigh greim maith</span>
<lb n="646"/><span>ar an bhfír-chearn leis an láimh dheis, agus leis an láimh chlé cuir</span>
<lb n="647"/><span>an rialóir TU le ciumhais PR.  Coinnigh greim maith ar</span>
<lb n="648"/><span>an rialóir ina áit ar an bpáipéar agus sgiorr an fíor-</span></p>
</div>
<pb n="18"/>
<div><lb n="649"/><p><span>chearn suas go dtí an áit p s r, ionnus go mbeidh C ar an</span>
<lb n="650"/><span>gciumhais p s.  Bu cheart an fíor-chearn a choinneál go</span>
<lb n="651"/><span>dlúth san ionad sin leis an gciotóig agus an líne CN a tharr</span>
<lb n="652"/><span>aint.  Tá CN ingearach le AB.</span></p>
<lb n="653"/>
<lb n="654"/><p><span>Ciumhais an rialóra a sgiorann an fíor-chearn air ní mór dhó</span>
<lb n="655"/><span>a bheith tiugh, sin nó sgiorfaidh an fíor-chearn os a chionn.  Fíor-</span>
<lb n="656"/><span>chearn eile nó ciumhais díreach ar bith dhéanfadh sé cúis chomh maith</span>
<lb n="657"/><span>leis an rialóir.</span></p>
<lb n="658"/>
<lb n="659"/><p><span>3.  Tarraing an dronlíne AB agus bíodh sé 3 hór.  Déan</span>
<lb n="660"/><span>dhá leith dhe sa bpoinnte M, le congnamh an rialóra</span>
<lb n="661"/><span>órlaigh.  Tarraing ingear le AB tré M agus ar an modh atá</span>
<lb n="662"/><span>luaidhte i gcleachta a 2 thuas.  Bain an fhad 2 ór, den</span>
<lb n="663"/><span>ingear MC.  Ceangail AC de BC agus tomhais a bhfad.</span></p>
<lb n="664"/>
<lb n="665"/><p><span>4.  Tarraing an triantán ABC, bíodh a bhonn AB 7cm.,</span>
<lb n="666"/><span>bíodh AC 8cm., agus bíodh BC 6cm.  Tarraing ant ingear</span>
<lb n="667"/><span>CN ó C go dtí AB.  Tomhais AN.</span></p>
<lb n="668"/>
<lb n="669"/><p><span>5.  Tarraing an triantán ABC, bíodh AB 4.8 hór.,</span>
<lb n="670"/><span>BC 2 ór., agus an uille B 90°.  Déan dhá leith d'AB sa</span>
<lb n="671"/><span>bpoinnte M.  Tarraing MF ingearach le AB agus tagadh sé</span>
<lb n="672"/><span>ar AC sa bpoinnte F.  Tomhais AF, CF agus MF.</span>
<lb n="673"/></p>
</div>
<pb n="19"/>
<div><lb n="674"/><p><span>6.  Tarraing an triantán ABC, bíodh AB 7.5cm.,</span>
<lb n="675"/><span>AC 7cm., agus BC 6.5cm.  Tarraing CN ingearach le AB.</span>
<lb n="676"/><span>Tomhais AN, BN, CN.</span></p>
<lb n="677"/>
<lb n="678"/><p><span>Isé fad poinnte ó líne fad an ingir atá ón bpoinnte</span>
<lb n="679"/><span>go dtí an líne.  Ionnus go bhfuighe tú amach gur 5.6 ór.</span>
<lb n="680"/><span>atá an poinnte C ó AB i gcleachta a 6.</span></p>
<lb n="681"/>
<lb n="682"/><p><span>7.  Tarraing BM ingearach le AC insan triantán</span>
<lb n="683"/><span>céadna, agus tomhais AM, BM.  Ceangail A do O, an poinnte</span>
<lb n="684"/><span>ina ngearrann BM CM.  An amhlaidh atá fad as AO</span>
<lb n="685"/><span>dronuillinneach le BC?  Cáide B ó AC?</span></p>
<lb n="686"/>
<lb n="687"/><p><span>DEN CHOMHTHREOIR.</span></p>
<lb n="688"/>
<lb n="689"/><p><span>CLEACHTA XI.</span></p>
<lb n="690"/>
<lb n="691"/><p><span>1.  Fágh leathanach páipéir a mbeidh línte tarraingthe air;</span>
<lb n="692"/><span>cuir an rialóir treasna air ar leathtaobh an leathanaigh</span>
<lb n="693"/><span>agus bíodh marcanna na míleméadair ar an rialóir.  Féach</span>
<lb n="694"/><span>an bhfuighfeá dhá líne atá an oiread seo míleméadar go</span>
<lb n="695"/><span>díreach ó na chéile; cuir marc ar na línte agus cuir síos</span>
<lb n="696"/><span>cé'n fhad atá siad óna chéile.  Tá ort a fhagháil amach cé'n</span>
<lb n="697"/><span>fhad óna chéile an dá líne sin ar an leathtaobh eile den</span>
<lb n="698"/><span>leathanach.  Dá bhféadtaí fad a ndóthain a chur as an dá</span>
<lb n="699"/><span>líne sin i n-aon treo, an gcasfaidís dá chéile, measann</span>
<lb n="700"/><span>tú?</span></p>
<lb n="701"/>
<lb n="702"/><p><span>Línte atá sínte insan gcothromán céadna agus nach</span>
<lb n="703"/><span>gcasann dá chéile is cuma cé'n fhad a curtar asta i</span>
<lb n="704"/><span>n-aon treo is amhlaidh atá siad sin comhthreormhar.</span>
<lb n="705"/><span>Tá an comhartha seo i n-úsáid amanna i n-áit an fhocail</span>
<lb n="706"/><span>comhthreormhar.</span></p>
<lb n="707"/>
<lb n="708"/><p><span>2.  Leathanach a bhfuil línte air cuir marc le peann-</span>
<lb n="709"/><span>luaidhe, agus le congnamh rialóra, ar dhá líne dhíobh a thiubhras</span>
<lb n="710"/><span>dhá ghiota acu dhuit .i. AB, CD.  Fágh poinnte H ar</span>
<lb n="711"/><span>an líne AB, teaspáintar é sa bhFig. 16, agus tarraing an</span>
<lb n="712"/><span>líne EF thríd go dtige sé ar CD sa bpoinnte G.</span></p>
</div>
<pb n="20"/>
<div><lb n="713"/><p><span>Tomhais an dá uillinn BHF, DGF.  Uillinneacha comh-</span>
<lb n="714"/><span>freagarthacha a tugtar ortha.  An bhfuil siad chomh mór</span>
<lb n="715"/><span>le chéile?  Cuir ainm ar na cúplaí uillinneacha comh-</span>
<lb n="716"/><span>freagarthacha eile atá sa bhfigiúir agus tomhais iad.</span></p>
<lb n="717"/>
<lb n="718"/><p><span>3.  Tarraing dhá líne eile mar iad sin .i. AB, CD ach</span>
<lb n="719"/><span>bídís níos fuide óna chéile ná an péire sin.  Tarraing</span>
<lb n="720"/><span>líne a ghearrfas iad ar a mhalthruid de shlighe thar mar</span>
<lb n="721"/><span>ghearras EF iadsan thuas sa bhFig. 16.  Cuir comharthaí</span>
<lb n="722"/><span>ar na huillinneacha comhfhreagarthacha agus tomhais iad.  An</span>
<lb n="723"/><span>bhfuil siad chomh mór le chéile?</span></p>
<lb n="724"/>
<lb n="725"/><p><span>4.  Déan cleachta a 2 arís ach an líne EF a chur treo</span>
<lb n="726"/><span>nach raibh sé agad ann cheana.</span></p>
<lb n="727"/>
<lb n="728"/><p><span>5.  Tarraing dronlíne AB agus fágh dhá phoinnte P, S air</span>
<lb n="729"/><span>agus bídís órlach óna chéile, mar tá siad sa bhFig. 17.  Tarr-</span>
<lb n="730"/><span>aing PM agus bíodh an uille APM 60°.  Tarraing SR agus bíodh</span>
<lb n="731"/><span>an uille ASR 60°.  Cuir fad as PM agus as SR ins an dá</span>
<lb n="732"/><span>treo.  Tomhais ina mhíleméadrachaibh cé'n fhad atá an dá</span>
<lb n="733"/><span>líne seo óna chéile i bpoinntibh éagsamhla.  An bhfuil na</span>
<lb n="734"/><span>línte sin comhthreormhar?</span>
<lb n="735"/></p>
</div>
<pb n="21"/>
<div><lb n="736"/><p><span>6.  Déan cleachta a 5 arís ach an dá uillinn APM,</span>
<lb n="737"/><span>ASR a bheith 100° an ceann.</span></p>
<lb n="738"/>
<lb n="739"/><p><span>7.  Déan arís cleachta a 5 ach an dá uillinn APM,</span>
<lb n="740"/><span>ASR a bheith 90c an ceann.  Is féidir úsáid a bhaint as</span>
<lb n="741"/><span>an bhfíor-chearn insan gcás seo i n-áit as an rialghrádh.</span>
<lb n="742"/><span>An bhfuil sé iontuigthe agad ó na cleachtaí 2–6:—</span></p>
<lb n="743"/>
<lb n="744"/><p><span>(1) Má ghearrann dronlíne dhá líne chomhthreormhara go</span>
<lb n="745"/><span>bhfuil na huillinneacha comhfhreagarthacha comhmhór?</span></p>
<lb n="746"/>
<lb n="747"/><p><span>(2) Má tá na huillinneacha comhfhreagarthacha comhmhór</span>
<lb n="748"/><span>go bhfuil na dronlínte comhthreormhar.</span></p>
<lb n="749"/>
<lb n="750"/><p><span>CLEACHTA XII.</span></p>
<lb n="751"/>
<lb n="752"/><p><span>1.  Tá orm dronlíne a tharraint tré phoinnte áirthei</span>
<lb n="753"/><span>agus é a bheith comhthreormhar leis an dronlíne áirthei AB.</span></p>
<lb n="754"/>
<lb n="755"/><p><span>Tarraing an dronlíne AB agus cuir síos comhartha an</span>
<lb n="756"/><span>phoinnte C tuairim le 2 órlach uaidh.  Cuir an fíor-chearn</span>
<lb n="757"/><span>ar an bhfigiúir san áit a bhfuil PSR, agus bíodh PR go cruinn</span>
<lb n="758"/><span>ar feadh AB.  Coinnigh an fíor-chearn san áit a bhfuil sé</span>
<lb n="759"/><span>agus cuir rialóir TU isteach leis sa gcaoi go dteagmhóchaidh</span>
<lb n="760"/><span>sé leis an gciumhais SR.  Coinnigh an rialóir ina áit</span>
<lb n="761"/><span>anois agus sleamnuigh an fíor-chearn suas go dtí go mbeidh</span>
<lb n="762"/><span>sé san ionad s r p, agus go mbeidh a chiumhais r p ag dul go</span></p>
</div>
<pb n="22"/>
<div><lb n="763"/><p><span>díreach thríd an bpoinnte C.  Tóg an chiotóg den rialóir</span>
<lb n="764"/><span>agus cuir ar an bhfíor-chearn í i n-áit na láimhe deise.  Tarr-</span>
<lb n="765"/><span>aing an dronlíne thré C.</span></p>
<lb n="766"/>
<lb n="767"/><p><span>An bhfuil an uille PRS chomh mór leis an uillinn prs?</span>
<lb n="768"/><span>Tuige?  An uillinneacha comhfhreagarthacha iad sin?</span></p>
<lb n="769"/>
<lb n="770"/><p><span>2.  Tarraing dronlíne AB.  Fagh poinnte ar bith ar</span>
<lb n="771"/><span>an líne, H cuir i gcás.  Tarraing thré H an líne HL</span>
<lb n="772"/><span>ingearach le AB agus bíodh 1.4 ór. ina fhad.  Tarraing an</span>
<lb n="773"/><span>dronlíne CD tré L comhthreormhar le AB.  Tomhais na</span>
<lb n="774"/><span>huillinneacha atá déanta ag HL le CD.  Tarraing dron-</span>
<lb n="775"/><span>líne eile .i. EF ingearach le AB (E ar AB agus F ar CD).</span>
<lb n="776"/><span>An bhfuil EF ingearach le CD?  Tomhais EF.  Tarraing</span>
<lb n="777"/><span>an treas dronlíne ingearach le AB agus tomhais an méid</span>
<lb n="778"/><span>de atá idir AB agus CD .i. MN.  Cé'n fhad atá ó AB go dtí</span>
<lb n="779"/><span>L? go dtí F? go dtí N?</span></p>
<lb n="780"/>
<lb n="781"/><p><span>Is amhlaidh adeirtar go bhfuil CD comhthreormhar le AB</span>
<lb n="782"/><span>agus go bhfuil sé 1.4 ór. uaidh.</span></p>
<lb n="783"/>
<lb n="784"/><p><span>3.  Tarraing dhá líne chomhthreormhara agus dronlíne eile</span>
<lb n="785"/><span>ghá ngearradh, ionnus go mbeidh 70° san uillinn atá ag f.</span>
<lb n="786"/><span>Cuir a, b, c, agus rl. mar mharcanna ar na huillinneacha eile,</span>
<lb n="787"/><span>mar tá siad sa bhFig. 19.  Tomhais na hocht n-uillinn agus</span>
<lb n="788"/><span>innis cé acu atá comhmhór.  Uillinneacha umthanacha atá</span>
<lb n="789"/><span>ar an dá cheann c, f.  An bhfuil siad comhmhór?  Cuir ainm</span>
<lb n="790"/><span>ar dhá uillinn umthánacha eile agus innis an bhfuil siad comh-</span>
<lb n="791"/><span>mhór.  Uillinneacha seachtaracha a tugtar ar na huill-</span>
<lb n="792"/><span>inneacha a, b, g, h; uillinneacha inmheadhonacha ar c, d,</span>
<lb n="793"/><span>e, f.  Uillinneacha inmheadhonacha ar an taobh céadna</span></p>
</div>
<pb n="23"/>
<div><lb n="794"/><p><span>den líne (a ghearras an dá líne eile) iad d. f.  Cé</span>
<lb n="795"/><span>mhéad é a suim</span></p>
<lb n="796"/>
<lb n="797"/><p><span>4.  Tarraing dronlíne AB agus bíodh sé 2 ór.  Bíodh 30°</span>
<lb n="798"/><span>san uillinn BAC déan uille eile .i. ABD a mbeidh 30°</span>
<lb n="799"/><span>innti ar an taobh all de AB ó C.  Innis, le congnamh an</span>
<lb n="800"/><span>rialóra agus an fhíor-chearn mar rinnis i gcleachta a 1 an</span>
<lb n="801"/><span>bhfuil BD agus AC comhthreormhar.  Bain 2.5 ór. d'AC agus</span>
<lb n="802"/><span>2.5 ór. de BD.  Ceangail C do B agus A do D, agus tá ort</span>
<lb n="803"/><span>a fhagháil amach an bhfuil na línte sin comhthreormhar.  Cé'n</span>
<lb n="804"/><span>fhad BD ó AC?</span></p>
<lb n="805"/>
<lb n="806"/><p><span>5.  Tarraing triantán ABC agus bíodh na trí línte comhada</span>
<lb n="807"/><span>.i. AB=AC=BO agus iad 7.5cm. an líne.</span></p>
<lb n="808"/>
<lb n="809"/><p><span>Tá ort poinnte H a fhagháil agus é 2.5cm. ó AC agus ar an</span>
<lb n="810"/><span>taobh céadna dhe a bhfuil B.  Tarraing an líne PT thré H</span>
<lb n="811"/><span>comhthreormhar le AC.</span></p>
<lb n="812"/>
<lb n="813"/><p><span>Tá ort poinnte eile fhagháil .i. L 2 ór. ó AB agus ar an</span>
<lb n="814"/><span>taobh céadna dhe a bhfuil C.  Tarraing líne RS thré L</span>
<lb n="815"/><span>comhthreormhar le AB.</span></p>
<lb n="816"/>
<lb n="817"/><p><span>An poinnte O an áit a ngearrann an dá líne comh-</span>
<lb n="818"/><span>threormhara PT, RS a chéile, cén fhad an poinnte sin</span>
<lb n="819"/><span>ó AC?  Cé an fhad é ó AB?  Tomhais a fhad ó BC.</span></p>
<lb n="820"/>
<lb n="821"/><p><span>6.  Tarraing triantán ABC, bíodh AB 8.5cm., bíodh</span>
<lb n="822"/><span>AC 6.8cm., agus bíodh BC 5.1cm.  Cá bhfuil an poinnte O</span>
<lb n="823"/><span>istigh sa triantán atá 1.7cm. ó AC agus é 1.7cm. ó BC.</span>
<lb n="824"/><span>Tomhais cé an fhad é ó AB.</span></p>
<lb n="825"/>
<lb n="826"/><p><span>CLEACHTA XIII.</span></p>
<lb n="827"/>
<lb n="828"/><p><span>TREOLÍNTEÁN, DRONUILLEOG, CAMCHEARN,</span>
<lb n="829"/><span>CEARNÓG.</span></p>
<lb n="830"/>
<lb n="831"/><p><span>1.  Bíodh an uille BAD 70°, bíodh AB 2.5 ór., bíodh AD</span>
<lb n="832"/><span>1.7 ór.: tarraing BC thré B agus bíodh sé comhthreormhar</span>
<lb n="833"/><span>le AD, agus tarraing DC thré D agus bíodh sé comhthreormhar le</span>
<lb n="834"/><span>AB.  Tomhais BC, CD agus an uille C.  Treolínteán a</span>
<lb n="835"/><span>tugtar ar an bhfigiúir a bhfuil cheithre sleasa leis, agus gach</span>
<lb n="836"/><span>aon dá shlios de atá ar aghaidh a chéile, iad comhthreormhar</span>
<lb n="837"/></p>
</div>
<pb n="24"/>
<div><lb n="838"/><p><span>2.  Tarraing treolínteán ABCD, bíodh an uille B</span>
<lb n="839"/><span>60° ann, bíodh 8cm. ar fhad sa líne AB, agus 5cm. ar</span>
<lb n="840"/><span>fhad sa líne BC.  Tomhais AD, CD agus na huillinneacha eile</span>
<lb n="841"/><span>.i. A, D, C.  Cé'n mhéid atá i n-iomlán na dhá uillinn B</span>
<lb n="842"/><span>C? agus i n-iomlán na dhá uillinn A,D?</span></p>
<lb n="843"/>
<lb n="844"/><p><span>3.  Tarraing dhá líne chomhthreormhara: tarraing dron-</span>
<lb n="845"/><span>líne eile agus gearradh sé iad insna poinntí L, M, agus líne</span>
<lb n="846"/><span>eile a bheas comhthreormhar leis sin agus gearradh sé iad</span>
<lb n="847"/><span>insna poinntí R.N.  Tomhais sleasa agus uillinneacha an</span>
<lb n="848"/><span>treolínteáin LMNR, agus innis cé acu atá comhmhór.</span></p>
<lb n="849"/>
<lb n="850"/><p><span>4.  Ar an tslighe chéadna tarraing treolínteán eile agus</span>
<lb n="851"/><span>taréis na sleasa agus na huillinneacha a tomhas duit innis</span>
<lb n="852"/><span>rud ar bith a fuairis amach i dtaobh (1) sleas agus (2) uill-</span>
<lb n="853"/><span>inneacha na dtreolínteán.</span></p>
<lb n="854"/>
<lb n="855"/><p><span>Tabhair faoi deara. — I gCúrsa na Céimseatan</span>
<lb n="856"/><span>Indéanta níl sé ionráidhte gur cruthuigheadh na tortha a</span>
<lb n="857"/><span>fríth.  Níl ionnta ach gur tasbáineadh i gcásaibh sonn-</span>
<lb n="858"/><span>radhacha a mbeith fíor, tré n-a dtomhas.  Céimseata</span>
<lb n="859"/><span>Teoiriceach atá innseo síos leagtar amach cruthuighthe</span>
<lb n="860"/><span>generáilte dolúbtha i n-altaibh ar leith agus tugtar “Tairis-</span>
<lb n="861"/><span>giona” ortha.</span></p>
<lb n="862"/>
<lb n="863"/><p><span>CÉIMSEATA TEOIRICEACH.</span></p>
<lb n="864"/>
<lb n="865"/><p><span>leabhar a 1.</span></p>
<lb n="866"/>
<lb n="867"/><p><span>An oiread seo roinneanna ar leith a dtugtar Tair-</span>
<lb n="868"/><span>isgiona ortha sin é an rud atá i gCéimseatain teoir-</span>
<lb n="869"/><span>iceach.  Teoragáin nó Ceisteanna iad sin.</span></p>
<lb n="870"/>
<lb n="871"/><p><span>Teoragán, sin rádh ar fhírinne chéimseatan, agus tá</span>
<lb n="872"/><span>leagtha amach ag duine é a chruthú.</span></p>
<lb n="873"/>
<lb n="874"/><p><span>Ceist, sin rádh ar thógáil chéimseatan agus tá leagtha amach</span>
<lb n="875"/><span>ag duine an tógáil a dhéanamh.</span></p>
<lb n="876"/>
<lb n="877"/><p><span>Comhthoradh teoragáin, sin rádh agus is follusach ón teor-</span>
<lb n="878"/><span>agán a cruthuigheadh gur fíor é.</span>
<lb n="879"/></p>
</div>
<pb n="25"/>
<div><lb n="880"/><p><span>Aithris Tairisgiona, sin innseacht generáilte ar nidh</span>
<lb n="881"/><span>atá le cruthú nó le déanamh.</span></p>
<lb n="882"/>
<lb n="883"/><p><span>Ins an teoragán tasbáineann an Cruthú an rádh a bheith</span>
<lb n="884"/><span>fíor; agus tasbáineann sé insan gceist go ndearnadh an</span>
<lb n="885"/><span>tógáil a bhí ceaptha a dhéanamh.</span></p>
<lb n="886"/>
<lb n="887"/><p><span>Isé an Cuir-i-gcás an rud a cuireadh i gcás insan</span>
<lb n="888"/><span>teoragán a bheith fíor; agus isé an Toradh an rud a cruth-</span>
<lb n="889"/><span>uigheadh a bheith fíor.</span></p>
<lb n="890"/>
<lb n="891"/><p><span>Cuir-i-gcás agus toradh teoragáin nuair atá siad mar</span>
<lb n="892"/><span>thoradh agus mar chuir-i-gcás ag teoragán eile is amhlaidh</span>
<lb n="893"/><span>deirtar le teoragán díobh é gurab é Aisiompodh an chinn</span>
<lb n="894"/><span>eile é.</span></p>
<lb n="895"/>
<lb n="896"/><p><span>Na leitreacha Q.E.D. atá le deire an teoragáin isiad</span>
<lb n="897"/><span>leitreacha tosaigh na bhfocal Laidne Quod erat demon-</span>
<lb n="898"/><span>strandum iad agus cialluigheann siad “a bhí le cruthú.”</span></p>
<lb n="899"/>
<lb n="900"/><p><span>An té a rinne go dtí seo den obair seo atá eolus</span>
<lb n="901"/><span>generáilte aige ar mhíniú na dtéarmaí céimseatan.</span>
<lb n="902"/><span>Tá roinnt sonnruighthe (nó mínighthe) téarmaí innseo síos,</span>
<lb n="903"/><span>agus gheobhfar tuille acu níos fuide amach nuair atá gabhadh</span>
<lb n="904"/><span>leo: is leor a bhfoghluim do réir mar bheas siad ag</span>
<lb n="905"/><span>teastáil.</span></p>
<lb n="906"/>
<lb n="907"/><p><span>SONNRUIGHTHE.</span></p>
<lb n="908"/>
<lb n="909"/><p><span>1.  Roinn áirithe achair a bhfuil fad, léithead agus tiughas</span>
<lb n="910"/><span>ann tugtar comhdhlúth air.</span></p>
<lb n="911"/>
<lb n="912"/><p><span>2.  Dromchla a tugtar ar an tórainn atá idir dhá</span>
<lb n="913"/><span>achar: tá fad agus léithead ach gan aon tiughas ann.</span></p>
<lb n="914"/>
<lb n="915"/><p><span>Tá dromchla nó tuille agus dromchla mar thórainn le</span>
<lb n="916"/><span>comhdhlúth.</span></p>
<lb n="917"/>
<lb n="918"/><p><span>3.  Líne, sin rud a bhfuil fad ann, ach níl léithead ná</span>
<lb n="919"/><span>tiughas ann.</span></p>
<lb n="920"/>
<lb n="921"/><p><span>An tórainn idir dhá roinn de dhromchla is líne é.</span></p>
<lb n="922"/>
<lb n="923"/><p><span>4.  Poinnte, sin rud a bhfuil áitiú aige, ach níl fad,</span>
<lb n="924"/><span>léithead ná tiughas ann.</span>
<lb n="925"/></p>
</div>
<pb n="26"/>
<div><lb n="926"/><p><span>Is poinntí atá mar dhá cheann nó mar dhá chríoch le</span>
<lb n="927"/><span>líne; is i bpoinnte a thigeas dhá líne ar a chéile: is</span>
<lb n="928"/><span>poinnte é an tórainn atá idir dhá chuid de líne.</span></p>
<lb n="929"/>
<lb n="930"/><p><span>5.  Dhá chríoch de pháirt de líne, is cuma cionnus a</span>
<lb n="931"/><span>luigheann sé, nuair a curtar anuas ar pháirt eile iad</span>
<lb n="932"/><span>agus nach mbíonn aon achar idir na páirteanna tugtar líne</span>
<lb n="933"/><span>díreach ar an líne sin.</span></p>
<lb n="934"/>
<lb n="935"/><p><span>An sonnrú is foghainntighe dár tugadh ar líne dhíreach,</span>
<lb n="936"/><span>nó ar dhronlíne is é seo é b'éidir: “ní féidir le dhá</span>
<lb n="937"/><span>dhronlíne achar a dhúnadh isteach eatortha.”  Sin é an</span>
<lb n="938"/><span>gnáth-fhocal dá ndearna Euclid úsáid do-chum cáilidh-</span>
<lb n="939"/><span>eacht na ndronlínte a chur i n-iúl agus caithfear a choinneál</span>
<lb n="940"/><span>is cuma cé an sonnrú eile tugtar air.</span></p>
<lb n="941"/>
<lb n="942"/><p><span>6.  Líne lúbtha, nó lúb a tugtar ar líne nach bhfuil ina</span>
<lb n="943"/><span>líne dhíreach ná aon díreadas ann.</span></p>
<lb n="944"/>
<lb n="945"/><p><span>7.  Cothromán, nó dromchla comhréidh a tugtar ar an</span>
<lb n="946"/><span>dromchla a bhfuil an líne atá ag ceangal dhá phoinnte ar</span>
<lb n="947"/><span>bith atá air, go bhfuil sin, ar a uachtar.</span></p>
<lb n="948"/>
<lb n="949"/><p><span>8.  Uille (nó cúinne) an rud atá déanta ag líne le</span>
<lb n="950"/><span>líne eile insan bpoinnte i gcasann siad ar a chéile.</span></p>
<lb n="951"/>
<lb n="952"/><p><span>Géaga na huillinne atá ar an dá dhronlíne agus rinn</span>
<lb n="953"/><span>(nó bior) na huillinne atá ar an bpoinnte ina dtigeann</span>
<lb n="954"/><span>siad ar a chéile.</span></p>
<lb n="955"/>
<lb n="956"/><p><span>9.  Uillinneacha atá insan gcotromán céadna agus ar dhá</span>
<lb n="957"/><span>thaobh na géige céadna uillinneacha comhgaracha a tugtar</span>
<lb n="958"/><span>ortha.</span></p>
<lb n="959"/>
<lb n="960"/><p><span>10.  Dhá dhronuille a tugtar ar an dá uillinn chomh</span>
<lb n="961"/><span>garacha atá déanta ag líne le líne eile a bhfuil sé ina</span>
<lb n="962"/><span>sheasamh air, ach an dá uillinn a bheith comhmhór; agus is</span>
<lb n="963"/><span>amhlaidh deartar é go bhfuil an da dhronlíne dronuill-</span>
<lb n="964"/><span>inneach nó ingearach le n-a chéile.</span></p>
<lb n="965"/>
<lb n="966"/><p><span>11.  Géaruille a tugtar ar uillinn is lugha ná dron-</span>
<lb n="967"/><span>uille.</span></p>
<lb n="968"/>
<lb n="969"/><p><span>Maoluille a tugtar ar uillinn is mó ná dronuille,</span>
<lb n="970"/><span>ach is lugha ná dhá dhronuillinn.</span>
<lb n="971"/></p>
</div>
<pb n="27"/>
<div><lb n="972"/><p><span>Uille aithfhillte a tugtar ar uillinn is mó na dhá</span>
<lb n="973"/><span>dronuillinn ach is lugha ná cheithre dronuillinn.</span></p>
<lb n="974"/>
<lb n="975"/><p><span>12.  Figiúir comhréidh a tugtar ar pháirt ar bith de</span>
<lb n="976"/><span>chothromán a bhfuil líne nó tuille agus líne mar thórainn leis.</span></p>
<lb n="977"/>
<lb n="978"/><p><span>13.  Figiúir comhréidh é cearcall agus é gabhtha taobh istigh</span>
<lb n="979"/><span>d'aon líne amháin a dtugtar an timcheallaí air, agus is</span>
<lb n="980"/><span>amhlaidh atá sé: poinnte áirithe istigh ann agus má tarraing-</span>
<lb n="981"/><span>ítar dronlínte uaidh go dtí an timcheallaí beidh siad sin</span>
<lb n="982"/><span>go léir comhada.  Lár an chearcaill a tugtar ar an</span>
<lb n="983"/><span>bpoinnte sin.</span></p>
<lb n="984"/>
<lb n="985"/><p><span>14.  Ga cearcaill atá ar an líne a tarraingítar ón</span>
<lb n="986"/><span>lár go dtí an timcheallaí.</span></p>
<lb n="987"/>
<lb n="988"/><p><span>Tá gaethe cearcaill go léir comhada.</span></p>
<lb n="989"/>
<lb n="990"/><p><span>15.  Lárlíne cearcaill atá ar an dronlíne atá ag</span>
<lb n="991"/><span>gabháil ón timcheallaí thríd an lár agus go dtí an timcheallaí</span>
<lb n="992"/><span>thall arís.  Tá a dá cheann insan timcheallaí agus é ag gabháil</span>
<lb n="993"/><span>thríd an lár.</span></p>
<lb n="994"/>
<lb n="995"/><p><span>16.  Stuagh cearcaill a tugtar ar roinn ar bith de</span>
<lb n="996"/><span>thimcheallaí an chearcaill.</span></p>
<lb n="997"/>
<lb n="998"/><p><span>17.  Leith-chearcall atá ar an bhfigiúir a bhfuil an</span>
<lb n="999"/><span>stuagh agus an lárlíne mar thórainn leis.</span></p>
<lb n="1000"/>
<lb n="1001"/><p><span>DEONUIGHTHE.</span></p>
<lb n="1002"/>
<lb n="1003"/><p><span>Na deonuighthe seo síos ní mór corr díreach agus compás</span>
<lb n="1004"/><span>a bheith agad leo: déanfa compás freisin le achar a</span>
<lb n="1005"/><span>roinnt agus leis an achar roinnte sin a thabhairt ó áit go</span>
<lb n="1006"/><span>háit eile.</span></p>
<lb n="1007"/>
<lb n="1008"/><p><span>Deonuightar:—</span></p>
<lb n="1009"/>
<lb n="1010"/><p><span>1.  Gur féidir dronlíne a tharraint ó phoinnte ar bith</span>
<lb n="1011"/><span>go dtí poinnte ar bith eile.</span></p>
<lb n="1012"/>
<lb n="1013"/><p><span>2.  Gur féidir fad ar bith, ach é bheith díreach, a chur as</span>
<lb n="1014"/><span>líne díreach críochnuighthe ar bith.</span></p>
<lb n="1015"/>
<lb n="1016"/><p><span>3.  Gur féidir cearcall a tharraint a mbeidh poinnte</span>
<lb n="1017"/><span>ar bith mar lár ann agus ga ann a bheas chomh fada le líne</span>
<lb n="1018"/><span>díreach ar bith.</span>
<lb n="1019"/></p>
</div>
<pb n="28"/>
<div><lb n="1020"/><p><span>GNÁTH-FHOCAIL.</span></p>
<lb n="1021"/>
<lb n="1022"/><p><span>Gnáth-Fhocail a tugtar ar ráidhte áirithe a bhfuil sé</span>
<lb n="1023"/><span>chomh follusach sin a mbeith fíor agus go nglactar leo gan a</span>
<lb n="1024"/><span>gcruthú.</span></p>
<lb n="1025"/>
<lb n="1026"/><p><span>1.  Neithe atá chomh mór nó chomh fada le ní eile atá siad</span>
<lb n="1027"/><span>chomh mór nó chomh fada le n-a chéile.</span></p>
<lb n="1028"/>
<lb n="1029"/><p><span>2.  Má curtar neithe atá comhmhór nó comhada</span>
<lb n="1030"/><span>dteannta neithe eile atá comhmhór nó comhada atá na</span>
<lb n="1031"/><span>hiomláin comhmhór nó comhada.</span></p>
<lb n="1032"/>
<lb n="1033"/><p><span>3.  Má baintear neithe atá comhmhór nó comhada as</span>
<lb n="1034"/><span>neithibh eile atá comhmhór nó comhada beidh na hiarmhair</span>
<lb n="1035"/><span>comhmhór nó comhada.</span></p>
<lb n="1036"/>
<lb n="1037"/><p><span>4.  Má curtar neithe atá comhmhór nó comhada i dteannta</span>
<lb n="1038"/><span>neithe eile nach bhfuil comhmhór nó comhada beidh na hiom-</span>
<lb n="1039"/><span>láin gan a bheith comhmhór nó comhada.</span></p>
<lb n="1040"/>
<lb n="1041"/><p><span>5.  Má baintear neithe comhmhóra nó comhada as neithibh</span>
<lb n="1042"/><span>nach bhfuil comhmhór nó comhada beidh na hiarmhair gan a</span>
<lb n="1043"/><span>bheith comhmhór nó comhada.</span></p>
<lb n="1044"/>
<lb n="1045"/><p><span>6.  Neithe a bhfuil dhá mhéid nó dhá fhad an ní céadna</span>
<lb n="1046"/><span>ionnta, nó dhá mhéid nó dhá fhad neithe comhionanna, atá</span>
<lb n="1047"/><span>siad comhmhór nó comhada.</span></p>
<lb n="1048"/>
<lb n="1049"/><p><span>7.  Neithe atá leath chomh mór nó leath chomh fada le neith</span>
<lb n="1050"/><span>eile, nó le neithibh comhionanna, atá siad féin comhmhór</span>
<lb n="1051"/><span>nó comhada.</span></p>
<lb n="1052"/>
<lb n="1053"/><p><span>8.  Méidthe gur féidir do cheann acu comhthuitim go</span>
<lb n="1054"/><span>beacht ar an gceann eile atá siad comhmhór.</span></p>
<lb n="1055"/>
<lb n="1056"/><p><span>Ionnus go mb' éidir líne nó uille nó figiúir a chur</span>
<lb n="1057"/><span>i gcomórtas le líne nó le huillinn nó le figiúir eile, is</span>
<lb n="1058"/><span>féidir, cuir i gcás, an líne nó an uille nó an fhigiúir a</span>
<lb n="1059"/><span>thógáil ó na ionad (a iompodh más gadh é) agus gan athrú</span>
<lb n="1060"/><span>crotha ná méid a chur air é chur anuas ar líne nó ar</span>
<lb n="1061"/><span>uillinn nó ar fhigiúir eile.</span>
<lb n="1062"/></p>
</div>
<pb n="29"/>
<div><lb n="1063"/><p><span>Arsuidheamh a tugtar ar an gcúrsa sin agus is amhlaidh</span>
<lb n="1064"/><span>deirtar go gcurtar méid le méid eile.</span></p>
<lb n="1065"/>
<lb n="1066"/><p><span>9.  Tá gach uile dhronuille chomh mór le gach uile dhron-</span>
<lb n="1067"/><span>uillinn eile.</span></p>
<lb n="1068"/>
<lb n="1069"/><p><span>TAIRISGINT 1. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="1070"/>
<lb n="1071"/><p><span>An dá uillinn chomhgaracha a déantar má bhíonn</span>
<lb n="1072"/><span>dronlíne ina sheasamh ar dhronlíne eile, i dteannta</span>
<lb n="1073"/><span>a chéile atá siad chomh mór le dhá dhronuillinn.</span></p>
<lb n="1074"/>
<lb n="1075"/><p><span>Tagann an dronlíne AE ar an dronlíne BC insa</span>
<lb n="1076"/><span>bpoinnte E.</span></p>
<lb n="1077"/>
<lb n="1078"/><p><span>Ionnus go gcruthófaí an dá uillinn CEA, AEB i</span>
<lb n="1079"/><span>dteannta a chéile, a bheith chomh mór le dhá dhronuillinn.</span>
<lb n="1080"/><span>Cuir i gcás gur tarraingeadh DE dronuillinneach le BC.</span></p>
<lb n="1081"/>
<lb n="1082"/><p><span>Cruthú.  Tá an uille AEB chomh mór leis an dá uillinn</span>
<lb n="1083"/><span>AED, DEB i dteannta a chéile.</span></p>
<lb n="1084"/>
<lb n="1085"/><p><span>Cuir an uille AEC i dteannta gach comhéid díobh.</span></p>
<lb n="1086"/>
<lb n="1087"/><p><span>Dá bhrígh sin tá an dá uillinn CEA, AEB, i dteannta</span>
<lb n="1088"/><span>a chéile, chomh mór le na trí uillinn CEA, AED, DEB.</span></p>
<lb n="1089"/>
<lb n="1090"/><p><span>Agus an uille CED tá sí chomh mór leis an dá uillinn</span>
<lb n="1091"/><span>CEA, AED i dteannta a chéile.</span></p>
<lb n="1092"/>
<lb n="1093"/><p><span>Cuir an uille DEB i dteannta gach comhéid díobh.</span></p>
<lb n="1094"/>
<lb n="1095"/><p><span>Dá bhrígh sin an dá uillinn CED, DEB i dteannta a</span>
<lb n="1096"/><span>chéile tá siad chomh mór leis na trí huillinneachaibh CEA,</span>
<lb n="1097"/><span>AED, DEB.</span>
<lb n="1098"/></p>
</div>
<pb n="30"/>
<div><lb n="1099"/><p><span>Dá bhrígh sin an dá uillinn CEA, AEB i dteannta a</span>
<lb n="1100"/><span>chéile, táid siad chomh mór leis an dá uillinn CED, DEB</span>
<lb n="1101"/><span>i dteannta a chéile.</span></p>
<lb n="1102"/>
<lb n="1103"/><p><span>Ach is dhá dhronuillinn iad an dá uillinn CED, DEB.</span>
<lb n="1104"/><span>Uime sin an dá uillinn CEA, AEB i dteannta a chéile</span>
<lb n="1105"/><span>táid siad chomh mór le dhá dhronuillinn.</span></p>
<lb n="1106"/>
<lb n="1107"/><p><span>Q.E.D.</span></p>
<lb n="1108"/>
<lb n="1109"/><p><span>COMHTHORADH 1. — Má tarraingítar dhá dhronlíne</span>
<lb n="1110"/><span>nó tuille agus dhá dhronlíne ón bpoinnte céadna i ndron-</span>
<lb n="1111"/><span>line agus ar an taobh céadna den líne, iomlán na n-uill-</span>
<lb n="1112"/><span>inneacha leanamhnacha a déantar ar an gcuma sin atáid</span>
<lb n="1113"/><span>siad chomh mór le dhá dhronuillinn.</span></p>
<lb n="1114"/>
<lb n="1115"/><p><span>COMHTHORADH 2. — Má tarraingítar dronlínte, uimhir</span>
<lb n="1116"/><span>ar bith dhíobh, ó phoinnte, iomlán na n-uillinneacha lean-</span>
<lb n="1117"/><span>amhnaca a déantar ar an gcuma sin atáid siad chomh mór</span>
<lb n="1118"/><span>le cheithre dhronuillinn.</span></p>
<lb n="1119"/>
<lb n="1120"/><p><span>SONNRÚ. — Dhá uillinn i dteannta a chéile atá chomh</span>
<lb n="1121"/><span>mór le dhá dhronuillinn tugtar foirlíon an chinn eile ar</span>
<lb n="1122"/><span>uillinn díobh agus is amhlaidh deirtar go bhfuil an dá uillinn</span>
<lb n="1123"/><span>foirlíonta.</span></p>
<lb n="1124"/>
<lb n="1125"/><p><span>Is foirlíonta atá an dá uillinn CEA, AEB i dTairis-</span>
<lb n="1126"/><span>gint a 1, insa bhfig.</span></p>
<lb n="1127"/>
<lb n="1128"/><p><span>SONNRÚ. — Dhá uillinn i dteannta a chéile atá chomh</span>
<lb n="1129"/><span>mór le dronuillinn, allroinn na huillinne eile a tugtar</span>
<lb n="1130"/><span>ar uillinn díobh agus allronnach adeirtar atá na huill-</span>
<lb n="1131"/><span>inneacha sin.</span></p>
<lb n="1132"/>
<lb n="1133"/><p><span>Is allronnach, cuir i gcás, atá an dá uillinn CEA,</span>
<lb n="1134"/><span>AED insa bhfig. i dTairisgint a 1.</span>
<lb n="1135"/></p>
</div>
<pb n="31"/>
<div><lb n="1136"/><p><span>TAIRISGINT 2. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="1137"/>
<lb n="1138"/><p><span>Má thagann dhá dhronlíne go dtí poinnte i ndronlíne</span>
<lb n="1139"/><span>eile, agus iad a theacht air ón dá thaobh den líne, agus go</span>
<lb n="1140"/><span>ndéanann siad an dá uillinn chomhgaracha, i dteannta</span>
<lb n="1141"/><span>a chéile, chomh mór le dhá dhronuillinn is i n-aon</span>
<lb n="1142"/><span>dronlíne amháin atá an dá dhronlíne sin.</span></p>
<lb n="1143"/>
<lb n="1144"/><p><span>Déanadh an dá dhronlíne EB, EA, agus iad ag teacht ón</span>
<lb n="1145"/><span>dá thaobh ar an bpoinnte E, insan líne EC, déanaidís an</span>
<lb n="1146"/><span>dá uillinn chomhgaracha, i dteannta a chéile, chomh mór le</span>
<lb n="1147"/><span>dhá dhronuillinn</span></p>
<lb n="1148"/>
<lb n="1149"/><p><span>Ionnus go gcruthófaí gur i n-aon dronlíne amháin</span>
<lb n="1150"/><span>atá EB, EA.</span></p>
<lb n="1151"/>
<lb n="1152"/><p><span>Tógáil. — Cuir fad as AE, thré E, go dtí poinnte ar</span>
<lb n="1153"/><span>bith, cuir i gcás D.</span></p>
<lb n="1154"/>
<lb n="1155"/><p><span>Cruthú. — Ó thárla go dtigeann EC ar an dronlíne</span>
<lb n="1156"/><span>AED,</span></p>
<lb n="1157"/>
<lb n="1158"/><p><span>Tá an dá uillinn AEC, CED, i dteannta a chéile, chomh</span>
<lb n="1159"/><span>mór le dhá dhronuillinn.</span></p>
<lb n="1160"/>
<lb n="1161"/><p><span>Tair 1.</span></p>
<lb n="1162"/>
<lb n="1163"/><p><span>Ach is chomh mór le dhá dhronuillinn atá an dá uillinn</span>
<lb n="1164"/><span>AEC, CEB.  Cás.</span></p>
<lb n="1165"/>
<lb n="1166"/><p><span>Dá bhrígh sin, an dá uillinn AEC, CED, i dteannta a</span>
<lb n="1167"/><span>chéile, tá siad chomh mór leis an dá uillinn AEC, CEB,</span>
<lb n="1168"/><span>i dteannta a chéile.</span></p>
<lb n="1169"/>
<lb n="1170"/><p><span>Bain an uille AEC as gach comhéid díobh, agus fágfaidh sin</span>
<lb n="1171"/><span>an uille CED chomh mór leis an uillinn CEB</span>
<lb n="1172"/><span>uime sin caithfidh EB comhthuitim ar ED.</span></p>
<lb n="1173"/>
<lb n="1174"/><p><span>Ach tá ED agus EA i n-aon dronlíne amháin, do réir thógála;</span>
<lb n="1175"/><span>uime sin tá EB agus EA i n-aon dronlíne amháin.</span></p>
<lb n="1176"/>
<lb n="1177"/><p><span>Q.E.D.</span>
<lb n="1178"/></p>
</div>
<pb n="32"/>
<div><lb n="1179"/><p><span>TAIRISGINT 3. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="1180"/>
<lb n="1181"/><p><span>Má ghearrann dhá dhronlíne a chéile beidh na huillinn-</span>
<lb n="1182"/><span>eacha rinneacha ar agaidh a chéile comhmhór.</span></p>
<lb n="1183"/>
<lb n="1184"/><p><span>Gearradh an dá dhronlíne AB, CD a chéile sa bpoinnte</span>
<lb n="1185"/><span>F.</span></p>
<lb n="1186"/>
<lb n="1187"/><p><span>Ionnus go gcruthófaí gur comhmhór atá an dá uillinn</span>
<lb n="1188"/><span>rinneacha atá ar aghaidh a chéile .i. AFD, BFC; agus freisin</span>
<lb n="1189"/><span>gur comhmhór atá an dá uillinn rinneacha eile atá ar</span>
<lb n="1190"/><span>aghaidh a chéile .i. AFC, BFD.</span></p>
<lb n="1191"/>
<lb n="1192"/><p><span>Cruthú.  Ó thárla go dtigeann an dronlíne CF ar an</span>
<lb n="1193"/><span>dronlíne AB,</span></p>
<lb n="1194"/>
<lb n="1195"/><p><span>uime sin an dá uillinn AFC, BFC i dteannta a chéile, táid</span>
<lb n="1196"/><span>siad chomh mór le dhá dhronuillinn.</span></p>
<lb n="1197"/>
<lb n="1198"/><p><span>Tair. 1.</span></p>
<lb n="1199"/>
<lb n="1200"/><p><span>Ó thárla go dtigeann an dronlíne AF ar an dronlíne CD,</span>
<lb n="1201"/><span>uime sin an dá uillinn AFC, AFD, i dteannta a chéile,</span>
<lb n="1202"/><span>táid siad chomh mór le dhá dhronuillinn.</span></p>
<lb n="1203"/>
<lb n="1204"/><p><span>Tair. 1.</span></p>
<lb n="1205"/>
<lb n="1206"/><p><span>Dá bhrígh sin an dá uillinn AFC, BFC, i dteannta a chéile,</span>
<lb n="1207"/><span>táid siad chomh mór leis an dá uillinn AFC, AFD, i</span>
<lb n="1208"/><span>dteannta a chéile.</span></p>
<lb n="1209"/>
<lb n="1210"/><p><span>Bain an uille AFC as gach comhéid díobh agus fágfaidh sin</span>
<lb n="1211"/><span>an uille BFC chomh mór leis an uillinn AFD.</span></p>
<lb n="1212"/>
<lb n="1213"/><p><span>Is féidir a chruthú ar an modh céadna go bhfuil an uille</span>
<lb n="1214"/><span>AFC chomh mór leis an uillinn BFD.</span>
<lb n="1215"/></p>
</div>
<pb n="33"/>
<div><lb n="1216"/><p><span>CLEACHTA XIV.</span></p>
<lb n="1217"/>
<lb n="1218"/><p><span>1.  Na huillinneacha ABC, ACB, ag bonn (BC), an</span>
<lb n="1219"/><span>triantáin ABC má tá siad comhmhór, cuir fad as an</span>
<lb n="1220"/><span>mbonn as a dhá cheann, agus innsin cruthuigh go bhfuil na</span>
<lb n="1221"/><span>huillinneacha seachtaracha a déantar ar an gcuma sin go</span>
<lb n="1222"/><span>bhfuil siad comhmhór.</span></p>
<lb n="1223"/>
<lb n="1224"/><p><span>2.  Na huillinneacha ag bonn (BC) an triantáin ABC</span>
<lb n="1225"/><span>má tá siad comhmhór, cuir fad as an dá shlios tré B agus</span>
<lb n="1226"/><span>tré C agus innsin cruthuigh go bhfuil an dá uillinn sheachtaracha,</span>
<lb n="1227"/><span>a déantar ar an gcuma sin, go bhfuil sin comhmhór.</span></p>
<lb n="1228"/>
<lb n="1229"/><p><span>3.  Má ghníonn an líne EF dhá leith den uillinn AEC</span>
<lb n="1230"/><span>(féach ar an bhfig.), agus má ghníonn an líne EG dhá leith den</span>
<lb n="1231"/><span>uillinn CEB, cruthuigh gurab í an uille FEG leath na</span>
<lb n="1232"/><span>huillinne AEB.</span></p>
<lb n="1233"/>
<lb n="1234"/><p><span>Gearr amach é agus fill é ionnus go dtuitfe EA agus EB</span>
<lb n="1235"/><span>ar EC.</span></p>
<lb n="1236"/>
<lb n="1237"/><p><span>4.  An dá uillinn a déantar nuair a thigeas EC ar an</span>
<lb n="1238"/><span>dronlíne AB (féach ar an bhfig.), .i. AEC, BEC má ghníonn</span>
<lb n="1239"/><span>an líne EF dhá leith de AEC agus an line EG dhá leith de BEC</span>
<lb n="1240"/><span>cruthuigh gur dronuille í an uille FEG.</span>
<lb n="1241"/></p>
</div>
<pb n="34"/>
<div><lb n="1242"/><p><span>SONNRUÍTHE.</span></p>
<lb n="1243"/>
<lb n="1244"/><p><span>Triantán, sin figiúir comhréidh a bhfuil trí dron-</span>
<lb n="1245"/><span>línte mar thórainn leis.</span></p>
<lb n="1246"/>
<lb n="1247"/><p><span>Ceathairshleasán, sin figiúir comhréidh a bhfuil cheithre</span>
<lb n="1248"/><span>dronlínte mar thórainn leis.  Treasnán atá ar an líne</span>
<lb n="1249"/><span>atá ag ceangal dhá rinn atá ar aghaidh a chéile insa gceath-</span>
<lb n="1250"/><span>airshleasán.</span></p>
<lb n="1251"/>
<lb n="1252"/><p><span>Iolgán, sin figiúir comhréidh a bhfuil tuille agus cheithre</span>
<lb n="1253"/><span>dhronlíne mar thórainn leis.</span></p>
<lb n="1254"/>
<lb n="1255"/><p><span>Nuair nach mbíonn uille aithfhillte i n-iolgán is amhlaidh</span>
<lb n="1256"/><span>deirtar go mbíonn sé dronnach.</span></p>
<lb n="1257"/>
<lb n="1258"/><p><span>Is amhlaidh bhíos triantán, bíonn sé:—</span></p>
<lb n="1259"/>
<lb n="1260"/><p><span>Comhshleasach nuair a bhíos na trí sleasa comhada; agus</span></p>
<lb n="1261"/>
<lb n="1262"/><p><span>Comhchosach nuair a bhíos dhá shlios de comhada; agus</span></p>
<lb n="1263"/>
<lb n="1264"/><p><span>Corruillinneach nuair nach mbíonn aon dá shlios de</span>
<lb n="1265"/><span>comhada.</span></p>
<lb n="1266"/>
<lb n="1267"/><p><span>Bíonn an triantán:—</span></p>
<lb n="1268"/>
<lb n="1269"/><p><span>Dronuillinneach nuair atá aon dronuille amháin air.</span></p>
<lb n="1270"/>
<lb n="1271"/><p><span>Maoluillinneach nuair a bhíos aon uille amháin maol air.</span></p>
<lb n="1272"/>
<lb n="1273"/><p><span>Géaruillinneach nuair a bhíos chuid uillinneacha go</span>
<lb n="1274"/><span>léir géar.</span></p>
<lb n="1275"/>
<lb n="1276"/><p><span>Taobhagán a tugtar ar an slios den triantán dron-</span>
<lb n="1277"/><span>uillinneach atá ar aghaidh na dronuillinne.</span></p>
<lb n="1278"/>
<lb n="1279"/><p><span>Dhá-leathóir uillinne, sin é an líne díreach a ghníos dhá</span>
<lb n="1280"/><span>leith cothroma d'uillinn.</span></p>
<lb n="1281"/>
<lb n="1282"/><p><span>An t-achar atá gabhtha istigh ag tórainneachaibh figiúire</span>
<lb n="1283"/><span>is air a tugtar achar figiúire.</span></p>
<lb n="1284"/>
<lb n="1285"/><p><span>Figiúirí atá comhionann ar gach uile shlighe is amhlaidh</span>
<lb n="1286"/><span>deirtar leo go bhfuil siad comhfheileamhnach.</span></p>
<lb n="1287"/>
<lb n="1288"/><p><span>Seo é an comhartha tá ar comhfheileamhnas =, agus isé</span>
<lb n="1289"/><span>Gauss a chuir i n-úsáid é i dtosach.</span>
<lb n="1290"/></p>
</div>
<pb n="35"/>
<div><lb n="1291"/><p><span>TAIRISGINT 4. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="1292"/>
<lb n="1293"/><p><span>Má bhíonn dhá shlios triantáin chomh fada le dhá</span>
<lb n="1294"/><span>shlios triantáin eile, .i. slios agus a chomhshlios chomh fada</span>
<lb n="1295"/><span>leis an slios eile agus a chomhshlios-san, agus an uille atá</span>
<lb n="1296"/><span>gabhtha ag an dá shlios tosaigh chomh mór leis an uillinn</span>
<lb n="1297"/><span>atá gabhtha ag an dá shlios eile, innsin beidh an dá</span>
<lb n="1298"/><span>thriantán chomh mór le chéile ar gach uile shlighe.</span></p>
<lb n="1299"/>
<lb n="1300"/><p><span>Cuir i gcás gur dhá thriantán iad ABC, DEF,</span>
<lb n="1301"/><span>go bhfuil an slios AB chomh fada leis an slios DE,</span>
<lb n="1302"/><span>go bhfuil an slios AC chomh fada leis an slios DF,</span>
<lb n="1303"/><span>agus an uille ghabhtha BAC chomh mór leis an uillinn ghabhtha</span>
<lb n="1304"/><span>EDF.</span></p>
<lb n="1305"/>
<lb n="1306"/><p><span>Ionnus go gcruthófaí an dá thriantán a bheith comhmhór ar</span>
<lb n="1307"/><span>gach uile bhealach.</span></p>
<lb n="1308"/>
<lb n="1309"/><p><span>Cruthú.  Cuir an triantán ABC (agus iompuigh druim ar</span>
<lb n="1310"/><span>ais é má tá gádh leis), leis an triantán DEF, agus tuiteadh</span>
<lb n="1311"/><span>an poinnte A ar an bpoinnte D, agus tuiteadh AB ar feadh</span>
<lb n="1312"/><span>DE.</span></p>
<lb n="1313"/>
<lb n="1314"/><p><span>Innsin ó thárla AB agus DE comhada, dá bhrígh sin caithfidh</span>
<lb n="1315"/><span>an poinnte B tuitim ar an bpoinnte</span></p>
<lb n="1316"/>
<lb n="1317"/><p><span>agus ó thárla an uille BAC chomh mór leis an uillinn EDF;</span>
<lb n="1318"/><span>dá bhrígh sin caithfidh AC tuitim ar feadh DF;</span></p>
<lb n="1319"/>
<lb n="1320"/><p><span>agus ó thárla AC agus DF comhada, dá bhrígh sin caithfidh an</span>
<lb n="1321"/><span>poinnte C tuitim ar an bpoinnte F.</span></p>
<lb n="1322"/>
<lb n="1323"/><p><span>Ó thárla go dtuiteann B ar E agus C ar F, uime sin caithfidh</span>
<lb n="1324"/><span>BC tuitim ar feadh EF.  Sonn.</span>
<lb n="1325"/></p>
</div>
<pb n="36"/>
<div><lb n="1326"/><p><span>fágann sin an triantán ABC ag comhthuitim ar an</span>
<lb n="1327"/><span>triantán DEF, agus dá bhrígh sin</span>
<lb n="1328"/><span>tá an thriantán ABC chomh mór leis an triantán DEF</span>
<lb n="1329"/><span>ar gach uile bhealach; i gcruthamhnas go bhfuil an slios</span>
<lb n="1330"/><span>BC chomh fada leis an slios EF,</span>
<lb n="1331"/><span>an uille ABC chomh mór leis an uillinn DEF,</span>
<lb n="1332"/><span>an uille ACB chomh mór leis an uillinn DFE, agus</span>
<lb n="1333"/><span>an t-achar atá faoi thriantán díobh chomh mór leis an achar</span>
<lb n="1334"/><span>atá faoi 'n triantán eile.</span>
<lb n="1335"/><span>Q.E.D.</span></p>
<lb n="1336"/>
<lb n="1337"/><p><span>Tá sé dhúil nó sé mhír ins gach triantán, mar atá trí</span>
<lb n="1338"/><span>sleasa agus trí huillinneacha.  Tá achar freisin faoi thriantán.</span></p>
<lb n="1339"/>
<lb n="1340"/><p><span>Ní mór a thabhairt go cruinn faoi deara gur tugadh</span>
<lb n="1341"/><span>trí dhúil, i dtriantán Tair. a 4, a bheith comhionann le</span>
<lb n="1342"/><span>trí dhúil comhfhreagarthacha sa triantán eile, agus na huill-</span>
<lb n="1343"/><span>inneacha a tugadh a bheith comhmhór ionnta caithfidh siad a</span>
<lb n="1344"/><span>bheith gabhtha ag na sleasaibh a tugadh a bheith comhada; gan</span>
<lb n="1345"/><span>sin ní féidir a dhéanamh amach go bhfuil na duilí iarmhair</span>
<lb n="1346"/><span>i dtriantán comhionann le na dúilibh comhfhreagarthacha</span>
<lb n="1347"/><span>sa triantán eile.</span></p>
<lb n="1348"/>
<lb n="1349"/><p><span>Ionnus go gcuirfí an triantán seo sa bhfig. .i. ABC,</span>
<lb n="1350"/><span>leis an triantán DEF, ní mór an triantán tosaigh a</span>
<lb n="1351"/><span>fhilleadh ar an slios AB, sin nó ní thuitfe an triantán</span>
<lb n="1352"/><span>ABC ar an taobh céadna de DE a bhfuil DEF.</span>
<lb n="1353"/></p>
</div>
<pb n="37"/>
<div><lb n="1354"/><p><span>CLEACHTA XV.</span></p>
<lb n="1355"/>
<lb n="1356"/><p><span>1.  Cuir fad as dhá shlios triantáin chomhchosaigh .i.</span>
<lb n="1357"/><span>as AB agus as AC, tré A, go dtí P agus R agus bíodh AP chomh fada</span>
<lb n="1358"/><span>le AR; cruthuigh uaidh sin go bhfuil BR chomh fada le CP.</span></p>
<lb n="1359"/>
<lb n="1360"/><p><span>2.  Gearrann dhá líne dhíreacha a chéile .i. AB, CD</span>
<lb n="1361"/><span>déanann siad dhá leith dhá chéile sa bpoinnte E.  Crutuigh</span>
<lb n="1362"/><span>go bhfuil an dá thriantán AEC, BED comhmhór ar gach uile</span>
<lb n="1363"/><span>bhealach.  Innis cé na huillinneacha atá comhmhór insan dá</span>
<lb n="1364"/><span>thriantán.</span></p>
<lb n="1365"/>
<lb n="1366"/><p><span>3.  Tá dhá shlios chomhgaracha le ceathairshleasán agus iad</span>
<lb n="1367"/><span>comhada. agus déanann an treasnán dhá leith den uillinn atá</span>
<lb n="1368"/><span>gabhtha aca.  Cruthuigh go bhfuil na sleasa eile comhada.</span></p>
<lb n="1369"/>
<lb n="1370"/><p><span>4.  Dhá shlios chomhada iad AB, AC i dtriantán chomh-</span>
<lb n="1371"/><span>chosach agus isé D lár AB agus E lár AC, cruthuigh go bhfuil</span>
<lb n="1372"/><span>an uille AEB chomh mór leis an uillinn ADC.</span></p>
<lb n="1373"/>
<lb n="1374"/><p><span>5.  Dhá shlios chomhada iad DE, DF insa triantán comh-</span>
<lb n="1375"/><span>chosach DEF, agus déanann an líne díreach DL dhá leith den</span>
<lb n="1376"/><span>uillinn EDF agus tigeann sé ar an líne EF insa bpoinnte L.</span>
<lb n="1377"/><span>Cruthuigh go bhfuil EL chomh fada le LF agus gur dhá dhronuillinn</span>
<lb n="1378"/><span>atá ag L.</span></p>
<lb n="1379"/>
<lb n="1380"/><p><span>6.  Triantán é ABC agus isé M lár an líne BC; tarraing</span>
<lb n="1381"/><span>AM ingearach le BC agus cruthuigh uaidh sin go bhfuil na sleasa</span>
<lb n="1382"/><span>AB, AC comhada.</span></p>
<lb n="1383"/>
<lb n="1384"/><p><span>7.  Sleasa comhada le triantán comhchosach iad LM,</span>
<lb n="1385"/><span>LN; cuir fad as LM go dtí R agus as LN go dtí go mbeidh</span>
<lb n="1386"/><span>sé féin agus MR comhada ag S.  Ceangail M do S agus N do</span>
<lb n="1387"/><span>R agus cruthuigh uaidh sin go bhfuil an dá uillinn R, S comhmhór</span>
<lb n="1388"/><span>agus an dá shlios MS, NR comhada.</span>
<lb n="1389"/></p>
</div>
<pb n="38"/>
<div><lb n="1390"/><p><span>TAIRISGINT 5. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="1391"/>
<lb n="1392"/><p><span>Má tá dhá shlios triantáin comhada beidh an dá</span>
<lb n="1393"/><span>uillinn atá ar aghaidh na sleas sin comhmhór.</span></p>
<lb n="1394"/>
<lb n="1395"/><p><span>Is triantán é ABC agus an dá shlios AB, AC dhe comhada.</span>
<lb n="1396"/><span>Atá sé le cruthú go bhfuil an dá uillinn C, B comhmhór.</span>
<lb n="1397"/><span>Cuir i gcás go bhfuil dhá leith déanta den uillinn BAC ag</span>
<lb n="1398"/><span>an líne AF: tagadh AF ar BC san bpoinnte F.</span></p>
<lb n="1399"/>
<lb n="1400"/><p><span>Cruthú.  Insa dá thriantán BAF, CAF</span>
<lb n="1401"/><span>AB agus AC comhada,</span>
<lb n="1402"/><span>tá AF ag baint leo araon,</span>
<lb n="1403"/><span>an dá uillinn BAF, CAF comhmhór;</span></p>
<lb n="1404"/>
<lb n="1405"/><p><span>dá bhrígh sin tá an dá thriantán comhmhór ar gach uile bhealach,</span>
<lb n="1406"/><span>dá bhrígh sin tá an uille B chomh mór leis an uillinn C.</span>
<lb n="1407"/><span>Q.E.D.</span></p>
<lb n="1408"/>
<lb n="1409"/><p><span>COMHTHORADH 1. — Is ionann méid do thrí uillinn</span>
<lb n="1410"/><span>triantáin chomhshleasaigh.</span></p>
<lb n="1411"/>
<lb n="1412"/><p><span>COMHTHORADH 2. — Tá dhá leith déanta de bhonn trian-</span>
<lb n="1413"/><span>táin chomhchosaigh ag dhá-leathóir na huillinne ingearaighe</span>
<lb n="1414"/><span>agus an dá-leathóir ingearach leis an mbonn.</span>
<lb n="1415"/><span>(ó thárla an dá thriantán BAF, CAF comhfheileamhnach,</span>
<lb n="1416"/><span>dá bhrígh sin tá BF, CF comhada, tá</span>
<lb n="1417"/><span>an uille BFA agus an uille CFA comhmhór, dá bhrigh sin</span>
<lb n="1418"/><span>tá AF ingearach le BC.)</span></p>
<lb n="1419"/>
<lb n="1420"/><p><span>SONNRÚ. — Fearsad na comhfhreagarthachta a</span>
<lb n="1421"/><span>tugtar ar an líne i bhfigiúir a bhfilltear an dá leith den</span>
<lb n="1422"/><span>fhigiúir isteach ar a chéile ann, ionnus go gcomhthuiteann</span>
<lb n="1423"/><span>an dá chuid den fhigiúir ar a chéile: is amhlaidh deirtar</span>
<lb n="1424"/><span>go bhfuil an figiúir comhfhreagarthach thart ar an líne.</span>
<lb n="1425"/></p>
</div>
<pb n="39"/>
<div><lb n="1426"/><p><span>An bhfuil fearsad comhfhreagarthachta i dtriantán comh-</span>
<lb n="1427"/><span>chosach?  Féach Tair. 5.</span></p>
<lb n="1428"/>
<lb n="1429"/><p><span>Cé mhéad fearsad comhfhreagarthachta i dtriantán</span>
<lb n="1430"/><span>comhchosach?</span></p>
<lb n="1431"/>
<lb n="1432"/><p><span>TAIRISGINT 6. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="1433"/>
<lb n="1434"/><p><span>Má tá dhá uillinn triantáin comhmhór, innsin beidh</span>
<lb n="1435"/><span>an dá shlios atá ar aghaidh na n-uillinneacha sin beidh</span>
<lb n="1436"/><span>siad comhada.</span></p>
<lb n="1437"/>
<lb n="1438"/><p><span>Is triantán é ABC agus an uille ACB chomh mór leis an</span>
<lb n="1439"/><span>uillinn ABC ann.</span></p>
<lb n="1440"/>
<lb n="1441"/><p><span>Tá sé le cruthú go bhfuil AB agus AC comhada.</span>
<lb n="1442"/><span>Má tá AB, AC gan a bheith comhada, cuir i gcás gurab é</span></p>
<lb n="1443"/>
<lb n="1444"/><p><span>AB is fuide.</span></p>
<lb n="1445"/>
<lb n="1446"/><p><span>Déan BD chomh fada le AC.</span></p>
<lb n="1447"/>
<lb n="1448"/><p><span>Ceangail C do D.</span></p>
<lb n="1449"/>
<lb n="1450"/><p><span>Cruthú.  Insan dá thriantán DBC, ACB,</span>
<lb n="1451"/><span>DB agus AC comhada,</span>
<lb n="1452"/><span>tá BC ag baint leis an dá thriantán,</span>
<lb n="1453"/><span>an uille DBC agus an uille ACB comhmhór;</span></p>
<lb n="1454"/>
<lb n="1455"/><p><span>Dá bhrígh sin tá an dá thriantán DBC, ACB comhfheileamhnach;</span>
<lb n="1456"/><span>.i. an t-iomlán agus cuid de comhmhór, rud nach féidir;</span>
<lb n="1457"/><span>dá bhrígh sin ní fhéadfadh AB agus AC gan a bheith comhada,</span>
<lb n="1458"/><span>tá AB chomh fada le AC.  Q.E.D.</span>
<lb n="1459"/></p>
</div>
<pb n="40"/>
<div><lb n="1460"/><p><span>Cruthú timcheallach atá ar an modh cruthuíthe atá</span>
<lb n="1461"/><span>n-úsáid i dTair. 6.  An bhféadfadh AB agus AC gan a bheith</span>
<lb n="1462"/><span>comhada? sin í an chéad cheist atá le meas; nuair a</span>
<lb n="1463"/><span>tugtar an freagra “ní fhéadfadh” tá fírinne an Taris-</span>
<lb n="1464"/><span>giona iontuigthe.  Isé an modh timcheallach an modh is</span>
<lb n="1465"/><span>coitcheanta i n-úsáid ag cruthú tairisgiona atá ina</span>
<lb n="1466"/><span>n-aisiompodh ar theoragáin eile a cruthuigheadh cheana —</span>
<lb n="1467"/><span>Reductio ad absurdum a tugtar freisin air.  Ba cheart</span>
<lb n="1468"/><span>an cuir-i-gcás agus an toradh ar Thair. a 5 agus ar Thair.</span>
<lb n="1469"/><span>a 6 a sgríobh síos agus a gcur i gcomórtas le n-a chéile;</span>
<lb n="1470"/><span>innsin b'éidir a thabhairt faoi deara gurab iad aisiompodh</span>
<lb n="1471"/><span>a chéile iad an dá Thairisgint sin.</span></p>
<lb n="1472"/>
<lb n="1473"/><p><span>CLEACHTA XVI.</span></p>
<lb n="1474"/>
<lb n="1475"/><p><span>1.  Cuir fad as sleasaibh comhada (AB, AC) an trian-</span>
<lb n="1476"/><span>táin comhchosaigh ABC tré B agus tré C, agus cruthuigh gur comh-</span>
<lb n="1477"/><span>mhór atá an dá uillinn sheachtaracha atá faoi an mbonn</span>
<lb n="1478"/><span>BC.  Innis céard é aisiompodh an teoragáin seo agus</span>
<lb n="1479"/><span>cruthuigh é.</span></p>
<lb n="1480"/>
<lb n="1481"/><p><span>2.  Triantán atá comhuillinneach cruthuigh go bhfuil sé</span>
<lb n="1482"/><span>comhshleasach freisin.</span></p>
<lb n="1483"/>
<lb n="1484"/><p><span>3.  Sleasa triantáin comhchosaigh iad AB, AC agus poinnte</span>
<lb n="1485"/><span>é F ar an taobh thall de AB ó C; cruthuigh gur mó an</span>
<lb n="1486"/><span>uille FBC ná an uille FCB.</span></p>
<lb n="1487"/>
<lb n="1488"/><p><span>4.  Fágh dhá phoinnte D, E i mbonn (BC) triantáin comh-</span>
<lb n="1489"/><span>chosaigh agus bíodh BD, EC comhada; cruthuigh go bhfuil an</span>
<lb n="1490"/><span>uille ADE chomh mór leis an uillinn AED.</span></p>
<lb n="1491"/>
<lb n="1492"/><p><span>5.  Is iad P, R lár-phoinntí na gcomhshleas AB, AC</span>
<lb n="1493"/><span>insan triantán comhchosach; ceangail B do R agus C do P</span>
<lb n="1494"/><span>agus gearradh an dá líne sin a chéile insan bpoinnte O:</span>
<lb n="1495"/><span>cruthuigh go bhfuil BO agus CO comhada agus go bhfuil PO agus RO</span>
<lb n="1496"/><span>comhada.</span>
<lb n="1497"/></p>
</div>
<pb n="41"/>
<div><lb n="1498"/><p><span>TAIRISGINT 7. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="1499"/>
<lb n="1500"/><p><span>Má bhíonn trí sleasa triantáin chomh fada an</span>
<lb n="1501"/><span>ceann le trí sleasaibh triantáin eile, beidh an dá</span>
<lb n="1502"/><span>thriantán comhmhór ar gach uile shlighe.</span></p>
<lb n="1503"/>
<lb n="1504"/><p><span>Is iad ABC, DEF an dá thriantán a bhfuil na línte seo</span>
<lb n="1505"/><span>síos comhada ionnta:  BC agus EF comhada</span>
<lb n="1506"/><span>AB agus DE</span>
<lb n="1507"/><span>AC agus DF</span></p>
<lb n="1508"/>
<lb n="1509"/><p><span>Ionnus go gcruthófaí go bhfuil na triantáin comhmhór</span>
<lb n="1510"/><span>ar gach uile bhealach.</span></p>
<lb n="1511"/>
<lb n="1512"/><p><span>Cruthú.  Cuir an triantán ABC leis an triantán DEF</span>
<lb n="1513"/><span>ionnus go dtuitfeadh B ar E agus BC ar feadh EF agus A a bheith</span>
<lb n="1514"/><span>ar an taobh thall de EF ó D: ó thárla BC agus EF comhada</span>
<lb n="1515"/><span>tuitfidh C ar F.</span></p>
<lb n="1516"/>
<lb n="1517"/><p><span>Cuir i gcás gurb é G an poinnte a dtuiteann A air.</span></p>
<lb n="1518"/>
<lb n="1519"/><p><span>Ceangail D do G.</span></p>
<lb n="1520"/>
<lb n="1521"/><p><span>CÁS I.  Nuair ghearras DG an líne EF.</span></p>
<lb n="1522"/>
<lb n="1523"/><p><span>Tá ED agus EG comhada insan triantán EDG,</span>
<lb n="1524"/><span>(dá bhrí sin) tá an uille EGD chomh mór leis an uillinn</span>
<lb n="1525"/><span>EDG.  Tair. 5.</span></p>
<lb n="1526"/>
<lb n="1527"/><p><span>tá FD chomh fada le FG insan triantán FDG,</span>
<lb n="1528"/><span>(dá bhrí sin) tá an uille FGD chomh mór leis an</span>
<lb n="1529"/><span>uillinn FDG.</span></p>
<lb n="1530"/>
<lb n="1531"/><p><span>(dá bhrí sin) tá an uille iomlán EGF chomh mór leis an</span>
<lb n="1532"/><span>uillinn iomlán EDF.</span></p>
<lb n="1533"/>
<lb n="1534"/><p><span>Isé sin tá an uille BAC chomh mór leis an uillinn EDF.</span>
<lb n="1535"/><span>Innsin insan dá thriantán BAC, EDF,</span></p>
</div>
<pb n="42"/>
<div><lb n="1536"/><p><span>AB agus DE comhada</span>
<lb n="1537"/><span>tá AC agus DF</span>
<lb n="1538"/><span>an uille BAC chomh mór leis an uillinn EDF</span>
<lb n="1539"/><span>(dá bhrí sin) tá na triantáin comhmhór ar gach uile chaoi.</span></p>
<lb n="1540"/>
<lb n="1541"/><p><span>CÁS II.  Nuair atá DG gan EF a ghearradh.</span></p>
<lb n="1542"/>
<lb n="1543"/><p><span>Tá an uille EGD chomh mór leis an uillinn EDG, mar a</span>
<lb n="1544"/><span>bhí i gCás a I.</span></p>
<lb n="1545"/>
<lb n="1546"/><p><span>agus an uille FGD chomh mór leis an uillinn FDG.</span></p>
<lb n="1547"/>
<lb n="1548"/><p><span>(dá bhrí sin) tá an uille iarmhair EGF chomh mór leis an</span>
<lb n="1549"/><span>uillinn iarmhair eile EDF,</span></p>
<lb n="1550"/>
<lb n="1551"/><p><span>(dá bhrí sin) tá an dá thriantán BAC, EDF comhmhór ar</span>
<lb n="1552"/><span>gach uile chaoi, mar atá i gCás a I.</span></p>
<lb n="1553"/>
<lb n="1554"/><p><span>CÁS III.  Nuair atá DG ag dul tré fhoircheann EF.</span>
<lb n="1555"/></p>
</div>
<pb n="43"/>
<div><lb n="1556"/><p><span>Tá ED chomh fada le EG insan triantán EDG,</span></p>
<lb n="1557"/>
<lb n="1558"/><p><span>(dá bhrí sin) tá an uille EGD chomh mór leis an uillinn</span>
<lb n="1559"/><span>EDG,</span></p>
<lb n="1560"/>
<lb n="1561"/><p><span>isé sin, tá an dá uillinn BAC, EDF comhmhór,</span>
<lb n="1562"/><span>(dá bhrí sin) tá an dá thriantán BAC, EDF comhmhór</span>
<lb n="1563"/><span>ar gach uile bhealach, mar a bhí i gCás a I.  Q.E.D.</span></p>
<lb n="1564"/>
<lb n="1565"/><p><span>CLEACHTA XVII.</span></p>
<lb n="1566"/>
<lb n="1567"/><p><span>1.  An líne díreach atá ó rinn triantáin comhchosaigh</span>
<lb n="1568"/><span>go dtí lár an bhuinn tá sé ingearach leis an mbonn agus</span>
<lb n="1569"/><span>déanann dhá leith den uillinn rinneach.</span></p>
<lb n="1570"/>
<lb n="1571"/><p><span>2.  Ceathairshleasán a bhfuil na sleasa atá ar aghaidh</span>
<lb n="1572"/><span>a chéile comhada ann tá na huillinneacha atá ar aghaidh a</span></p>
<lb n="1573"/>
<lb n="1574"/><p><span>chéile ann comhmhór.</span></p>
<lb n="1575"/>
<lb n="1576"/><p><span>3.  Dhá phoinnte iad A agus B ar ghéagaibh na huillinne</span>
<lb n="1577"/><span>AOB, agus OA agus OB comhada; poinnte eile é C atá comhada</span>
<lb n="1578"/><span>ó A agus ó B (.i. AC agus BC comhada): cruthuigh go bhfuil dhá</span>
<lb n="1579"/><span>leith déanta den uillinn AOB ag OC.</span></p>
<lb n="1580"/>
<lb n="1581"/><p><span>4.  Ceathairshleasán comhshleasach é ABCD; cruthuigh</span>
<lb n="1582"/><span>go bhfuil dhá leith déanta de na huillinneachaibh agus dá chéile</span>
<lb n="1583"/><span>ag na treasnáin.</span></p>
<lb n="1584"/>
<lb n="1585"/><p><span>5.  Dhá thriantán chomhchosacha atá ar an mbonn céadna</span>
<lb n="1586"/><span>agus ar an taobh céadna dhe; an líne díreach atá ag ceangal</span>
<lb n="1587"/><span>a dhá rinn dá chéile, nuair a leigtar leis go dtí an bonn</span>
<lb n="1588"/><span>cruthuigh go ndéanann sé dhá leith go dronuillinneach den</span>
<lb n="1589"/><span>bhonn.</span></p>
<lb n="1590"/>
<lb n="1591"/><p><span>6.  Ceathairshleasán é ABCD agus an dá shlios AD, BC</span>
<lb n="1592"/><span>comhada ann, agus an dá threasnán AC, BD comhada; cruth-</span>
<lb n="1593"/><span>uigh go bhfuil an uille A chomh mór leis an uillinn B, agus</span>
<lb n="1594"/><span>an uille C chomh mór leis an uillinn D.</span>
<lb n="1595"/></p>
</div>
<pb n="44"/>
<div><lb n="1596"/><p><span>TAIRISGINT 8. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="1597"/>
<lb n="1598"/><p><span>Má leigtar le slios triantáin, an uille sheachtarach</span>
<lb n="1599"/><span>a déantar ar an gcuma sin is mó í ná ceachtar de na</span>
<lb n="1600"/><span>huillinneachaibh inmheadhonacha ar a haghaidh.</span></p>
<lb n="1601"/>
<lb n="1602"/><p><span>Isé ABC an triantán agus isé BC an slios de a bhfuil fad</span>
<lb n="1603"/><span>as go dtí D.</span></p>
<lb n="1604"/>
<lb n="1605"/><p><span>Ní mór a chruthú gur mó an uille sheachtarach ACD,</span>
<lb n="1606"/><span>ná ceachtar den dá uillinn inmheadhonacha ar a haghaidh</span>
<lb n="1607"/><span>.i. ABC, BAC.</span></p>
<lb n="1608"/>
<lb n="1609"/><p><span>Isé E lár an líne AC.</span></p>
<lb n="1610"/>
<lb n="1611"/><p><span>Ceangail B do E; agus leig le DE go dtí F agus déan</span>
<lb n="1612"/><span>EF chomh fada le BE.</span></p>
<lb n="1613"/>
<lb n="1614"/><p><span>Ceangail C do F.</span></p>
<lb n="1615"/>
<lb n="1616"/><p><span>Cruthú.  Insan dá thriantán AEB, CEF,</span></p>
<lb n="1617"/>
<lb n="1618"/><p><span>EA agus EC comhada</span>
<lb n="1619"/><span>tá BE agus EF</span>
<lb n="1620"/><span>an uille AEB agus an uille rinneach ar a haghaidh</span>
<lb n="1621"/><span>.i. CEF comhmhór.  Tair. 3.</span></p>
<lb n="1622"/>
<lb n="1623"/><p><span>(dá bhrígh sin) tá an dá thriantán comhmhór ar gach</span>
<lb n="1624"/><span>uile bhealach;  Tair. 4.</span></p>
<lb n="1625"/>
<lb n="1626"/><p><span>tá an uille BAE agus an uille ECF comhmhór.</span>
<lb n="1627"/></p>
</div>
<pb n="45"/>
<div><lb n="1628"/><p><span>Ach is mó an uille ACD ná an uille ECF;</span>
<lb n="1629"/><span>is mó an uille ACD ná an uille BAC.</span></p>
<lb n="1630"/>
<lb n="1631"/><p><span>Agus má déantar dhá leith de BC agus leigean le AC go dtí G,</span>
<lb n="1632"/><span>tá sé ionchruthuighthe gur mó an uille BCG ná an uille ABC.</span>
<lb n="1633"/><span>Ach tá an uille BCG chomh mór leis an uillinn rinneach ar a</span>
<lb n="1634"/><span>haghaidh .i. le ACD;</span>
<lb n="1635"/><span>is mó an uille ACD ná an uille ABC.</span></p>
<lb n="1636"/>
<lb n="1637"/><p><span>Uime sin is mó an uille sheachtarach ACD ná ceachtar</span>
<lb n="1638"/><span>de na huillinneacha BAC, ABC.  Q.E.D.</span></p>
<lb n="1639"/>
<lb n="1640"/><p><span>CLEACHTA XVIII.</span></p>
<lb n="1641"/>
<lb n="1642"/><p><span>1.  Cruthuigh gur lugha ná dhá dhronuillinn dhá uillinn</span>
<lb n="1643"/><span>ar bith de thriantán agus iad a bheith i dteannta a chéile.</span></p>
<lb n="1644"/>
<lb n="1645"/><p><span>i.  Má leigtar le slios an triantáin tré rinn na</span>
<lb n="1646"/><span>huillinne;</span></p>
<lb n="1647"/>
<lb n="1648"/><p><span>ii. Má ceangluigheatar poinnte ar bith ar an slios</span>
<lb n="1649"/><span>atá comhgarach don dá uillinn don rinn ar a aghaidh sin.</span></p>
<lb n="1650"/>
<lb n="1651"/><p><span>2.  Caithfidh dhá ghéaruillinn ar a laghad a bheith ar gach</span>
<lb n="1652"/><span>uile thriantán.</span></p>
<lb n="1653"/>
<lb n="1654"/><p><span>3.  Dhá uillinn triantáin atá gan a bheith comhmhór isí</span>
<lb n="1655"/><span>an uille is lugha an ghéaruille.</span></p>
<lb n="1656"/>
<lb n="1657"/><p><span>4.  Ní féidir thar aon ingear amháin a tharraint go dtí</span>
<lb n="1658"/><span>líne díreach ó phoinnte atá amach uaidh.</span></p>
<lb n="1659"/>
<lb n="1660"/><p><span>5.  Is lugha ná cheithre dhronuillinn trí uillinn ar bith</span>
<lb n="1661"/><span>atá ar cheathairshleasán agus a mbeith i dteannta a chéile.</span>
<lb n="1662"/></p>
</div>
<pb n="46"/>
<div><lb n="1663"/><p><span>TAIRISGINT 9. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="1664"/>
<lb n="1665"/><p><span>Más fuide slios de thriantán na slios eile dhe an</span>
<lb n="1666"/><span>uille atá ar aghaidh an tsleasa is fuide is mó í ná</span>
<lb n="1667"/><span>an uille atá ar aghaidh an tsleasa is giorra.</span></p>
<lb n="1668"/>
<lb n="1669"/><p><span>Is fuide AB, sa triantán ABC, ná AC.</span>
<lb n="1670"/><span>Ní mór a chruthú gur mó an uille ACB ná an uille ABC.</span>
<lb n="1671"/><span>AB an slios is fuide, agus bain an píosa AD dhe a bheas chomh</span>
<lb n="1672"/><span>fada le AC.</span></p>
<lb n="1673"/>
<lb n="1674"/><p><span>Ceangail C do D.</span></p>
<lb n="1675"/>
<lb n="1676"/><p><span>Fágann sin na sleasa AD, AC comhada insa triantán</span>
<lb n="1677"/><span>ACD.</span></p>
<lb n="1678"/>
<lb n="1679"/><p><span>tá an uille ACD chomh mór leis an uillinn ADC.</span></p>
<lb n="1680"/>
<lb n="1681"/><p><span>Tair. 5.</span></p>
<lb n="1682"/>
<lb n="1683"/><p><span>Triantán é BDC agus fad as slios de .i. as BD.</span></p>
<lb n="1684"/>
<lb n="1685"/><p><span>is mó an uille sheachtarach ADC ná an uille inmheadhonach</span>
<lb n="1686"/><span>ar a haghaidh .i. ná DBC,</span>
<lb n="1687"/><span>agus is mó an uille ACD ná an uille DBC;</span>
<lb n="1688"/><span>agus is mó ná sin is mó an uille ACB ná an uille ABC.</span></p>
<lb n="1689"/>
<lb n="1690"/><p><span>Q.E.D.</span></p>
<lb n="1691"/>
<lb n="1692"/><p><span>CLEACHTA XIX.</span></p>
<lb n="1693"/>
<lb n="1694"/><p><span>1.  Isí an uille is mó ar thriantán corruillinneach</span>
<lb n="1695"/><span>an uille atá ar aghaidh an tsleasa is fuide.</span></p>
<lb n="1696"/>
<lb n="1697"/><p><span>2.  Ceathairshleasán a bhfuil an slios is fuide dhe ar</span>
<lb n="1698"/><span>aghaidh an tsleasa is giorra dhe cruthuigh gur mó an dá</span>
<lb n="1699"/><span>uillinn atá comhgarach don tslios is giorra ná an dá</span>
<lb n="1700"/><span>uillinn atá ar a n-aghaidh.</span>
<lb n="1701"/></p>
</div>
<pb n="47"/>
<div><lb n="1702"/><p><span>TAIRISGINT 10. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="1703"/>
<lb n="1704"/><p><span>Más mó uille atá ar thriantán ná uille eile atá</span>
<lb n="1705"/><span>air fágfaidh sin an slios atá ar aghaidh na huillinne</span>
<lb n="1706"/><span>is mó níos fuide ná an slios atá ar agaidh na</span>
<lb n="1707"/><span>huillinne is lugha.</span></p>
<lb n="1708"/>
<lb n="1709"/><p><span>Is mó an uille ABC den triantán ABC ná an uille ACB de.</span>
<lb n="1710"/><span>Tá sé le cruthú gur fuide an slios AC ná an slios AB.</span></p>
<lb n="1711"/>
<lb n="1712"/><p><span>Cruthú.  Tá AC (1) chomh fada le AB, nó (2) níos giorra</span>
<lb n="1713"/><span>ná AB, nó (3) níos fuide ná AB.</span></p>
<lb n="1714"/>
<lb n="1715"/><p><span>1.  An amhlaidh go bhfuil AC agus AB comhada?  Ní hain-</span>
<lb n="1716"/><span>laidh: mar bheadh an uille B chomh mór leis an uillinn C</span>
<lb n="1717"/><span>innsin, caoi nach bhfuil sí, do réir mar cuireadh i gcás.</span></p>
<lb n="1718"/>
<lb n="1719"/><p><span>2.  An amhlaidh gur giorra AC ná AB?  Ní hamhlaidh:</span>
<lb n="1720"/><span>mar bheadh an uille B níos lugha ná an uille C innsin, caoi</span>
<lb n="1721"/><span>nach bhfuil sí, do réir mar cuireadh i gcás.</span>
<lb n="1722"/><span>Uime sin níl AC agus AB comhada ná níl AC níos giorra</span>
<lb n="1723"/><span>ná AB,</span></p>
<lb n="1724"/>
<lb n="1725"/><p><span>tá AC níos fuide ná AB.  Q.E.D.</span></p>
<lb n="1726"/>
<lb n="1727"/><p><span>CLEACHTA XX.</span></p>
<lb n="1728"/>
<lb n="1729"/><p><span>1.  Isé an taobhagán an slios is fuide de thriantán</span>
<lb n="1730"/><span>dronuillinneach.</span></p>
<lb n="1731"/>
<lb n="1732"/><p><span>2.  An t-ingear an líne díreach is giorra is féidir a</span>
<lb n="1733"/><span>tharraint go dtí líne díreach áirithe ó phoinnte atá amach</span>
<lb n="1734"/><span>uaidh.</span></p>
<lb n="1735"/>
<lb n="1736"/><p><span>3.  Is giorra an líne díreach atá ó rinn triantán</span>
<lb n="1737"/><span>comhchosaigh go dtí poinnte ar bith sa mbonn ná ceachtar</span>
<lb n="1738"/><span>den dá shlios chomhchosaigh.</span>
<lb n="1739"/></p>
</div>
<pb n="48"/>
<div><lb n="1740"/><p><span>4.  An líne díreach atá ó rinn triantáin comhchosaigh go</span>
<lb n="1741"/><span>dtí poinnte ar bith sa bhfad a curtar as an mbonn is</span>
<lb n="1742"/><span>fuide é ná ceachtar den dá chomhchois.</span></p>
<lb n="1743"/>
<lb n="1744"/><p><span>5.  Más fuide an slios AC den triantán ABC ná an</span>
<lb n="1745"/><span>slios AB dhe, dá bhrígh sin is fuide an slios AC ná líne</span>
<lb n="1746"/><span>díreach ar bith eile is féidir a tharraint ó A go dtí poinnte</span>
<lb n="1747"/><span>ar bith ar BC.</span></p>
<lb n="1748"/>
<lb n="1749"/><p><span>TAIRISGINT 11. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="1750"/>
<lb n="1751"/><p><span>Is fuide dhá shlios ar bith de thriantán as a chéile</span>
<lb n="1752"/><span>ná an tríomhadh slios.</span></p>
<lb n="1753"/>
<lb n="1754"/><p><span>Triantán é ABC.</span></p>
<lb n="1755"/>
<lb n="1756"/><p><span>Ní mór a chruthú gur fuide dhá shlios de, as a chéile, ná</span>
<lb n="1757"/><span>an tríomhadh slios.</span></p>
<lb n="1758"/>
<lb n="1759"/><p><span>Leig le BA go dtí D nó go mbeidh AD chomh fada le AC.</span></p>
<lb n="1760"/>
<lb n="1761"/><p><span>Ceangail D do C.</span></p>
<lb n="1762"/>
<lb n="1763"/><p><span>Tá AD agus AC comhada sa triantán ACD,</span>
<lb n="1764"/><span>á an uille ACD chomh mór leis an uillinn ADC.</span>
<lb n="1765"/><span>Ach is mó an uille, BCD ná an uille ACD,</span>
<lb n="1766"/><span>is mó an uille BCD ná an uille ADC.</span></p>
<lb n="1767"/>
<lb n="1768"/><p><span>Is mó an uille BCD den triantán BCD ná an uille</span>
<lb n="1769"/><span>BDC de,</span>
<lb n="1770"/><span>is fuide an slios BD ná an slios BC.</span></p>
<lb n="1771"/>
<lb n="1772"/><p><span>Ach tá BD chomh fada le BA, AD as a chéile, nó chomh fada le</span>
<lb n="1773"/><span>BA, AC as a chéile;</span></p>
<lb n="1774"/>
<lb n="1775"/><p><span>is fuide BA, AC as a chéile ná BC.</span></p>
<lb n="1776"/>
<lb n="1777"/><p><span>Tá sé ionchruthuighthe ar an gcuma chéadna</span>
<lb n="1778"/><span>gur fuide AB, BC as a chéile ná AC, agus</span>
<lb n="1779"/><span>gur fuide BC.  CA as a chéile ná AB.  Q.E.D.</span>
<lb n="1780"/></p>
</div>
<pb n="49"/>
<div><lb n="1781"/><p><span>TAIRISGINT 12. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="1782"/>
<lb n="1783"/><p><span>Má tarraingightar dhá líne dhíreacha ó dhá cheann</span>
<lb n="1784"/><span>sleasa triantáin go dtí poinnte ar bith istigh sa</span>
<lb n="1785"/><span>triantán, an dá shlios sin as a chéile is giorra iad</span>
<lb n="1786"/><span>ná an dá shlios eile den triantán ac is mó an uille</span>
<lb n="1787"/><span>atá gabhtha acu ná an uille atá gabhtha ag an dá shlios</span>
<lb n="1788"/><span>eile.</span></p>
<lb n="1789"/>
<lb n="1790"/><p><span>Is ó ABC an triantán agus BD, CD an dá líne dhíreacha</span>
<lb n="1791"/><span>atá tarraingthe go dtí an poinnte D istigh sa triantán.</span></p>
<lb n="1792"/>
<lb n="1793"/><p><span>A chruthú anois</span></p>
<lb n="1794"/>
<lb n="1795"/><p><span>(1) gur giorra BD, DC as a chéile ná BA, AC,</span></p>
<lb n="1796"/>
<lb n="1797"/><p><span>(2) gur mó an uille BDC ná an uille BAC.</span></p>
<lb n="1798"/>
<lb n="1799"/><p><span>Leig le BD go sroiche sé AC sa bpoinnte E.</span></p>
<lb n="1800"/>
<lb n="1801"/><p><span>Cruthú (1) Is fuide BA, AE as a chéile ná BE, san</span>
<lb n="1802"/><span>triantán BAE: cuir EC as gach fad díobh;</span></p>
<lb n="1803"/>
<lb n="1804"/><p><span>BA, AC as a chéile is fuide iad ná BE, EC as a chéile.</span></p>
<lb n="1805"/>
<lb n="1806"/><p><span>Agus DE, EC as a chéile, insa triantán DEC, is fuide</span>
<lb n="1807"/><span>iad ná DC; cuir BD as gach fad díobh;</span></p>
<lb n="1808"/>
<lb n="1809"/><p><span>BE, EC as a chéile is fuide iad ná BD, DC as a chéile.</span>
<lb n="1810"/><span>Ach BA, AC as a chéile cruthuigheadh go mb' fhuide iad ná</span>
<lb n="1811"/><span>BE, EC; is mó ná sin, mar sin, is fuide BA, AC</span>
<lb n="1812"/><span>as a chéile ná BD, DC.</span></p>
<lb n="1813"/>
<lb n="1814"/><p><span>(2) An uille sheachtarach BDC den triantán DEC, is</span>
<lb n="1815"/><span>mó í ná an uille inmheadhonach ar a haghaidh .i. ná DEC;</span>
<lb n="1816"/><span>agus is mó an uille sheachtarach DEC den triantán ABE ná</span>
<lb n="1817"/><span>an uille inmheadhonach ar a haghaidh .i. ná BAC; is mó ná sin,</span>
<lb n="1818"/><span>mar sin, is mó an uille BDC ná an uille BAC.  Q.E.D.</span>
<lb n="1819"/></p>
</div>
<pb n="50"/>
<div><lb n="1820"/><p><span>CLEACHTA XXI.</span></p>
<lb n="1821"/>
<lb n="1822"/><p><span>1.  A bhfuil d'fhad ag slios triantáin ar shlios eile dhe is</span>
<lb n="1823"/><span>giorra ó ná an tríomhadh slios.</span></p>
<lb n="1824"/>
<lb n="1825"/><p><span>2.  Cruthuigh gur fuide iad trí sleasa ceathairshleasáin</span>
<lb n="1826"/><span>as a chéile ná an ceathrú slios.</span></p>
<lb n="1827"/>
<lb n="1828"/><p><span>3.  Na línte atá ó phoinnte ar bith istigh i gceathair</span>
<lb n="1829"/><span>shleasán go dtí na cheithre reanna cruthuigh gur fuide iad</span>
<lb n="1830"/><span>as a chéile, go gnáthach, ná fad na dtreasnán as a chéile.</span>
<lb n="1831"/><span>Innis cé'n uair nach fuide iad.</span></p>
<lb n="1832"/>
<lb n="1833"/><p><span>4.  Na línte atá ó poinnte ar bith istigh i dtriantán</span>
<lb n="1834"/><span>go dtí na trí reanna is fuide iad agus iad as a chéile ná</span>
<lb n="1835"/><span>leath fad na sleas as a chéile.</span></p>
<lb n="1836"/>
<lb n="1837"/><p><span>5.  Poinnte é E ar shlios BC an triantáin ABC, agus dhá</span>
<lb n="1838"/><span>leith déanta den uillinn BAC ag an líne atá ag tuitim</span>
<lb n="1839"/><span>ó A go dtí E; cruthuigh gur fuide AB ná BE, agus gur fuide</span>
<lb n="1840"/><span>AC ná CE.</span></p>
<lb n="1841"/>
<lb n="1842"/><p><span>6.  Is fuide timcheall ceathairshleasáin ná a threasnáin</span>
<lb n="1843"/><span>as a chéile.</span></p>
<lb n="1844"/>
<lb n="1845"/><p><span>7.  Tarraing línte ó phoinnte atá istigh i dtriantán</span>
<lb n="1846"/><span>comhshleasach go dtí na reanna agus cruthuigh gur giorra an</span>
<lb n="1847"/><span>fhad atá ag líne acu ar líne eile ná an tríomhadh líne (nó</span>
<lb n="1848"/><span>an rud céadna, cruthuigh gur fuide líne acu ná a bhfuil</span>
<lb n="1849"/><span>d'fhad ag ceann den phéire eile ar an gceann eile.)</span></p>
<lb n="1850"/>
<lb n="1851"/><p><span>TAIRISGINT 13. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="1852"/>
<lb n="1853"/><p><span>Má tá dhá shlios triantáin chomh fada le n-a dhá</span>
<lb n="1854"/><span>gcomhshlios i dtriantán eile, ach an uille atá gabhtha</span>
<lb n="1855"/><span>ag an dá shlios tosaigh a bheith níos mó ná an uille atá</span>
<lb n="1856"/><span>gabhtha ag an dá shlios eile; innsin is fuide an bonn</span>
<lb n="1857"/><span>atá faoi an triantán a bhfuil an uille mhór air ná</span>
<lb n="1858"/><span>bonn an triantáin eile.</span>
<lb n="1859"/></p>
</div>
<pb n="51"/>
<div><lb n="1860"/><p><span>Tá AB chomh fada le DE agus AC chomh fada le DF insan</span>
<lb n="1861"/><span>dá thriantán ABC, DEF, ach is mó an uille BAC ná an</span>
<lb n="1862"/><span>uille EDF.</span></p>
<lb n="1863"/>
<lb n="1864"/><p><span>Tá sé le cruthú gur fuide an bonn BC ná an bonn EF.</span></p>
<lb n="1865"/>
<lb n="1866"/><p><span>Cruthú.  Cuir an triantán ABC leis an triantán</span>
<lb n="1867"/><span>DEF, ionnus go dtuite an poinnte A ar an bpoinnte D</span>
<lb n="1868"/><span>agus an líne díreach AB ar feadh DE; comhthuitfidh B innsin</span>
<lb n="1869"/><span>ar E, mar tá AB agus DE comhada.</span></p>
<lb n="1870"/>
<lb n="1871"/><p><span>Ó thárla an uille BAC níos mó ná an uille EDF,</span>
<lb n="1872"/><span>tuiteann AC taobh amuigh den uillinn EDF.</span></p>
<lb n="1873"/>
<lb n="1874"/><p><span>Cuir i gcás go dtuiteann AC, BC ar na hionada DG, EG.</span></p>
<lb n="1875"/>
<lb n="1876"/><p><span>Má théidheann EG thré F innsin is fuide EG ná EF;</span>
<lb n="1877"/><span>'sé sin is fuide BC ná EF.</span></p>
<lb n="1878"/>
<lb n="1879"/><p><span>Ach mara dtéidheann EG thré F, tigeadh dhá-leathóir na</span>
<lb n="1880"/><span>huillinne FDG ar EG sa bpoinnte H.</span></p>
<lb n="1881"/>
<lb n="1882"/><p><span>Ceangail F do H.</span></p>
<lb n="1883"/>
<lb n="1884"/><p><span>Insan dá thriantán FDH, GDH</span></p>
<lb n="1885"/>
<lb n="1886"/><p><span>DF agus DG comhada, ó is suidheamh eile ar AC é DG</span>
<lb n="1887"/><span>tá DH ag baint leo araon</span>
<lb n="1888"/><span>an uille FDH chomh mór leis an uillinn GDH</span></p>
<lb n="1889"/>
<lb n="1890"/><p><span>tá FH agus GH comhada.  Tair. 4.</span></p>
<lb n="1891"/>
<lb n="1892"/><p><span>Is fuide na sleasa EH, HF, insan triantán EHF, as a</span>
<lb n="1893"/><span>chéile, ná EF;</span></p>
<lb n="1894"/>
<lb n="1895"/><p><span>EH, HG as a chéile is fuide iad ná EF;</span>
<lb n="1896"/><span>isé sin is fuide EG ná EF;</span>
<lb n="1897"/><span>ach is suidheamh eile ar BC é EG,</span>
<lb n="1898"/><span>is fuide BC ná EF.  Q.E.D.</span>
<lb n="1899"/></p>
</div>
<pb n="52"/>
<div><lb n="1900"/><p><span>TAIRISGINT 14. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="1901"/>
<lb n="1902"/><p><span>Má tá dhá shlios triantáin chomh fada le n-a dhá</span>
<lb n="1903"/><span>gcomhshlios i dtriantán eile, ach bonn an triantáin</span>
<lb n="1904"/><span>tosaigh a bheith níos fuide ná bonn an chinn eile; innsin</span>
<lb n="1905"/><span>is mó an uille atá gabhtha ag an dá shlios a bhfuil an</span>
<lb n="1906"/><span>bonn is fuide fútha ná an uille atá gabhtha ag an dá</span>
<lb n="1907"/><span>shlios eile.</span></p>
<lb n="1908"/>
<lb n="1909"/><p><span>Tá AB agus DE comhada, agus AC agus DF comhada insan dá</span>
<lb n="1910"/><span>thriantán ABC, DEF, ach is fuide an bonn BC ná an bonn</span>
<lb n="1911"/><span>EF.</span></p>
<lb n="1912"/>
<lb n="1913"/><p><span>Tá sé le cruthú gur mó an uille BAC ná an uille</span>
<lb n="1914"/><span>EDF.</span></p>
<lb n="1915"/>
<lb n="1916"/><p><span>Cruthú.  Tá an uille BAC</span></p>
<lb n="1917"/>
<lb n="1918"/><p><span>(1) chomh mór leis an uillinn EDF, nó</span></p>
<lb n="1919"/>
<lb n="1920"/><p><span>(2) níos lugha ná an uille EDF, nó</span></p>
<lb n="1921"/>
<lb n="1922"/><p><span>(3) níos mó ná an uille EDF.</span></p>
<lb n="1923"/>
<lb n="1924"/><p><span>(1) An bhfuil an uille, BAC agus an uille EDF comhmhór?</span>
<lb n="1925"/><span>Níl: mar dá mbeadh bheadh BC agus EF comhada, Tair. 4.</span>
<lb n="1926"/><span>caoi nach bhfuil siad, do téir mar cuireadh i gcás.</span></p>
<lb n="1927"/>
<lb n="1928"/><p><span>(2) An lugha an uille BAC ná an uille EDF?</span>
<lb n="1929"/><span>Ní lugha: mar dá mbu lugha ba giorra BC ná EF,</span>
<lb n="1930"/><span>Tair. 13.</span></p>
<lb n="1931"/>
<lb n="1932"/><p><span>ach ní giorra, do réir mar cuireadh i gcás.</span></p>
<lb n="1933"/>
<lb n="1934"/><p><span>Uime sin níl an uille BAC agus an uille EDF comhmhór</span>
<lb n="1935"/><span>ná níl an uille BAC níos lugha ná an uille EDF;</span></p>
<lb n="1936"/>
<lb n="1937"/><p><span>is mó an uille BAC ná an uille EDF.</span></p>
<lb n="1938"/>
<lb n="1939"/><p><span>Q.E.D.</span>
<lb n="1940"/></p>
</div>
<pb n="53"/>
<div><lb n="1941"/><p><span>TAIRISGINT 15. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="1942"/>
<lb n="1943"/><p><span>Má tá dhá uillinn atá an thriantán agus a dhá gcomh-</span>
<lb n="1944"/><span>uillinn ar thriantán eile comhmhór, agus slios triantáin</span>
<lb n="1945"/><span>díobh agus a chomhshlios sa triantán eile comhada, más</span>
<lb n="1946"/><span>comhgarach do na huillinneacha comhmhóra, nó ar a</span>
<lb n="1947"/><span>n-aghaidh, atá na sleasa insan dá thriantán, beidh na</span>
<lb n="1948"/><span>triantáin comhmhór innsin ar gach uile bhealach.</span></p>
<lb n="1949"/>
<lb n="1950"/><p><span>CÁS.  I.  Isiad ABC agus DEF an dá thriantán agus an uille</span>
<lb n="1951"/><span>B chomh mór leis an uillinn E agus an uille C chomh mór leis an</span>
<lb n="1952"/><span>uillinn F agus na sleasa BC, EF comhada, agus sin iad na sleasa</span>
<lb n="1953"/><span>atá comhgarach do na huillinneachaibh comhmhóra.</span></p>
<lb n="1954"/>
<lb n="1955"/><p><span>Tá sé le cruthú go bhfuil na triantáin comhmhór ar gach</span>
<lb n="1956"/><span>uile bhealach.</span></p>
<lb n="1957"/>
<lb n="1958"/><p><span>Cruthú.  Cuir an triantán ABC leis an triantán DEF,</span>
<lb n="1959"/><span>ionnus go dtuitfe B ar E agus BC ar feadh EF; comhthuitfidh</span>
<lb n="1960"/><span>C innsin ar F ó thárla BC agus EF comhada.</span></p>
<lb n="1961"/>
<lb n="1962"/><p><span>Ó thárla an uille B agus an uille E comhmhór,</span>
<lb n="1963"/><span>tuiteann BA ar feadh ED;</span>
<lb n="1964"/><span>agus ó thárla an uille C agus an uille F comhmhór,</span>
<lb n="1965"/><span>tuiteann CA ar feadh FD.</span>
<lb n="1966"/><span>Uime sin tuiteann an poinnte A ar D;</span>
<lb n="1967"/><span>comhthuiteann triantán ar an triantán eile</span>
<lb n="1968"/><span>agus tá siad araon comhmhór ar gach uile bhealach.</span>
<lb n="1969"/></p>
</div>
<pb n="54"/>
<div><lb n="1970"/><p><span>CÁS II.  Is iad ABC, DEF an dá thriantán agus an dá</span>
<lb n="1971"/><span>uillinn B, E comhmhór ortha, agus freisin an dá uillinn C, F</span>
<lb n="1972"/><span>comhmhór, agus na sleasa AB, DE, atá ar aghaidh na dhá uillinn</span>
<lb n="1973"/><span>chomhmhóra C, F, iad comhada.</span></p>
<lb n="1974"/>
<lb n="1975"/><p><span>Tá sé le cruthú go bhfuil na triantáin comhmhór ar gach</span>
<lb n="1976"/><span>uile shlighe.</span></p>
<lb n="1977"/>
<lb n="1978"/><p><span>Cruthú.  Cuir an triantán ABC leis an triantán</span>
<lb n="1979"/><span>DEF, ionnus go dtuitfe A ar D agus AB ar feadh DE;</span>
<lb n="1980"/><span>tuiteann B innsin ar E, ó thárla AB agus DE comhada.</span></p>
<lb n="1981"/>
<lb n="1982"/><p><span>Ó thárla an uille B chomh mór leis an uillinn E,</span>
<lb n="1983"/><span>tuiteann BC ar feadh EF.</span></p>
<lb n="1984"/>
<lb n="1985"/><p><span>Agus mara dtuite C ar F, tuiteadh sé san áit a bhfuil G;</span>
<lb n="1986"/><span>fágann sin AC ag tuitim san áit i bhfuil DG, agus</span>
<lb n="1987"/><span>fágann sé gurab ionann EGD agus an uille C.</span>
<lb n="1988"/><span>Ach cuireadh i gcás go raibh an dá uillinn C, F comhmhór,</span></p>
<lb n="1989"/>
<lb n="1990"/><p><span>tá an uille EGD agus an uille F comhmhór; sé sin, uille</span>
<lb n="1991"/><span>sheachtarach an triantáin DGF, agus an uille inmheadhonach</span>
<lb n="1992"/><span>ar a haghaidh, iad comhmhór, rud nach féidir;</span></p>
<lb n="1993"/>
<lb n="1994"/><p><span>caithfidh C tuitim ar F;</span>
<lb n="1995"/><span>agus uime sin caithfidh AC tuitim ar feadh DF;</span></p>
<lb n="1996"/>
<lb n="1997"/><p><span>comhthuiteann triantán ar an triantán eile, agus</span>
<lb n="1998"/><span>dá bhrígh sin tá an dá cheann acu comhmhór ar gach uile chaoi.</span></p>
<lb n="1999"/>
<lb n="2000"/><p><span>Q.E.D.</span>
<lb n="2001"/></p>
</div>
<pb n="55"/>
<div><lb n="2002"/><p><span>TAIRISGINT 16. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="2003"/>
<lb n="2004"/><p><span>An dá thaobhagán atá le dhá thriantán dhronuillin-</span>
<lb n="2005"/><span>neacha má tá siad comhada, agus slios triantáin díobh</span>
<lb n="2006"/><span>chomh fada le n-a chomhshlios sa triantán eile, tá na</span>
<lb n="2007"/><span>triantáin comhmhór ar gach uile bhealach.</span></p>
<lb n="2008"/>
<lb n="2009"/><p><span>Is iad ABC, DEF an dá thriantán, agus dhá dhronuillinn</span>
<lb n="2010"/><span>ortha iseadh B, E; tá AB agus a chomhshlios DE comhada agus an dá</span>
<lb n="2011"/><span>thaobhagán AC, DF comhada.</span></p>
<lb n="2012"/>
<lb n="2013"/><p><span>Tá sé le cruthú go bhfuil an dá thriantán comhmhór</span>
<lb n="2014"/><span>ar gach uile shlighe.</span></p>
<lb n="2015"/>
<lb n="2016"/><p><span>Cruthú.  Cuir an triantán ABC leis an triantán</span>
<lb n="2017"/><span>DEF ionnus go dtuitfidh A ar D agus AB ar feadh DE, agus</span>
<lb n="2018"/><span>ionnus fós go dtuitfidh C ar an taobh de DE nach bhfuil</span>
<lb n="2019"/><span>F ann; abair gurb é G an poinnte i dtuiteann C.</span></p>
<lb n="2020"/>
<lb n="2021"/><p><span>Isé DEG an suidheamh nua atá ar an triantán ABC.</span></p>
<lb n="2022"/>
<lb n="2023"/><p><span>Ó thárla gur dhá dhronuillinn iad DEG, DEF,</span>
<lb n="2024"/><span>is líne díreach é an dá líne GE, EF as a chéile.</span></p>
<lb n="2025"/>
<lb n="2026"/><p><span>Tá DF agus DG (sé sin AC) comhada insa triantán DGF,</span>
<lb n="2027"/><span>tá an uille DGF chomh mór leis an uillinn DFG.</span></p>
<lb n="2028"/>
<lb n="2029"/><p><span>Tair. 5.</span></p>
<lb n="2030"/>
<lb n="2031"/><p><span>Agus insan dá thriantán DEG, DEF,</span>
<lb n="2032"/><span>an dá uillinn DEG, DEF comhmhór, mar is dhá dhron-</span>
<lb n="2033"/><span>uillinn iad,</span>
<lb n="2034"/><span>tá an dá uillinn DGE, DFE comhmhór rud a cruthuigheadh,</span>
<lb n="2035"/><span>an slios DE ag baint leo araon:</span>
<lb n="2036"/></p>
</div>
<pb n="56"/>
<div><lb n="2037"/><p><span>tá an dá thriantán DEG, DEF comhmhór ar gach uile chaoi.</span>
<lb n="2038"/><span>Ach isé DEG an suidheamh nua atá ar ABC;</span></p>
<lb n="2039"/>
<lb n="2040"/><p><span>tá na triantáin ABC, DEF comhmhór ar gach uile</span>
<lb n="2041"/><span>bhealach.  Q.E.D.</span></p>
<lb n="2042"/>
<lb n="2043"/><p><span>CLEACHTA XXII.</span></p>
<lb n="2044"/>
<lb n="2045"/><p><span>1.  Tá na sleasa AB, AC comhada insa triantán ABC,</span>
<lb n="2046"/><span>agus ingear é AD ó A go BC; cruthuigh go bhfuil dhá leith</span>
<lb n="2047"/><span>déanta de BC sa bpoinnte D.</span></p>
<lb n="2048"/>
<lb n="2049"/><p><span>2.  Dhá-leathóir uillinne triantáin má tá sé ingearach</span>
<lb n="2050"/><span>leis an slios ar aghaidh na huillinne, tá an triantán</span>
<lb n="2051"/><span>comhchosach.</span></p>
<lb n="2052"/>
<lb n="2053"/><p><span>3.  Tá dhá leith déanta den uillinn AOB ag OF; tar-</span>
<lb n="2054"/><span>raing ó phoinnte P ar OF tarraing sin dhá ingear go dtí</span>
<lb n="2055"/><span>OA, OB, agus cruthuigh go bhfuil an dá ingear comhada.</span></p>
<lb n="2056"/>
<lb n="2057"/><p><span>4.  Cruthuigh go bhfuil poinnte istigh i dtriantán agus go</span>
<lb n="2058"/><span>bhfuil na hingir a tarraingightar uaidh go dtí na trí sleasa</span>
<lb n="2059"/><span>go bhfuil siad comhada.</span></p>
<lb n="2060"/>
<lb n="2061"/><p><span>5.  Líne díreach é AB agus M a lár; tarraing líne díreach</span>
<lb n="2062"/><span>ar bith tré M agus cruthuigh go bhfuil an dá ingear a tarr-</span>
<lb n="2063"/><span>aingightar go dtí é ó A agus ó B go bhfuil siad comhada.</span></p>
<lb n="2064"/>
<lb n="2065"/><p><span>6.  Tá an dá uillinn A, B comhmhór ar thriantán; déan-</span>
<lb n="2066"/><span>ann líne dhá leith de A agus leigtar leis go dtí P, sa slios</span>
<lb n="2067"/><span>thall ar aghaidh A, agus déanann líne eile dhá leith de B agus</span>
<lb n="2068"/><span>leigtar leis féin go dtí an poinnte R sa slios ar aghaidh</span>
<lb n="2069"/><span>B.  Cruthuigh AP, BR a bheith comhada.</span></p>
<lb n="2070"/>
<lb n="2071"/><p><span>SONNRÚ. — Línte comhthreormhara díreacha, sin línte</span>
<lb n="2072"/><span>díreacha atá sa gcomhréidh céadna agus nach dtigeann ar a</span>
<lb n="2073"/><span>chéile is cuma cé'n fad a curtar asta as ceachtar dhá</span>
<lb n="2074"/><span>cheann díobh.</span></p>
<lb n="2075"/>
<lb n="2076"/><p><span>GNÁTH-FHOCAL. — Ní féidir le dá líne dhíreacha a bheith</span>
<lb n="2077"/><span>comhthreormhar le líne eile, má ghearrann siad a chéile.</span></p>
<lb n="2078"/>
<lb n="2079"/><p><span>Gnáth-fhocal Playfair a tugtar ar an gcuir-i-gcás sin</span>
<lb n="2080"/><span>agus tá gnatha dhe i dteoir na comhthreormhaireachta.</span>
<lb n="2081"/></p>
</div>
<pb n="57"/>
<div><lb n="2082"/><p><span>Leagann eile é seo air: is féidir líne díreach a tharr-</span>
<lb n="2083"/><span>aint comhthreormhar le líne díreach áirithe, thré phoinnte</span>
<lb n="2084"/><span>áirithe agus ní féidir a tharraint thríd ach an t-aon líne</span>
<lb n="2085"/><span>comhthreormhar.</span></p>
<lb n="2086"/>
<lb n="2087"/><p><span>TAIRISGINT 17. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="2088"/>
<lb n="2089"/><p><span>Líne díreach a ghearras dhá líne dhíreacha eile agus a</span>
<lb n="2090"/><span>ghníos an dá uillinn umthanacha chomh mór le cheile,</span>
<lb n="2091"/><span>an dá líne dhíreacha a gearrtar bheidh siad com-</span>
<lb n="2092"/><span>threormhar.</span></p>
<lb n="2093"/>
<lb n="2094"/><p><span>An líne díreach EF atá ag gearradh an dá líne AB,</span>
<lb n="2095"/><span>CD, sna dhá phoinnte G, H, déanann sé an dá uillinn</span>
<lb n="2096"/><span>umthanacha AGH, GHD chomh mór le chéile.</span></p>
<lb n="2097"/>
<lb n="2098"/><p><span>Tá sé le cruthú go bhfuil AB comhthreormhar le CD.</span></p>
<lb n="2099"/>
<lb n="2100"/><p><span>Cruthú.  Mara bhfuil AB agus CD comhthreormhar caithfid</span>
<lb n="2101"/><span>siad a theacht ar a chéile nuair a leigtar leo ó B agus ó D,</span>
<lb n="2102"/><span>nó ó A agus ó C.</span></p>
<lb n="2103"/>
<lb n="2104"/><p><span>Tigidís ar a chéile sa bpoinnte N, nuair a leigtar</span>
<lb n="2105"/><span>leo tré B agus tré D.</span></p>
<lb n="2106"/>
<lb n="2107"/><p><span>Is triantán é GHN innsin, agus an slios NG dhe tá fad</span>
<lb n="2108"/><span>curtha as;</span></p>
<lb n="2109"/>
<lb n="2110"/><p><span>is mó an uille sheachtarach AGH ná an uille inmheadh-</span>
<lb n="2111"/><span>onach ar a haghaidh .i. GHD:</span></p>
<lb n="2112"/>
<lb n="2113"/><p><span>agus tá siad chomh mór le cheile de réir mar cuireadh i gcás.</span>
<lb n="2114"/></p>
</div>
<pb n="58"/>
<div><lb n="2115"/><p><span>Uime sin ní fhéadfadh AB agus CD a theacht ar a chéile nuair</span>
<lb n="2116"/><span>a curtar fad asta ó B agus ó D.</span></p>
<lb n="2117"/>
<lb n="2118"/><p><span>Is féidir a theasbáint ar an gcuma chéadna nach féidir</span>
<lb n="2119"/><span>dhóibh a theacht ar a chéile nuair a curtar fad asta</span>
<lb n="2120"/><span>ó A agus ó C;</span>
<lb n="2121"/><span>tá AB agus CD comhthreormhar.</span></p>
<lb n="2122"/>
<lb n="2123"/><p><span>Q.E.D.</span></p>
<lb n="2124"/>
<lb n="2125"/><p><span>TAIRISGINT 18. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="2126"/>
<lb n="2127"/><p><span>Má thuiteann líne díreach ar dhá líne dhíreacha eile</span>
<lb n="2128"/><span>agus an uille sheachtarach a dhéanamh chomh mór leis an</span></p>
<lb n="2129"/>
<lb n="2130"/><p><span>uillinn inmheadhonach ar a haghaidh, ar an taobh céadna</span>
<lb n="2131"/><span>den líne; nó má ghníonn sé an dá uillinn inmheadh-</span>
<lb n="2132"/><span>onacha atá ar an taobh céadna den líne chomh mór le</span>
<lb n="2133"/><span>dhá dhronuillinn, nuair a curtar i dteannta a chéile</span>
<lb n="2134"/><span>iad; fágann sin go bhfuil an dá líne dhíreacha comh-</span>
<lb n="2135"/><span>threormhar.</span></p>
<lb n="2136"/>
<lb n="2137"/><p><span>CUID I.  Tuiteadh an líne díreach EF ar an dá líne</span>
<lb n="2138"/><span>dhíreacha AB, CD, agus déanadh sé an uille sheachtarach EGB</span>
<lb n="2139"/><span>chomh mór leis an uillinn inmheadhonach ar a haghaidh GHD.</span></p>
<lb n="2140"/>
<lb n="2141"/><p><span>Tá sé le cruthú go bhfuil AB agus CD comhthreormhar.</span></p>
<lb n="2142"/>
<lb n="2143"/><p><span>Ó thárla an uille EGB chomh mór leis an uillinn GHD,</span>
<lb n="2144"/><span>agus an uille EGB chomh mór leis an uillinn AGH atá go</span>
<lb n="2145"/><span>rinneach ar a haghaidh;</span></p>
<lb n="2146"/>
<lb n="2147"/><p><span>tá an uille AGH chomh mór leis an uillinn GHD</span>
<lb n="2148"/><span>agus is dhá uillinn umthanacha iad-san;</span>
<lb n="2149"/><span>tá AB agus CD comhthreormhar.</span>
<lb n="2150"/></p>
</div>
<pb n="59"/>
<div><lb n="2151"/><p><span>CUID II.  Bíodh an uille inmheadhonach BGH agus an uille</span>
<lb n="2152"/><span>inmheadhonach GHD mar thuille léithe, bídís chomh mór le</span>
<lb n="2153"/><span>dhá dhronuillinn, de bharr an líne díreach EF tuitim ar</span>
<lb n="2154"/><span>an dá líne AB, CD.</span></p>
<lb n="2155"/>
<lb n="2156"/><p><span>Tá sé le cruthú go bhfuil AB comhthreormhar le CD.</span>
<lb n="2157"/><span>Ó thárla an uille BGH agus an uille GHD mar thuille léithe,</span>
<lb n="2158"/><span>chomh mór le dhá dhronuillinn,</span>
<lb n="2159"/><span>agus an dá uillinn chomhgaracha BGH, AGH, i dteannta</span>
<lb n="2160"/><span>a chéile, chomh mór le dhá dhronuillinn</span>
<lb n="2161"/><span>an dá uillinn BGH, GHD i n-éineacht, táid siad</span>
<lb n="2162"/><span>chomh mór leis an dá uillinn BGH, AGH i n-éineacht.</span></p>
<lb n="2163"/>
<lb n="2164"/><p><span>Bain an uille BGH as gach comhmhéid díobh;</span>
<lb n="2165"/><span>agus fágfa sin an uille AGH chomh mór leis an uillinn</span>
<lb n="2166"/><span>GHD,</span></p>
<lb n="2167"/>
<lb n="2168"/><p><span>agus is uillinneacha umthanacha iad sin;</span>
<lb n="2169"/><span>tá AB comhthreormhar le CD.  Q.E.D.</span></p>
<lb n="2170"/>
<lb n="2171"/><p><span>TAIRISGINT 19. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="2172"/>
<lb n="2173"/><p><span>Má thuiteann líne díreach ar dhá líne dhíreacha chomh-</span>
<lb n="2174"/><span>threormhara, bíonn:—</span></p>
<lb n="2175"/>
<lb n="2176"/><p><span>(i) na huillinneacha umthanacha chomh mór le chéile,</span></p>
<lb n="2177"/>
<lb n="2178"/><p><span>(ii) an uille sheachtarach chomh mór leis an uillinn</span>
<lb n="2179"/><span>inmheadhonach ar a haghaidh, ar an taobh</span>
<lb n="2180"/><span>céadna den líne,</span></p>
<lb n="2181"/>
<lb n="2182"/><p><span>(iii) An dá uillinn inmheadhonacha ar an taobh céadna,</span>
<lb n="2183"/><span>bíonn sin i n-éineacht chomh mór le dhá dhron-</span>
<lb n="2184"/><span>uillinn.</span>
<lb n="2185"/></p>
</div>
<pb n="60"/>
<div><lb n="2186"/><p><span>Tigeadh an líne díreach EF ar an dá líne dhíreacha</span>
<lb n="2187"/><span>chomthreormhara AB, CD.</span></p>
<lb n="2188"/>
<lb n="2189"/><p><span>Tá sé le cruthú go bhfuil</span></p>
<lb n="2190"/>
<lb n="2191"/><p><span>(i) an uille AGH chomh mór leis an uillinn umthanach</span>
<lb n="2192"/><span>GHD.</span></p>
<lb n="2193"/>
<lb n="2194"/><p><span>(ii) an uille sheachtarach EGB chomh mór leis an uillinn</span>
<lb n="2195"/><span>inmheadhonach ar a haghaidh GHD</span></p>
<lb n="2196"/>
<lb n="2197"/><p><span>(iii) an dá uillinn inmheadhonacha BGH, GHD i n-éin-</span>
<lb n="2198"/><span>eacht, chomh mór le dhá dhronuillinn.</span></p>
<lb n="2199"/>
<lb n="2200"/><p><span>Cruthú.  (i) Mara bhfuil an uille AGH chomh mór leis an</span>
<lb n="2201"/><span>uillinn GHD tarraing an líne LG ionnus go mbeidh an</span>
<lb n="2202"/><span>uille LGH chomh mór leis an uillinn GHD.</span></p>
<lb n="2203"/>
<lb n="2204"/><p><span>Ó thárla an uille LGH chomh mór leis an uillinn umthanach</span>
<lb n="2205"/><span>GHD, tá LG comhthreormhar le CD.</span></p>
<lb n="2206"/>
<lb n="2207"/><p><span>Ach cuireadh i gcás AB a bheith comhthreormhar le CD;</span></p>
<lb n="2208"/>
<lb n="2209"/><p><span>an dá líne dhíreacha AB, LG atá ag gearradh a chéile,</span>
<lb n="2210"/><span>táid siad araon comhthreormhar le CD; rud nach féidir:</span></p>
<lb n="2211"/>
<lb n="2212"/><p><span>(Gnáth-fhocal Playfair).</span></p>
<lb n="2213"/>
<lb n="2214"/><p><span>ní fhéadfadh an dá uillinn AGH, GHD gan a bheith</span>
<lb n="2215"/><span>comhmhór;</span></p>
<lb n="2216"/>
<lb n="2217"/><p><span>tá an uille AGH agus an uille GHD comhmhór.</span></p>
<lb n="2218"/>
<lb n="2219"/><p><span>(ii) Ó thárla an uille AGH agus an uille GHD comhmhór, do</span>
<lb n="2220"/><span>réir Cuid I.</span></p>
<lb n="2221"/>
<lb n="2222"/><p><span>agus an uille AGH chomh mór leis an uillinn EGB atá</span>
<lb n="2223"/><span>go rinneach ar a haghaidh;</span></p>
<lb n="2224"/>
<lb n="2225"/><p><span>an uille sheachtarach EGB atá sí chomh mór leis an</span>
<lb n="2226"/><span>uillinn GHD atá go hinmheadhonach ar a haghaidh.</span></p>
<lb n="2227"/>
<lb n="2228"/><p><span>(iii) Ar réir Cuid I, tá an dá uillinn AGH, GHD comhmhór</span>
<lb n="2229"/><span>cuir an uille BGH mar thuille le gach comhmhéid díobh;</span></p>
<lb n="2230"/>
<lb n="2231"/><p><span>annsin an dá uillinn AGH, BGH i n-éineacht táid siad</span>
<lb n="2232"/><span>comhmhór leis an dá uillinn BGH, GHD i n-éineacht.</span>
<lb n="2233"/></p>
</div>
<pb n="61"/>
<div><lb n="2234"/><p><span>Ach an dá uillinn AGH, BGH i n-éineacht táid siad</span>
<lb n="2235"/><span>chomh mór le dhá dhronuillinn;</span></p>
<lb n="2236"/>
<lb n="2237"/><p><span>an dá uillinn inmheadhonacha BGH, GHD i n-éineacht,</span>
<lb n="2238"/><span>tá siad chomh mór le dhá dhronuillinn.  Q.E.D.</span></p>
<lb n="2239"/>
<lb n="2240"/><p><span>TAIRISGINT 20. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="2241"/>
<lb n="2242"/><p><span>Línte díreacha atá comhthreormhar leis an líne</span>
<lb n="2243"/><span>díreach céadna atá siad comhthreormhar le n-a chéile.</span></p>
<lb n="2244"/>
<lb n="2245"/><p><span>Bíodh an dá líne dhíreacha AB, CD comhthreormhar le LM.</span></p>
<lb n="2246"/>
<lb n="2247"/><p><span>Tá se le cruthú go bhfuil AB, CD comhthreormhar le</span>
<lb n="2248"/><span>n-a chéile.</span></p>
<lb n="2249"/>
<lb n="2250"/><p><span>Tarraing an líne díreach EF agus gearradh sé na línte ins na</span>
<lb n="2251"/><span>poinntíbh P, O, R.</span></p>
<lb n="2252"/>
<lb n="2253"/><p><span>Cruthú.  Ó thárla AB comhthreormhar le LM agus go</span>
<lb n="2254"/><span>dtigeann EF ortha,</span></p>
<lb n="2255"/>
<lb n="2256"/><p><span>tá an uille APR chomh mór leis an uillinn umthanach</span>
<lb n="2257"/><span>PRM.</span></p>
<lb n="2258"/>
<lb n="2259"/><p><span>Ó thárla CD agus LM comhthreormhar agus EF ag tuitim ortha,</span></p>
<lb n="2260"/>
<lb n="2261"/><p><span>tá an uille sheachtarach POD agus an uille inmheadhonach</span>
<lb n="2262"/><span>ar a haghaidh .i. PRM comhmhór;</span></p>
<lb n="2263"/>
<lb n="2264"/><p><span>tá an uille APO agus an uille POD comhmhór,</span></p>
</div>
<pb n="62"/>
<div><lb n="2265"/><p><span>agus is dhá uillinn umthanacha iad sin a rinneadh de bhrígh</span>
<lb n="2266"/><span>gur thuit EF ar an dá líne AB, CD,</span></p>
<lb n="2267"/>
<lb n="2268"/><p><span>tá AB agus CD comhthreormhar.</span></p>
<lb n="2269"/>
<lb n="2270"/><p><span>Q.E.D.</span></p>
<lb n="2271"/>
<lb n="2272"/><p><span>Is forusta fírinne an Tairisgiona seo a theasbánadh</span>
<lb n="2273"/><span>do réir gnáth-fhocail Playfair, má cruthuigheatar é ar</span>
<lb n="2274"/><span>mhodh thimcheallach.</span></p>
<lb n="2275"/>
<lb n="2276"/><p><span>Arae mara bhfuil AB agus CD comhthreormhar tiocfadh siad</span>
<lb n="2277"/><span>un a chéile ach leigeann leo — tigidís un a chéile sa</span>
<lb n="2278"/><span>bpoinnte S.  Tá dhá líne dhíreacha innsin ag gearradh</span>
<lb n="2279"/><span>a chéile sa bpoinnte S, agus iad araon comhthreormhar le</span>
<lb n="2280"/><span>LM; agus sin rud nach féidir.</span></p>
<lb n="2281"/>
<lb n="2282"/><p><span>Uime sin ní fhéadfadh AB agus CD a theacht un a chéile;</span>
<lb n="2283"/><span>tá siad comhthreormhar.</span></p>
<lb n="2284"/>
<lb n="2285"/><p><span>CLEACHTA XXIII.</span></p>
<lb n="2286"/>
<lb n="2287"/><p><span>1.  Tarraing líne díreach comhthreormhar le bonn .i.</span>
<lb n="2288"/><span>BC, an triantáin comhchosaigh .i. ABC, agus gearradh sé na</span>
<lb n="2289"/><span>sleasa comhada (taréis fad a chur asta más gádh é)</span>
<lb n="2290"/><span>insna poinntibh D, E; cruthuigh gur triantán comhchosach</span>
<lb n="2291"/><span>é ADE.</span></p>
<lb n="2292"/>
<lb n="2293"/><p><span>2.  Dhá-leathóir uillinne, géag dá géagaibh agus líne atá</span>
<lb n="2294"/><span>comhthreormhar leis an ngéig eile déan triantán comh-</span>
<lb n="2295"/><span>chosach díobh.</span></p>
<lb n="2296"/>
<lb n="2297"/><p><span>3.  Má tá dhá ghéag uillinne agus a dhá gcomhghéag i n-uillinn</span>
<lb n="2298"/><span>eile comhthreormhar tá an dá uillinn comhmhór nó foir-</span>
<lb n="2299"/><span>líonta.</span></p>
<lb n="2300"/>
<lb n="2301"/><p><span>4.  Má ghníonn treasnáin ceathairshleasáin dhá leith dhá</span>
<lb n="2302"/><span>chéile beidh na sleasa atá ar aghaidh a chéile comhthreormhar</span></p>
<lb n="2303"/>
<lb n="2304"/><p><span>5.  Tigeann dhá-leathóir na huillinne A i dtriantán ar</span>
<lb n="2305"/><span>an slios BC sa bpoinnte S; tarraing SR ó S comhth-</span>
<lb n="2306"/><span>reormhar le AC, agus gearradh sé AB sa bpoinnte R, agus</span>
<lb n="2307"/><span>tarraing ST ó S, comhthreormhar le AB agus gearradh sé AC</span>
<lb n="2308"/><span>sa bpoinnte T; cruthuigh ARST a bheith comhshleasach.</span>
<lb n="2309"/></p>
</div>
<pb n="63"/>
<div><lb n="2310"/><p><span>TAIRISGINT 21. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="2311"/>
<lb n="2312"/><p><span>Má curtar fad as slios triantáin beidh an uille</span>
<lb n="2313"/><span>sheachtarach chomh mór leis an dá uillinn inmheadhonacha</span>
<lb n="2314"/><span>ar a haghaidh i n-éineacht, agus trí uillinn triantáin</span>
<lb n="2315"/><span>i n-éineacht tá siad chomh mór le dhá dhronuillinn.</span></p>
<lb n="2316"/>
<lb n="2317"/><p><span>Isé ABC an triantán agus fad ar a shlios BC go dtí D.</span></p>
<lb n="2318"/>
<lb n="2319"/><p><span>Tá sé le cruthú go bhfuil:—</span></p>
<lb n="2320"/>
<lb n="2321"/><p><span>(i) an uille sheachtarach ACD agus an dá uillinn inmeadh-</span>
<lb n="2322"/><span>onacha ar a haghaidh .i. A agus B i n-éineacht comh-</span>
<lb n="2323"/><span>mhór, agus</span></p>
<lb n="2324"/>
<lb n="2325"/><p><span>(ii) go bhfuil na trí uillinn A, B, agus BCA i n-éineacht</span>
<lb n="2326"/><span>go bhfuil sin chomh mór le dhá dhronuillinn.</span></p>
<lb n="2327"/>
<lb n="2328"/><p><span>Cuir i gcás gurb é CE an líne díreach a tarraingigheadh</span>
<lb n="2329"/><span>tré C, comhthreormhar le BA.</span></p>
<lb n="2330"/>
<lb n="2331"/><p><span>Cruthú.  (i) Ó thárla CE agus BA comhthreormhar agus go</span>
<lb n="2332"/><span>dtigeann AC ortha araon,</span></p>
<lb n="2333"/>
<lb n="2334"/><p><span>tá an uille ACE agus an uille umthanach A comhmhór.</span></p>
<lb n="2335"/>
<lb n="2336"/><p><span>Ó thárla CE agus BA comhthreormhar agus go dtigeann BD</span>
<lb n="2337"/><span>ortha araon,</span></p>
<lb n="2338"/>
<lb n="2339"/><p><span>tá an uille sheachtarach ECD agus an uille inmheadhonach</span>
<lb n="2340"/><span>ar a haghaidh .i. B comhmhór.</span></p>
<lb n="2341"/>
<lb n="2342"/><p><span>Uime sin tá an uille iomlán ACD agus an dá uillinn A, B</span>
<lb n="2343"/><span>i n-éineacht comhmhór.</span></p>
<lb n="2344"/>
<lb n="2345"/><p><span>(ii) Cuir an uille BCA le gach comhmhéid díobh;</span>
<lb n="2346"/></p>
</div>
<pb n="64"/>
<div><lb n="2347"/><p><span>agus fágfaidh sin an dá uillinn BCA, ACD i n-éineacht</span>
<lb n="2348"/><span>chomh mór le na trí uillinn A, B, BCA i n-éineacht.</span></p>
<lb n="2349"/>
<lb n="2350"/><p><span>Ach an dá uillinn chomhgaracha BCA, ACD i n-éineacht</span>
<lb n="2351"/><span>tá siad chomh mór le dhá dhronuillinn;</span></p>
<lb n="2352"/>
<lb n="2353"/><p><span>tá trí uillinn an triantáin ABC .i. A, B, C i n-éineacht</span>
<lb n="2354"/><span>tá sin chomh mór le dhá dhronuillinn.  Q.E.D.</span></p>
<lb n="2355"/>
<lb n="2356"/><p><span>COMHTHORADH 1.  Na huillinneacha inmheadhonacha</span>
<lb n="2357"/><span>atá ar iolgán dronnach, i n-éineacht le cheithre dhron-</span>
<lb n="2358"/><span>uillinn, tá siad chomh mór faoi dhó le gacha le dron-</span>
<lb n="2359"/><span>uillinn agus tá de shleasa leis an iolgán.</span></p>
<lb n="2360"/>
<lb n="2361"/><p><span>Iolgán dronnach ar bith é ABCDE.  Fagh poinnte ar</span>
<lb n="2362"/><span>bith O istigh ann, agus ceangail O do gach rinn air.</span></p>
<lb n="2363"/>
<lb n="2364"/><p><span>Tá gacha le triantán déannta den iolgán iomlán anois</span>
<lb n="2365"/><span>agus tá de shleasaibh leis.  Agus freisin na trí uillinn atá</span>
<lb n="2366"/><span>ar gach triantán díobh táid siad, i n-éineacht, chomh mór</span>
<lb n="2367"/><span>le dhá dhronuillinn.</span></p>
<lb n="2368"/>
<lb n="2369"/><p><span>tá gach uile uille ar gach uile thriantán díobh, i</span>
<lb n="2370"/><span>n-éineacht, chomh mór faoi dhó le gacha le dronuillinn agus tá</span>
<lb n="2371"/><span>de shleasa leis an iolgán.</span></p>
<lb n="2372"/>
<lb n="2373"/><p><span>Ach a bhfuil d'uillinneacha ar na triantánaibh go hiom-</span>
<lb n="2374"/><span>lán sin iad, i n-éineacht, uillinneacha inmheadhonacha iom-</span>
<lb n="2375"/><span>lán an iolgáin i n-éineacht le na huillinneacha ag O, agus na</span>
<lb n="2376"/><span>huillinneacha sin ag O táid siad i n-éineacht chomh mór</span>
<lb n="2377"/><span>le cheithre dhronuillinn.</span></p>
<lb n="2378"/>
<lb n="2379"/><p><span>na huillinneacha inmheadhonacha go hiomlán atá ar</span>
<lb n="2380"/><span>iolgán i n-éineacht le cheithre dhronuillinn tá sin faoi dhó</span></p>
</div>
<pb n="65"/>
<div><lb n="2381"/><p><span>chomh mór le gacha le dronuillinn agus tá de shleasa leis</span>
<lb n="2382"/><span>an iolgán.  Q.E.D.</span></p>
<lb n="2383"/>
<lb n="2384"/><p><span>COMHTHORADH 2.  Má leigtar le sleasaibh iolgáin</span>
<lb n="2385"/><span>dronnaigh ar bith, ó cheann go ceann, na huillinneacha</span>
<lb n="2386"/><span>seachtaracha a déantar ar an gcuma sin tá siad,</span>
<lb n="2387"/><span>i n-éineacht, chomh mór le cheithre dhronuillinn.</span></p>
<lb n="2388"/>
<lb n="2389"/><p><span>Iolgán dronnach é ABCDE, agus fad as na sleasaibh AB,</span>
<lb n="2390"/><span>BC, CD agus rl. aige tré B, C, D, agus rl.</span></p>
<lb n="2391"/>
<lb n="2392"/><p><span>Na huillinneacha seachtaracha agus na huillinneacha</span>
<lb n="2393"/><span>inmheadhonacha atá ag gach rinn díobh táid siad chomh mór</span>
<lb n="2394"/><span>i n-éineacht le dhá dhronuillinn.</span></p>
<lb n="2395"/>
<lb n="2396"/><p><span>na huillinneacha inmheadhonacha go hiomlán agus na</span>
<lb n="2397"/><span>huillinneacha seachtaracha go hiomlán, i n-éineacht leo,</span>
<lb n="2398"/><span>táid siad chomh mór faoi dhó le gacha le dronuillinn agus tá</span>
<lb n="2399"/><span>de reanna nó de shleasa, leis an iolgán.</span></p>
<lb n="2400"/>
<lb n="2401"/><p><span>Ach tá na huillinneacha inmheadhonacha go léir i n-éineacht</span>
<lb n="2402"/><span>le cheithre dhronuillinn faoi dhó chomh mór le gacha le</span>
<lb n="2403"/><span>dronuillinn agus tá de shleasa leis an iolgán.</span></p>
<lb n="2404"/>
<lb n="2405"/><p><span>tá na huillinneacha seachatarcha go léir i n-éineacht</span>
<lb n="2406"/><span>chomh mór le cheithre dhronuillinn.  Q.E.D.</span></p>
<lb n="2407"/>
<lb n="2408"/><p><span>CLEACHTA XXIV.</span></p>
<lb n="2409"/>
<lb n="2410"/><p><span>1.  Foirlíon na huillinne A ar an triantán ABC má</span>
<lb n="2411"/><span>tá sí faoi dhó chomh mór leis an uillinn B is comhchosach</span>
<lb n="2412"/><span>atá an triantán sin.</span></p>
<lb n="2413"/>
<lb n="2414"/><p><span>2.  Uillinneacha ceathairshleasáin táid siad, i n-éin-</span>
<lb n="2415"/><span>eacht, chomh mór le cheithre dhronuillinn.</span></p>
<lb n="2416"/>
<lb n="2417"/><p><span>3.  Uillinneacha cúgáin i n-éineacht tá siad chomh mór</span>
<lb n="2418"/><span>le sé dhronuillinn.</span></p>
<lb n="2419"/>
<lb n="2420"/><p><span>4.  Uille buinn atá ar thriantán comhchosach más allroinn</span>
<lb n="2421"/><span>í d'uillinn buinn triantáin comhchosaigh eile is uillinneacha</span>
<lb n="2422"/><span>foirlíonta na huillinneacha rinneacha atá ortha.  An fíor</span>
<lb n="2423"/><span>a aisiompodh sin?</span>
<lb n="2424"/></p>
</div>
<pb n="66"/>
<div><lb n="2425"/><p><span>5.  Má thuiteann líne díreach ar dhá líne dhíreacha chomh-</span>
<lb n="2426"/><span>theormhara an dá líne a ghníos dhá leith de na huillinneacha</span>
<lb n="2427"/><span>inmheadhonacha ar an taobh céadna tá siad sin dron-</span>
<lb n="2428"/><span>uillinneach le chéile.</span></p>
<lb n="2429"/>
<lb n="2430"/><p><span>6.  Isé M lár an tsleasa BC insa triantán ABC; má</span>
<lb n="2431"/><span>tá MA agus MB comhada cruthuigh gur dronuille í A.</span></p>
<lb n="2432"/>
<lb n="2433"/><p><span>7.  Cuir síos agus cruthuigh aisiompodh Uimh. a 6.</span></p>
<lb n="2434"/>
<lb n="2435"/><p><span>8.  Isé M lár an tsleasa BC sa triantán ABC; más</span>
<lb n="2436"/><span>géaruille í A cruthuigh gur fuide MA ná MB.</span></p>
<lb n="2437"/>
<lb n="2438"/><p><span>9.  Má curtar fad as gacha le péire de shleasa cúgáin</span>
<lb n="2439"/><span>ionnus go dtige siad ar a chéile, na chúig uillinn sin i</span>
<lb n="2440"/><span>n-éineacht a rinneadh nuair a cuireadh fad as na sleasa,</span>
<lb n="2441"/><span>tá siad chomh mór le dhá dhronuillinn.</span></p>
<lb n="2442"/>
<lb n="2443"/><p><span>10.  Má tá gach uille buinn ar thriantán chomhchosach</span>
<lb n="2444"/><span>faoi dhó chomh mór leis an uillinn rinneach, cé'n chuid de</span>
<lb n="2445"/><span>dhronuillinn an uille rinneach?</span></p>
<lb n="2446"/>
<lb n="2447"/><p><span>SONNRUÍTHE.</span></p>
<lb n="2448"/>
<lb n="2449"/><p><span>Treolínteán, sin figiúir ceathairshleasach a bhfuil na</span>
<lb n="2450"/><span>sleasa atá ar aghaidh a chéile ann comhthreormhar.</span></p>
<lb n="2451"/>
<lb n="2452"/><p><span>Cruthófar (Tair. 25) na sleasa atá ar aghaidh a chéile i dtreo-</span>
<lb n="2453"/><span>línteán a bheith comhada agus freisin na huillinneacha atá ar aghaidh</span>
<lb n="2454"/><span>a chéile a bheith comhmhór.</span></p>
<lb n="2455"/>
<lb n="2456"/><p><span>Dronuilleog, sin treolínteán agus uille dá bhfuil air</span>
<lb n="2457"/><span>í dronuillinneach.</span></p>
<lb n="2458"/>
<lb n="2459"/><p><span>Cruthófar (Tair. 23, Comhth.  2) gur dronuille gach uile uille dá</span>
<lb n="2460"/><span>bhfuil ar dhronuilleoig.</span></p>
<lb n="2461"/>
<lb n="2462"/><p><span>Cearnóg, sin dronuilleog a bhfuil dhá shlios chomh-</span>
<lb n="2463"/><span>garacha dhe comhada.</span></p>
<lb n="2464"/>
<lb n="2465"/><p><span>Cruthófar (Tair. 23, Comhth. 3) sleasa cearnóige a bheith go léir</span>
<lb n="2466"/><span>comhada, agus a cuid uillinneacha a bheith dronuillinneach.</span></p>
<lb n="2467"/>
<lb n="2468"/><p><span>Camchearn, sin figiúir ceathairshleasach a bhfuil a shleasa</span>
<lb n="2469"/><span>go léir comhada agus a chuid uillinneacha gan a bheith dron-</span>
<lb n="2470"/><span>uillinneach.</span></p>
<lb n="2471"/>
<lb n="2472"/><p><span>Cearchosóg, sin figiúir ceathairshleasach a bhfuil dhá</span>
<lb n="2473"/><span>shlios de atá ar agháidh a chéile comhthreormhar.</span>
<lb n="2474"/></p>
</div>
<pb n="67"/>
<div><lb n="2475"/><p><span>TAIRISGINT 22. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="2476"/>
<lb n="2477"/><p><span>Na línte díreacha atá ag ceangal gach aon dá</span>
<lb n="2478"/><span>cheann chomhgaracha de línte díreacha atá comhada,</span>
<lb n="2479"/><span>comhthreormhar, tá siad féin comhada, comhthreormhar.</span></p>
<lb n="2480"/>
<lb n="2481"/><p><span>Dhá líne dhíreacha chomhada chomhthreormhara iad AB</span>
<lb n="2482"/><span>CD, agus an dá líne dhíreacha AC, BD ag ceangal gach aon dá</span>
<lb n="2483"/><span>cheann chomhgaracha dhíobh.</span></p>
<lb n="2484"/>
<lb n="2485"/><p><span>Tá sé le cruthú go bhfuil AC, BD comhada comhth-</span>
<lb n="2486"/><span>reormhar.</span></p>
<lb n="2487"/>
<lb n="2488"/><p><span>Ceangail A do D.</span></p>
<lb n="2489"/>
<lb n="2490"/><p><span>Cruthú.  Ó thárla AB agus CD comhthreormhar agus AD ag</span>
<lb n="2491"/><span>tuitim ortha,</span></p>
<lb n="2492"/>
<lb n="2493"/><p><span>tá an uille CDA agus an uille umthanach BAD comhmhór.</span>
<lb n="2494"/><span>Insan dá thriantán CDA, BAD,</span></p>
<lb n="2495"/>
<lb n="2496"/><p><span>CD agus AB comhada,</span>
<lb n="2497"/><span>tá AD ag baint leo araon,</span>
<lb n="2498"/><span>an uille CDA agus an uille BAD comhmhór;</span></p>
<lb n="2499"/>
<lb n="2500"/><p><span>tá na triantáin comhmhór ar gach uile bhealach;</span></p>
<lb n="2501"/>
<lb n="2502"/><p><span>Tair. 4.</span></p>
<lb n="2503"/>
<lb n="2504"/><p><span>ionnus go bhfuil na sleasa AC, BD comhada,</span>
<lb n="2505"/><span>agus an dá uillinn DAC, ADB comhmhór;</span></p>
<lb n="2506"/>
<lb n="2507"/><p><span>agus is dhá uillinn umthanacha iad sin a rinneadh de bhrigh</span>
<lb n="2508"/><span>go dtuiteann AD ar na línte AC, BD.</span></p>
<lb n="2509"/>
<lb n="2510"/><p><span>tá AC agus BD comhthreormhar.</span></p>
<lb n="2511"/>
<lb n="2512"/><p><span>Uime sin tá AC, BD comhada agus comhthreormhar.</span></p>
<lb n="2513"/>
<lb n="2514"/><p><span>Q.E.D.</span>
<lb n="2515"/></p>
</div>
<pb n="68"/>
<div><lb n="2516"/><p><span>TAIRISGINT 23. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="2517"/>
<lb n="2518"/><p><span>Tá na sleasa atá ar aghaidh a chéile comhada agus na</span>
<lb n="2519"/><span>huillinneacha atá ar aghaidh a chéile comhmhór i dtreo-</span>
<lb n="2520"/><span>línteán, agus dhá leith déanta dhe ag gach aon treasnán.</span></p>
<lb n="2521"/>
<lb n="2522"/><p><span>Treolínteán é ABCD agus treasnán ann é AC.</span></p>
<lb n="2523"/>
<lb n="2524"/><p><span>Tá sé le cruthú go bhfuil AB, DC comhada,</span>
<lb n="2525"/><span>agus go bhfuil AD agus BC comhada,</span>
<lb n="2526"/><span>go bhfuil an dá uillinn ABC, CDA comhmhór</span>
<lb n="2527"/><span>BAD, BCD</span></p>
<lb n="2528"/>
<lb n="2529"/><p><span>agus go bhfuil an dá thriantán ABC, CDA comhmhór.</span></p>
<lb n="2530"/>
<lb n="2531"/><p><span>Cruthú.  Ó thárla AB agus DC comhthreormhar agus AC ag</span>
<lb n="2532"/><span>tuitim ortha,</span></p>
<lb n="2533"/>
<lb n="2534"/><p><span>tá an uille BAC agus an uille umthanach DCA comhmhór.</span></p>
<lb n="2535"/>
<lb n="2536"/><p><span>Ó thárla BC agus DA comhthreormhar agus AC ag tuitim ortha</span></p>
<lb n="2537"/>
<lb n="2538"/><p><span>tá an uille BCA agus an uille umthanach DAC comhmhór</span></p>
<lb n="2539"/>
<lb n="2540"/><p><span>an uille BAC agus an uille DCA comhmhór,</span>
<lb n="2541"/><span>tá BCA DAC</span>
<lb n="2542"/><span>agus AC ag baint leo araon,</span></p>
<lb n="2543"/>
<lb n="2544"/><p><span>insan dá thriantán ABC, CDA;</span></p>
<lb n="2545"/>
<lb n="2546"/><p><span>tá na triantáin comhmhór ar gach uile shlighe;</span></p>
<lb n="2547"/>
<lb n="2548"/><p><span>I gcruthamhnas go bhfuil AB agus DC comhada,</span>
<lb n="2549"/><span>agus BC agus AD comhada;</span></p>
<lb n="2550"/>
<lb n="2551"/><p><span>an uille ABC chomh mór leis an uillinn CDA.</span>
<lb n="2552"/></p>
</div>
<pb n="69"/>
<div><lb n="2553"/><p><span>agus an t-achar atá faoi an triantán ABC chomh mór leis</span>
<lb n="2554"/><span>an achar atá faoi an triantán CDA,</span></p>
<lb n="2555"/>
<lb n="2556"/><p><span>isé sin, tá dhá leith déanta den treolínteán ag an</span>
<lb n="2557"/><span>treasnán AC.</span></p>
<lb n="2558"/>
<lb n="2559"/><p><span>Agus ó thárla an uille BAC chomh mór leis an uillinn DCA,</span>
<lb n="2560"/><span>agus an uille DAC chomh mór leis an uillinn BCA,</span></p>
<lb n="2561"/>
<lb n="2562"/><p><span>tá an uille iomlán BAD chomh mór leis an uillinn</span>
<lb n="2563"/><span>iomlán DCB.  Q.E.D.</span></p>
<lb n="2564"/>
<lb n="2565"/><p><span>COMHTHORADH 1.  Is figiúir comhshleasach é an treo-</span>
<lb n="2566"/><span>línteán a bhfuil a dhá shlios chomhgaracha comhada.</span></p>
<lb n="2567"/>
<lb n="2568"/><p><span>COMHTHORADH 2.  Má tá aon dronuille amháin ar</span>
<lb n="2569"/><span>threolínteán is dronuille gach uile uille dá bhfuil air.</span></p>
<lb n="2570"/>
<lb n="2571"/><p><span>COMHTHORADH 3.  Tá sleasa cearnóige go léir comh-</span>
<lb n="2572"/><span>ada agus is dronuille gach uile uille dá bhfuil uirthe.</span></p>
<lb n="2573"/>
<lb n="2574"/><p><span>COMHTHORADH 4.  Tá dhá leith déanta dhá chéile ag</span>
<lb n="2575"/><span>treasnáin treolínteáin.</span></p>
<lb n="2576"/>
<lb n="2577"/><p><span>CLEACHTA XXV.</span></p>
<lb n="2578"/>
<lb n="2579"/><p><span>An dá phéire sleas atá ar aghaidh a chéile i gceathair-</span>
<lb n="2580"/><span>shleasán, má tá siad comhada tá an figiúir 'na treo-</span>
<lb n="2581"/><span>línteán.</span></p>
<lb n="2582"/>
<lb n="2583"/><p><span>2.  An dá phéire uillinneacha atá ar aghaidh a chéile i</span>
<lb n="2584"/><span>gceathairshleasán, má tá siad comhmhór tá an figiúir 'na</span>
<lb n="2585"/><span>treolínteán.</span></p>
<lb n="2586"/>
<lb n="2587"/><p><span>3.  Tá gach uile chamchearn ina threolínteán.</span></p>
<lb n="2588"/>
<lb n="2589"/><p><span>4.  Dhá shlios chomhgaracha threolínteáin má tá siad</span>
<lb n="2590"/><span>comhada, tá dhá leith déanta d'uillinneacha an treo-</span>
<lb n="2591"/><span>línteáin ag na treasnáin.</span></p>
<lb n="2592"/>
<lb n="2593"/><p><span>5.  Treasnáin treolínteáin má tá siad comhada is</span>
<lb n="2594"/><span>dronuilleog é an treolínteán.</span></p>
<lb n="2595"/>
<lb n="2596"/><p><span>6.  Má ghníonn treasnáin ceathairshleasáin dhá leith dhá</span>
<lb n="2597"/><span>chéile tá an figiúir na treolínteán.</span>
<lb n="2598"/></p>
</div>
<pb n="70"/>
<div><lb n="2599"/><p><span>7.  Déanann treasnáin camchearna dhá leith dhá chéile</span>
<lb n="2600"/><span>go dronuillinneach.</span></p>
<lb n="2601"/>
<lb n="2602"/><p><span>8.  Má tá treasnáin ceathairshleasáin comhada agus dhá</span>
<lb n="2603"/><span>leith déanta dhá chéile acu go dronuillinneach, is cear-</span>
<lb n="2604"/><span>nóg í an figiúir.</span></p>
<lb n="2605"/>
<lb n="2606"/><p><span>9.  Líne díreach ar bith a tarraingightar tré M .i. lár-</span>
<lb n="2607"/><span>phoinnte treasnáin treolínteáin, agus a bhfuil a dhá cheann</span>
<lb n="2608"/><span>insan dá shlios atá ar aghaidh a chéile, tá dhá leith déanta</span>
<lb n="2609"/><span>dhe sa bpoinnte M.</span></p>
<lb n="2610"/>
<lb n="2611"/><p><span>SONNRÚ. — Treasnachán a tugtar ar an líne díreach</span>
<lb n="2612"/><span>atá tarraingthe treasna dhá líne dhíreacha nó tuille agus dhá</span>
<lb n="2613"/><span>líne dhíreacha eile.</span></p>
<lb n="2614"/>
<lb n="2615"/><p><span>TAIRISGINT 24. — TEORAGÁN.</span></p>
<lb n="2616"/>
<lb n="2617"/><p><span>Na heidirlínte a déantar má thuiteann trí líne,</span>
<lb n="2618"/><span>nó tuille agus trí líne, díreacha comhthreormhara ar</span>
<lb n="2619"/><span>threasnachán, má tá siad comhada, beidh na heidir-</span>
<lb n="2620"/><span>línte atá déanta acu ar aon treasnachán eile beidh</span>
<lb n="2621"/><span>siad-san comhada.</span></p>
<lb n="2622"/>
<lb n="2623"/><p><span>Na heidirlínte AB, BC, CD a rinne na línte díreacha</span>
<lb n="2624"/><span>comhthreormhara AL, BM, CN, DR ar threasnachán, tá siad</span>
<lb n="2625"/><span>comhada.</span></p>
<lb n="2626"/>
<lb n="2627"/><p><span>Tá sé le cruthú go bhfuil na heidirlínte LM, MN, NR,</span>
<lb n="2628"/><span>atá ar threasnachán eile, comhada.</span>
<lb n="2629"/></p>
</div>
<pb n="71"/>
<div><lb n="2630"/><p><span>Tógáil.  Tarraing na línte AE, BF, CG, thré A, B,</span>
<lb n="2631"/><span>C, comhthreormhar le LR.</span></p>
<lb n="2632"/>
<lb n="2633"/><p><span>Cruthú.  Ó thárla AE agus BF comhthreormhar agus go dtuit</span>
<lb n="2634"/><span>eann AC ortha, tá an uille BAE agus an uille CBF comhmhór.</span></p>
<lb n="2635"/>
<lb n="2636"/><p><span>Agus ó thárla BM agus CN comhthreormhar agus go dtuiteann AC</span>
<lb n="2637"/><span>ortha, tá n auille ABE agus an uille BCF comhmhór.</span></p>
<lb n="2638"/>
<lb n="2639"/><p><span>an uille BAE agus an uille CBF comhmhór</span>
<lb n="2640"/><span>tá ABE BCF</span>
<lb n="2641"/><span>an líne AB agus an líne BC comhada</span></p>
<lb n="2642"/>
<lb n="2643"/><p><span>insan dá thriantán ABE, BCF;</span></p>
<lb n="2644"/>
<lb n="2645"/><p><span>tá AE agus BF comhada.  Tair. 16.</span></p>
<lb n="2646"/>
<lb n="2647"/><p><span>Ach ó thárla gur treolínteáin iad ALME agus BMNF,</span>
<lb n="2648"/><span>tá AE agus LM comhada, agus tá BF agus MN comhada,</span></p>
<lb n="2649"/>
<lb n="2650"/><p><span>tá LM agus MN comhada.</span></p>
<lb n="2651"/>
<lb n="2652"/><p><span>Is féidir a chruthú, ar an gcuma chéadna, go bhfuil LM</span>
<lb n="2653"/><span>(nó MN) agus NR comhada.  Q.E.D.</span></p>
<lb n="2654"/>
<lb n="2655"/><p><span>CLEACHTA XXVI.</span></p>
<lb n="2656"/>
<lb n="2657"/><p><span>1.  Má tharraingigheann tú líne díreach thré lár-phoinnte</span>
<lb n="2658"/><span>sleasa triantáin agus comhthreormhar le slios eile déan-</span>
<lb n="2659"/><span>faidh sé dhá leith den tríomhadh slios.</span></p>
<lb n="2660"/>
<lb n="2661"/><p><span>2.  Tá na sleasa AD, BC comhthreormhar insan gceath-</span>
<lb n="2662"/><span>airshleasán ABCD; an líne a tarraingightar comhth-</span>
<lb n="2663"/><span>reormhar le AD thré lár-phoinnte AB, cruthuigh go</span>
<lb n="2664"/><span>ndéanann sé dhá leith de CD.</span></p>
<lb n="2665"/>
<lb n="2666"/><p><span>3.  An líne díreach atá ag ceangal M agus N dhá lár-</span>
<lb n="2667"/><span>phoinnte na sleas AB, AC insan triantán ABC, cruthuigh</span>
<lb n="2668"/><span>go bhfuil sé comhthreormhar le BC agus leath chomh fada leis.</span>
<lb n="2669"/><span>(Leig le MN go dtí H agus bíodh NH agus MN comhada, agus cean-</span>
<lb n="2670"/><span>gail C agus H le chéile).</span></p>
<lb n="2671"/>
<lb n="2672"/><p><span>4.  Tá lár-phoinntí L, M, N, na sleas atá le triantán</span>
<lb n="2673"/><span>ceangailte ag na línte LM, MN, NL, agus tá cheithre</span></p>
</div>
<pb n="72"/>
<div><lb n="2674"/><p><span>thriantán déanta ag na línte den triantán mór agus na</span>
<lb n="2675"/><span>cheithre triantáin comhmhor ar gach uile shlighe.</span></p>
<lb n="2676"/>
<lb n="2677"/><p><span>5.  Is iad D, E, F, lár-phoinntí na sleas BC, AC, AB</span>
<lb n="2678"/><span>atá leis an triantán ABC; cruthuigh go bhfuil dhá leith</span>
<lb n="2679"/><span>déanta dhá chéile ag na línte AD, EF.</span></p>
<lb n="2680"/>
<lb n="2681"/><p><span>6.  Is iad L, M, N, R, lár-phoinntí na sleas AB, BC,</span>
<lb n="2682"/><span>CD, DA, atá le ceathairshleasán.  Is iad P, O, lár-</span>
<lb n="2683"/><span>phoinntí na dtreasnán AC, BD; cruthuigh</span></p>
<lb n="2684"/>
<lb n="2685"/><p><span>(1) gur treolínteáin iad LMNR agus LPNO; agus</span></p>
<lb n="2686"/>
<lb n="2687"/><p><span>(2) go dtéidheann MR, PO thré lár-phoinnte LN agus go</span>
<lb n="2688"/><span>bhfuil dhá leith déanta dhíobh sa bpoinnte sin.</span></p>
<lb n="2689"/>
<lb n="2690"/><p><span>7.  Treolínteán é ABCD agus is iad R, S lár-phoinntí</span>
<lb n="2691"/><span>na sleas AB, CD; cruthuigh go bhfuil trí chuid chothroma</span>
<lb n="2692"/><span>déanta den treasnán BD ag AS, CR.</span></p>
<lb n="2693"/>
<lb n="2694"/><p><span>8.  Na sleasa fiara AB, DC atá leis an gcearchosóig</span>
<lb n="2695"/><span>ABCD, tá dhá leith déanta dhíobh insna poinntí M, N;</span>
<lb n="2696"/><span>cruthuigh go bhfuil MN comhthreormhar le AD agus le BC agus leath</span>
<lb n="2697"/><span>chomh fada leo araon as a chéile.</span></p>
<lb n="2698"/>
<lb n="2699"/><p><span>DE NA TÓGÁLA innseo síos.</span></p>
<lb n="2700"/>
<lb n="2701"/><p><span>Ceisteanna iad na tairisgiona seo síos (25–33);</span>
<lb n="2702"/><span>tá sé a' teastáil rud eicínt a dhéanamh ins gach ceann</span>
<lb n="2703"/><span>acu, ach níl cead rialóir céimeann ná rialghrádh a bheith</span>
<lb n="2704"/><span>ag duine a tarraint na bhfiugúirí</span></p>
<lb n="2705"/>
<lb n="2706"/><p><span>Is féidir líne díreach a tharraint ó phoinnte áirithe go</span>
<lb n="2707"/><span>dtí poinnte áirithe eile, nó fad a chur as líne atá ann</span>
<lb n="2708"/><span>cheana le congnamh ó rialóir clárach.</span></p>
<lb n="2709"/>
<lb n="2710"/><p><span>Baintear leas as compás le haghaidh cearcall a thar-</span>
<lb n="2711"/><span>raint agus le cuid a bhaint den líne is fuide de dhá líne</span>
<lb n="2712"/><span>dhíreacha le n-a dhéanamh chomh fada leis an gceann is</span>
<lb n="2713"/><span>giorra acu.</span></p>
<lb n="2714"/>
<lb n="2715"/><p><span>Caithfidh an mac léighinn gach uile thairisgint díobh seo</span>
<lb n="2716"/><span>a thógáil ina leabhar féin, agus é dhá bhfoghluim agus ní mór</span>
<lb n="2717"/><span>figiúirí a bheith tarraingthe chomh ceart agus is féidir é.</span>
<lb n="2718"/></p>
</div>
<pb n="73"/>
<div><lb n="2719"/><p><span>TAIRISGINT 25. — CEIST.</span></p>
<lb n="2720"/>
<lb n="2721"/><p><span>Triantán a thógáil a mbeidh a thrí shleasa chomh</span>
<lb n="2722"/><span>fada le trí línte díreacha áirithe, agus aon dá líne</span>
<lb n="2723"/><span>dhíobh-san, i n-éineacht, a bheith níos fuide ná an</span>
<lb n="2724"/><span>tríomhadh ceann.</span></p>
<lb n="2725"/>
<lb n="2726"/><p><span>Is iad r, o, p na trí línte díreacha áirithe.</span></p>
<lb n="2727"/>
<lb n="2728"/><p><span>Tógáil.  Tarraing an líne díreach AF, agus gearr cuid</span>
<lb n="2729"/><span>de .i. AB a bheas chomh fada le p.</span></p>
<lb n="2730"/>
<lb n="2731"/><p><span>Déan lár cearcaill d'A, agus fad o de gha uaidh,</span>
<lb n="2732"/><span>tarraing stuagh an chearcaill.</span></p>
<lb n="2733"/>
<lb n="2734"/><p><span>Déan lár-phoinnte eile de B, agus fad r de gha uaidh,</span>
<lb n="2735"/><span>tarraing an stuagh eile agus gearradh sé an ceann tosaigh</span>
<lb n="2736"/><span>sa bpoinnte C.</span></p>
<lb n="2737"/>
<lb n="2738"/><p><span>Ceangail A de C agus B de C.</span></p>
<lb n="2739"/>
<lb n="2740"/><p><span>Isé ABC an triantán a bhí ag teastáil, mar tá na</span>
<lb n="2741"/><span>sleasa chomh fada le na línte áirithe .i. AB agus p comhada,</span>
<lb n="2742"/><span>AC agus o comhada, agus BC agus r comhada.</span></p>
<lb n="2743"/>
<lb n="2744"/><p><span>Nota. — Maran fuide o, r as a chéile ná p, nó maran</span>
<lb n="2745"/><span>giorra ná p a bhfuil d'fhad ag o ar r, chífear an dá</span>
<lb n="2746"/><span>chearcall a bhfuil A agus B mar dhá lár ionnta nach ngearrfa</span>
<lb n="2747"/><span>siad a chéile.</span></p>
<lb n="2748"/>
<lb n="2749"/><p><span>Dhá gcríochnuightí an dá chearcall ghearrfaidís a chéile</span>
<lb n="2750"/><span>arís an taobh eile de AB; ionnus gur féidir dhá thriantán</span>
<lb n="2751"/><span>chomhfheileamhnacha fhagháil, ón tógáil, agus iad araon ag</span>
<lb n="2752"/><span>coimhlíonadh na gcoingheall.</span>
<lb n="2753"/></p>
</div>
<pb n="74"/>
<div><lb n="2754"/><p><span>TAIRISGINT 26. — CEIST.</span></p>
<lb n="2755"/>
<lb n="2756"/><p><span>Dhá leith a dhéanamh d'uillinn áirithe.</span></p>
<lb n="2757"/>
<lb n="2758"/><p><span>Isí BAC an uille áirithe a bhfuil dhá leith le déanamh dhi.</span></p>
<lb n="2759"/>
<lb n="2760"/><p><span>Tógáil.  Fágh fad ar bith ón lár A mar gha, agus tarraing</span>
<lb n="2761"/><span>stuagh cearcaill agus gearradh sé AB sa bpoinnte D, agus AC</span>
<lb n="2762"/><span>sa bpoinnte E.</span></p>
<lb n="2763"/>
<lb n="2764"/><p><span>Fágh dhá gha agus fad comhgarach comhada ar bith ionnta, ón</span>
<lb n="2765"/><span>dá lár D agus E, agus tarraing dhá stuagh dhá chearcall agus gearr-</span>
<lb n="2766"/><span>aidís a chéile sa bpoinnte F.</span></p>
<lb n="2767"/>
<lb n="2768"/><p><span>Ceangail A d' F.</span></p>
<lb n="2769"/>
<lb n="2770"/><p><span>Beidh dhá leith déanta den uillinn innsin ag AF.</span></p>
<lb n="2771"/>
<lb n="2772"/><p><span>Cruthú.  Ceangail D d'F, agus E d' F.</span></p>
<lb n="2773"/>
<lb n="2774"/><p><span>Insan dá thriantán ADF, AEF.</span></p>
<lb n="2775"/>
<lb n="2776"/><p><span>AD agus AE comhada</span>
<lb n="2777"/><span>tá DF agus EF agus</span>
<lb n="2778"/><span>AF mar shlios choitcheann leo araon</span></p>
<lb n="2779"/>
<lb n="2780"/><p><span>tá na triantáin comhmhór ar gach uile bhealach;</span></p>
<lb n="2781"/>
<lb n="2782"/><p><span>tá an uille DAF agus an uille EAF comhmhór;</span></p>
<lb n="2783"/>
<lb n="2784"/><p><span>sé sin, déanann AF dhá leith den uillinn BAC.</span>
<lb n="2785"/></p>
</div>
<pb n="75"/>
<div><lb n="2786"/><p><span>TAIRISGINT 27. — CEIST.</span></p>
<lb n="2787"/>
<lb n="2788"/><p><span>Dhá leith a dhéanamh de líne díreach áirithe.</span></p>
<lb n="2789"/>
<lb n="2790"/><p><span>Isé AB an líne áirithe a bhfuil dhá leith le déanamh dhe</span></p>
<lb n="2791"/>
<lb n="2792"/><p><span>Tógáil.  Déan dhá lár-phoinnte d'A agus de B, agus fad dhá</span>
<lb n="2793"/><span>gha chomhgaracha chomhada ar bith uatha tóg an dá chearcall</span>
<lb n="2794"/><span>a ghearrfas a chéile ag na poinntí C, D.</span></p>
<lb n="2795"/>
<lb n="2796"/><p><span>Ceangail C agus D dá chéile agus gearradh an líne AB ag M.</span></p>
<lb n="2797"/>
<lb n="2798"/><p><span>Beidh dhá leith déanta d' AB sa bpoinnte M.</span></p>
<lb n="2799"/>
<lb n="2800"/><p><span>Cruthú.  Ceangail A de C, B de C, A de D' B de D.</span></p>
<lb n="2801"/>
<lb n="2802"/><p><span>Insan dá thriantán ACD, BCD,</span></p>
<lb n="2803"/>
<lb n="2804"/><p><span>AC agus BC comhada,</span>
<lb n="2805"/><span>tá AD agus BD comhada,</span>
<lb n="2806"/><span>CD mar shlios choitcheann leo araon;</span></p>
<lb n="2807"/>
<lb n="2808"/><p><span>tá an uille ACD agus an uille BCD comhmhór.  Tair. 7</span></p>
<lb n="2809"/>
<lb n="2810"/><p><span>Agus insan dá thriantán ACM, BCM,</span></p>
<lb n="2811"/>
<lb n="2812"/><p><span>AC agus BC comhada,</span>
<lb n="2813"/><span>tá CM mar shlios choitcheann leo araon,</span>
<lb n="2814"/><span>an dá uillinn ACM, BCM comhmhór</span></p>
<lb n="2815"/>
<lb n="2816"/><p><span>tá AM agus BM comhada;  Tair. 4.</span></p>
<lb n="2817"/>
<lb n="2818"/><p><span>sé sin, tá dhá leith déanta d'AB sa bpoinnte M.</span>
<lb n="2819"/></p>
</div>
<pb n="76"/>
<div><lb n="2820"/><p><span>TAIRISGINT 28. — CEIST.</span></p>
<lb n="2821"/>
<lb n="2822"/><p><span>Líne díreach a tharraint ó phoinnte áirithe i líne</span>
<lb n="2823"/><span>díreach áirithe agus ingearach leis.</span></p>
<lb n="2824"/>
<lb n="2825"/><p><span>Isé AB an líne díreach áirithe agus P an poinnte áirithe</span>
<lb n="2826"/><span>ann ó n-a bhfuil an t-ingear le tarraint le AB.</span></p>
<lb n="2827"/>
<lb n="2828"/><p><span>Tógáil.  Bain dhá ghiota chomhada PE, PF de AB ón</span>
<lb n="2829"/><span>lár P.  Fágh dhá gha chomhgaracha chomhada ag síneadh ón dá</span>
<lb n="2830"/><span>lár E, F agus gearradh an dá gha a chéile sa bpoinnte C.</span></p>
<lb n="2831"/>
<lb n="2832"/><p><span>Ceangail P agus C dá chéile.</span></p>
<lb n="2833"/>
<lb n="2834"/><p><span>Isé PC an t-ingear á bhí ag teastáil.</span></p>
<lb n="2835"/>
<lb n="2836"/><p><span>Cruthú.  Ceangail E de C agus F de C.</span></p>
<lb n="2837"/>
<lb n="2838"/><p><span>Ins an dá thriantán EPC, FPC,</span></p>
<lb n="2839"/>
<lb n="2840"/><p><span>PE agus 'PF comhada.</span>
<lb n="2841"/><span>tá PC mar shlios choitcheann leo araon,</span>
<lb n="2842"/><span>EC agus FC comhada;</span></p>
<lb n="2843"/>
<lb n="2844"/><p><span>tá an uille CPE agus an uille CPF comhmhór.</span></p>
<lb n="2845"/>
<lb n="2846"/><p><span>Tair. 7.</span></p>
<lb n="2847"/>
<lb n="2848"/><p><span>Ach is dhá uillinn chomhgaracha iad-san;</span></p>
<lb n="2849"/>
<lb n="2850"/><p><span>is dhá dhronuillinn iad.</span></p>
<lb n="2851"/>
<lb n="2852"/><p><span>tá PC ingearach le AB.</span></p>
<lb n="2853"/>
<lb n="2854"/><p><span>Modh Eile.  Fágh poinnte ar bith, O cuir i gcás, amach</span>
<lb n="2855"/><span>ó AB.  Fad OP de gha amach ón lár O tóg cearcall agus</span></p>
</div>
<pb n="77"/>
<div><lb n="2856"/><p><span>gearradh sé AB sa bpoinnte D.  Ceangail D d'O agus leig</span>
<lb n="2857"/><span>leis go dtí an tin cheallaí thall sa bpoinnte C.  Ceangail</span>
<lb n="2858"/><span>P de C.  Beidh C ingearach le AB.</span></p>
<lb n="2859"/>
<lb n="2860"/><p><span>Cruthú.  Ceangail O de P.</span></p>
<lb n="2861"/>
<lb n="2862"/><p><span>tá an uille CPB chomh mór leis an dá uillinn CDP, DCP,</span>
<lb n="2863"/><span>i n-éineacht, Tair. 21.</span></p>
<lb n="2864"/>
<lb n="2865"/><p><span>ach tá an dá uillinn ODP, OPD comhmhór, agus Tair. 5</span>
<lb n="2866"/><span>tá an dá uillinn OPC, OCP comhmhór;</span></p>
<lb n="2867"/>
<lb n="2868"/><p><span>tá an uille CPB agus an uille CPD comhmhór;</span></p>
<lb n="2869"/>
<lb n="2870"/><p><span>ach is dhá uillinn chomhgaracha iad;</span></p>
<lb n="2871"/>
<lb n="2872"/><p><span>uime sin tá CP ingearach le AB.</span></p>
<lb n="2873"/>
<lb n="2874"/><p><span>TAIRISGINT 29. — CEIST.</span></p>
<lb n="2875"/>
<lb n="2876"/><p><span>Líne díreach a tharraint ingearach le líne díreac</span>
<lb n="2877"/><span>áirithe agus ó phoinnte áirithe amach uaidh.</span>
<lb n="2878"/></p>
</div>
<pb n="78"/>
<div><lb n="2879"/><p><span>Isé AD an líne díreach áirithe agus ise P an poinnte</span>
<lb n="2880"/><span>amach uaidh a bhfuil an t-ingear le tarraint uaidh go dtí</span>
<lb n="2881"/><span>AB.</span></p>
<lb n="2882"/>
<lb n="2883"/><p><span>Tógáil.  Tarraing ga ón lár P agus fad áiseach ann,</span>
<lb n="2884"/><span>agus tóg cearcall a ghearrfas AB san dá phoinnte C, D.</span></p>
<lb n="2885"/>
<lb n="2886"/><p><span>Dhá gha áiseacha chomhada a bheith agad agus dhá lár C, D,</span>
<lb n="2887"/><span>tarraing dhá stuagh agus gearraidís a chéile sa bpoinnte O.</span></p>
<lb n="2888"/>
<lb n="2889"/><p><span>Ceangail P d'O agus gearradh sé an líne AB sa bpoinnte L.</span></p>
<lb n="2890"/>
<lb n="2891"/><p><span>Isé PL innsin an t-ingear a bhí a' teastáil.</span></p>
<lb n="2892"/>
<lb n="2893"/><p><span>Cruthú.  Ceangail C de P, agus D de P, agus C d'O agus D d'O.</span></p>
<lb n="2894"/>
<lb n="2895"/><p><span>Insan dá thriantán CPO, DPO,</span>
<lb n="2896"/><span>CP agus DP comhada,</span>
<lb n="2897"/><span>tá CO agus DO</span>
<lb n="2898"/><span>PO 'na shlios choitcheann eatortha;</span></p>
<lb n="2899"/>
<lb n="2900"/><p><span>tá an uille CPO agus an uille DPO comhmhór.</span></p>
<lb n="2901"/>
<lb n="2902"/><p><span>Tair. 7.</span></p>
<lb n="2903"/>
<lb n="2904"/><p><span>Agus insan dá thriantán CPL, DPL,</span>
<lb n="2905"/><span>CP agus DP comhada,</span>
<lb n="2906"/><span>tá PL na shlios choitcheann eatortha,</span>
<lb n="2907"/><span>an uille CPL agus an uille DPL comhmhór;</span></p>
<lb n="2908"/>
<lb n="2909"/><p><span>tá an uille CLP agus an uille DLP comhmhór.  Tair. 4.</span></p>
<lb n="2910"/>
<lb n="2911"/><p><span>Ach is dhá uillinn chomhgaracha iad sin;</span></p>
<lb n="2912"/>
<lb n="2913"/><p><span>is dhá dhronuillinn iad.</span></p>
<lb n="2914"/>
<lb n="2915"/><p><span>tá PL ingearach le AB.</span></p>
<lb n="2916"/>
<lb n="2917"/><p><span>Modh Eile.  Isé AB an líne díreach áirithe agus C an</span>
<lb n="2918"/><span>poinnte áirithe.  (Mar tá an fig. san Modh Eile, Tair. 28.)</span></p>
<lb n="2919"/>
<lb n="2920"/><p><span>Tógáil.  Poinnte áiseach ar bith, mar D, sa líne</span>
<lb n="2921"/><span>AB, ceangail C dhe.</span></p>
<lb n="2922"/>
<lb n="2923"/><p><span>Déan dhá leith de CD sa bpoinnte O.</span></p>
<lb n="2924"/>
<lb n="2925"/><p><span>An lár O a bheith ann agus an fhad OC mar gha, tarraing cear-</span>
<lb n="2926"/><span>call a ghearrfas AB sa bpoinnte P.  Ceangail C de P.</span></p>
<lb n="2927"/>
<lb n="2928"/><p><span>Beidh CP ingearach le AB.</span></p>
<lb n="2929"/>
<lb n="2930"/><p><span>Cruthú.  Mar tá sé i dTair. 28, Modh Eile.</span>
<lb n="2931"/></p>
</div>
<pb n="79"/>
<div><lb n="2932"/><p><span>TAIRISGINT 30. — CEIST.</span></p>
<lb n="2933"/>
<lb n="2934"/><p><span>Uille a thógáil i bpoinnte áirithe i líne díreach</span>
<lb n="2935"/><span>áirithe agus í bheith chomh mór le uillinn áirithe.</span></p>
<lb n="2936"/>
<lb n="2937"/><p><span>Isé P an poinnte áirithe insan líne díreach áirithe DE</span>
<lb n="2938"/><span>a bhfuil uille le cur air a bheas chomh mór leis an uillinn</span>
<lb n="2939"/><span>áirithe BAC.</span></p>
<lb n="2940"/>
<lb n="2941"/><p><span>Tógáil.  Fágh dhá fhad chomhgaracha chomhada, mar dhá gha,</span>
<lb n="2942"/><span>ón dá lár A, P, agus tóg an dá stuagh FG, OR leo agus gearradh</span>
<lb n="2943"/><span>na stuagha na línte AB, AC, PE insna poinntí F, G, O.</span>
<lb n="2944"/><span>Tóg O mar lár agus ga chomh fada le FG agus tarraing stuagh</span>
<lb n="2945"/><span>a ghearrfas an stuagh OR sa bpoinnte R.</span></p>
<lb n="2946"/>
<lb n="2947"/><p><span>Ceangail P d'R.</span></p>
<lb n="2948"/>
<lb n="2949"/><p><span>Isí an uille OPR an uille bhí a' teastáil.</span></p>
<lb n="2950"/>
<lb n="2951"/><p><span>Cruthú.  Ceangail F do G agus O d'R.</span></p>
<lb n="2952"/>
<lb n="2953"/><p><span>Insan dá thriantán FAG, OPR,</span></p>
<lb n="2954"/>
<lb n="2955"/><p><span>AF agus PO comhada</span>
<lb n="2956"/><span>tá AG agus PR</span>
<lb n="2957"/><span>FG agus OR</span></p>
<lb n="2958"/>
<lb n="2959"/><p><span>tá an uille FAG agus an uille OPR comhmhór, Tair. 7.</span>
<lb n="2960"/><span>isé sin, tá an uille EPR agus an uille BAC comhmhór.</span>
<lb n="2961"/></p>
</div>
<pb n="80"/>
<div><lb n="2962"/><p><span>TAIRISGINT 31. — CEIST.</span>
<lb n="2963"/><span>Tarraing líne díreach thré phoinnte áirithe agus bíodh sé</span>
<lb n="2964"/><span>comhthreormhar le líne díreach áirithe.</span></p>
<lb n="2965"/>
<lb n="2966"/><p><span>Isé AB an líne díreach áirithe agus P an poinnte áirithe</span>
<lb n="2967"/><span>a bhfuil líne díreach le tarraint thríd a bheas comhthreor-</span>
<lb n="2968"/><span>mhar le AB.</span></p>
<lb n="2969"/>
<lb n="2970"/><p><span>Tógáil.  Fágh poinnte ar bith, C, sa líne AB, agus</span>
<lb n="2971"/><span>ceangail C de P.</span></p>
<lb n="2972"/>
<lb n="2973"/><p><span>Tarraing an stuagh PD ar an nga CP agus thart ar an lár C.</span></p>
<lb n="2974"/>
<lb n="2975"/><p><span>Tarraing an stuagh CO ar an nga PC agus thart ar an lár P</span>
<lb n="2976"/><span>Ceangail DP.</span></p>
<lb n="2977"/>
<lb n="2978"/><p><span>Thart ar an lár C agus ar gha chomh fada le DP, tarraing</span>
<lb n="2979"/><span>stuagh a ghearrfas an stuagh CO sa bpoinnte O.</span></p>
<lb n="2980"/>
<lb n="2981"/><p><span>Ceangail O agus P dá chéile.</span></p>
<lb n="2982"/>
<lb n="2983"/><p><span>Beidh OP comhthreormhar le AB innsin.</span></p>
<lb n="2984"/>
<lb n="2985"/><p><span>Cruthú.  Insan dá thriantán DCP, OPC,</span></p>
<lb n="2986"/>
<lb n="2987"/><p><span>CD agus PO comhada,</span>
<lb n="2988"/><span>tá CP mar shlios choitcheanta leo araon,</span>
<lb n="2989"/><span>DP agus CO comhada</span></p>
<lb n="2990"/>
<lb n="2991"/><p><span>tá an uille DCP agus an uille OPC comhmhór;  Tair. 7.</span>
<lb n="2992"/><span>agus is dhá uillinn umthanacha iad-san;</span></p>
<lb n="2993"/>
<lb n="2994"/><p><span>tá OP agus AB comhthreormhar.  Tair. 18.</span></p>
<lb n="2995"/>
<lb n="2996"/><p><span>An Dara Modh.  Nó is forusta a chruthú leis an</span>
<lb n="2997"/><span>bhfíorchearn, mar tá sé i gCleachta a XII., go bhfuil.</span>
<lb n="2998"/><span>na línte díreacha comhthreormhar.</span>
<lb n="2999"/></p>
</div>
<pb n="81"/>
<div><lb n="3000"/><p><span>TAIRISGINT 32. — CEIST.</span></p>
<lb n="3001"/>
<lb n="3002"/><p><span>Uimhir ar bith de chodcha chomhada a dhéanamh de líne</span>
<lb n="3003"/><span>dhíreach.</span></p>
<lb n="3004"/>
<lb n="3005"/><p><span>Isé AB an líne díreach áirithe a bhfuil chúig roinn, cuir</span>
<lb n="3006"/><span>i gcás, le déanamh dhe.</span></p>
<lb n="3007"/>
<lb n="3008"/><p><span>Tógáil.  Tarraing AL ó A agus déanadh sé uille le AB.</span></p>
<lb n="3009"/>
<lb n="3010"/><p><span>Déan chúig chuid chomhada chomhgaracha d'AL .i. AP, PO,</span>
<lb n="3011"/><span>OR, RS, ST.</span></p>
<lb n="3012"/>
<lb n="3013"/><p><span>Ceangail B de T.</span></p>
<lb n="3014"/>
<lb n="3015"/><p><span>Tarraing línte thré P, O, R, S, comhthreormhar le TB agus</span>
<lb n="3016"/><span>tigdís ar AB insna poinntí C, D, E, F.</span></p>
<lb n="3017"/>
<lb n="3018"/><p><span>Tá chúig chuid chomhada déanta d'AB innsin.</span></p>
<lb n="3019"/>
<lb n="3020"/><p><span>Cruthú.  Tarraing MN thré A comhthreormhar le TB.</span></p>
<lb n="3021"/>
<lb n="3022"/><p><span>Na heidirlínte AP, PO, OR, RS, ST atá déanta ag</span>
<lb n="3023"/><span>na sé línte díreacha comhthreormhara ar an treasnachán</span>
<lb n="3024"/><span>AL tá siad comhada;</span></p>
<lb n="3025"/>
<lb n="3026"/><p><span>na heidirlínte AC, CD, DE, EF, FB a rinneadh</span>
<lb n="3027"/><span>ar an treasnachán A.B tá siad comhada.</span></p>
<lb n="3028"/>
<lb n="3029"/><p><span>Uime sin tá chúig roinn chomhada déanta d'AB.</span>
<lb n="3030"/></p>
</div>
<pb n="82"/>
<div><lb n="3031"/><p><span>TAIRISGINT 33. — CEIST.</span></p>
<lb n="3032"/>
<lb n="3033"/><p><span>Cearnóg a thógáil ar líne díreach áirithe.</span></p>
<lb n="3034"/>
<lb n="3035"/><p><span>Isé AB an líne díreach áirithe.</span></p>
<lb n="3036"/>
<lb n="3037"/><p><span>Cearnóg a thógáil agus an líne áirithe AB a bheith mar</span>
<lb n="3038"/><span>shlios dá sleasaibh.</span></p>
<lb n="3039"/>
<lb n="3040"/><p><span>Tógáil.  Tarraing AL ó A ingearach le AB.</span></p>
<lb n="3041"/>
<lb n="3042"/><p><span>Bain an giota AD d'AL, agus bíodh sé féin agus AB comhada.</span></p>
<lb n="3043"/>
<lb n="3044"/><p><span>Tarraing BC thré B comhthreormhar le AL, agus tarraing</span>
<lb n="3045"/><span>DC thré D comhthreormhar le AB.</span></p>
<lb n="3046"/>
<lb n="3047"/><p><span>Isí ABCD an chearnóg a bhí ag teastáil.</span></p>
<lb n="3048"/>
<lb n="3049"/><p><span>Cruthú.  Is treolínteán é ABCD agus is dronuille í</span>
<lb n="3050"/><span>an uille A,</span></p>
<lb n="3051"/>
<lb n="3052"/><p><span>is dronuilleog í ABCD.</span></p>
<lb n="3053"/>
<lb n="3054"/><p><span>Agus na sleasa comhgaracha AB, AD, tá siad comhada,</span></p>
<lb n="3055"/>
<lb n="3056"/><p><span>is cearnóg í ABCD.</span></p>
<lb n="3057"/>
<lb n="3058"/><p><span>CLEACHTA XXVII.</span></p>
<lb n="3059"/>
<lb n="3060"/><p><span>DO RÉIR FEIDHME.</span></p>
<lb n="3061"/>
<lb n="3062"/><p><span>1.  Dhá phoinnte A, B atá 3 hórlaí óna chéile; agus fágh</span>
<lb n="3063"/><span>poinnte eile atá 2 órlach ó A agus 1.5 ór. ó B.  Cé mhéad</span>
<lb n="3064"/><span>poinnte díobh-san ann?</span></p>
<lb n="3065"/>
<lb n="3066"/><p><span>2.  Líne díreach ar bith agus an poinnte P, atá 4cm. uaidh.</span>
<lb n="3067"/><span>Fágh poinntí atá 7cm. ón líne agus 5cm. ó P.  Na poinntí</span></p>
</div>
<pb n="83"/>
<div><lb n="3068"/><p><span>a fríth do choimhlíonadh na gcoingheall cén fhad atá</span>
<lb n="3069"/><span>eatortha?</span></p>
<lb n="3070"/>
<lb n="3071"/><p><span>3.  Tarraing triantán a mbeidh na sleasa atá leis</span>
<lb n="3072"/><span>6cm., 7 gcm., agus 8 gcm.  Cá háit ar an slios atá</span>
<lb n="3073"/><span>7 gcm. a bhfuil an poinnte atá comhada ó na sleasa eile,</span>
<lb n="3074"/><span>agus tomhais na gearrthóga atá déanta den tslios ag an</span>
<lb n="3075"/><span>bpoinnte.  'Sbáin cé'n chaoi an bhféadfaí poinnte eile</span>
<lb n="3076"/><span>fháil (ar an bhfad a curtar as an slios sin) atá comhada</span>
<lb n="3077"/><span>ó n-a sleasa eile.</span></p>
<lb n="3078"/>
<lb n="3079"/><p><span>4.  Tarraing an dá líne AB, CD dronuillinneach le</span>
<lb n="3080"/><span>chéile agus tigdís ar a chéile sa bpoinnte O.  Cá bhfuil an</span>
<lb n="3081"/><span>poinnte atá 2 órlach ó AB agus 1.5 ór. ó CD?  Cé mhéad</span>
<lb n="3082"/><span>poinnte de na poinntí sin ann?  Cáide ó O gach ceann</span>
<lb n="3083"/><span>acu?</span></p>
<lb n="3084"/>
<lb n="3085"/><p><span>5.  Tarraing triantán comhshleasach agus gach slios de</span>
<lb n="3086"/><span>7.5cm. agus fágh amach cá háit ar shlios de a bhfuil an poinnte</span>
<lb n="3087"/><span>atá 4.5cm. ó shlios eile.  Tomhais cé n fhad ón tríomhadh</span>
<lb n="3088"/><span>slios an poinnte sin.</span></p>
<lb n="3089"/>
<lb n="3090"/><p><span>6.  Tarraing triantán comhshleasach agus gach slios de</span>
<lb n="3091"/><span>3 hórlaí ar fad agus fágh amach cén áit istigh ann a bhfuil</span>
<lb n="3092"/><span>an poinnte atá 1.4 ór. ó shlios agus 1.2 ór. ó shlios eile.</span>
<lb n="3093"/><span>Tomhais cé'n fhad ón tríomhadh slios an poinnte.</span></p>
<lb n="3094"/>
<lb n="3095"/><p><span>7.  Tóg triantán géaruillinneach agus triantán maol</span>
<lb n="3096"/><span>uillinneach, bíodh an uille A 45 grádha, bíodh AB 3.2</span>
<lb n="3097"/><span>órlaí, agus BC 2.4 órlaí.  Tomhais cén mhéid atá san</span>
<lb n="3098"/><span>uillinn C ins gach triantán díobh.</span></p>
<lb n="3099"/>
<lb n="3100"/><p><span>8.  Tóg triantán a mbeidh AB 3 hór., AC 2.4 ór., agus</span>
<lb n="3101"/><span>BC 1.8 ór.  Fágh amach cén áit ar AC agus ar an bhfad a</span>
<lb n="3102"/><span>cuireadh as AC a bhfuil dhá phoinnte atá comhada ó AB agus ó</span>
<lb n="3103"/><span>BC.  Cáide ó AB iad?</span></p>
<lb n="3104"/>
<lb n="3105"/><p><span>9.  Tarraing triantán agus na sleasa atá leis 6.5cm.,</span>
<lb n="3106"/><span>7cm., agus 7.5cm.  Cá bhfuil an poinnte atá comhada</span>
<lb n="3107"/><span>ó na reanna agus tomhais cén fhad ó na reanna é.</span></p>
<lb n="3108"/>
<lb n="3109"/><p><span>10.  Tarraing triantán eile agus na sleasa atá leis 6.5</span>
<lb n="3110"/><span>cm., 7cm., agus 7.5cm.  Cá bhfuil an poinnte, istigh sa</span></p>
</div>
<pb n="84"/>
<div><lb n="3111"/><p><span>triantán, atá comhada ó na trí sleasa agus tomhais cén fhad</span>
<lb n="3112"/><span>é ó gach slios.</span></p>
<lb n="3113"/>
<lb n="3114"/><p><span>11.  Tarraing triantán agus na sleasa an fhad seo:</span>
<lb n="3115"/><span>BC 2 órlach, AC 1.5 órlach, AB 2.5 órlach.  Leig leis na</span>
<lb n="3116"/><span>sleasa AB, AC agus fágh amach cén áit istigh i ngéaga na</span>
<lb n="3117"/><span>huillinne A a bhfuil dhá phoinnte atá comhada ó shleasa an</span>
<lb n="3118"/><span>triantáin.  Tomhais cén fhad é ó na sleasa go dtí na</span>
<lb n="3119"/><span>poinntí sin.</span></p>
<lb n="3120"/>
<lb n="3121"/><p><span>12.  Tóg an triantán ABC agus AB 5 órlaí, agus</span>
<lb n="3122"/><span>C 2.4 órlach ó AB,. agus C 2.5 órlach ó lár-phoinnte AB.</span>
<lb n="3123"/><span>Tomhais cén fhad AC agus BC.</span></p>
<lb n="3124"/>
<lb n="3125"/><p><span>CLEACHTA XXVIII.</span></p>
<lb n="3126"/>
<lb n="3127"/><p><span>1.  Líne áirithe é AB agus poinnte áirithe amach uaidh é P.</span>
<lb n="3128"/><span>Togh poinnte ar bith ar AB, O cuir i gcás, agus ceangail do</span>
<lb n="3129"/><span>P é.  Leig le OP go dtí R agus bíodh OP agus PR comhada.  Cá</span>
<lb n="3130"/><span>bhfuil rian-phoinnte R, agus O ag gluaiseacht ar feadh AB?</span></p>
<lb n="3131"/>
<lb n="3132"/><p><span>2.  Líne áirithe é AB agus poinnte áirithe amach uaidh é O</span>
<lb n="3133"/><span>Togh poinnte ar bith ar AB, N cuir i gcás, agus ceangail</span>
<lb n="3134"/><span>d'O é.  Cá bhfuil rian-phoinnte M, sin é lár-phoinnte</span>
<lb n="3135"/><span>ON, agus N ag gluaiseacht ar feadh AB?</span></p>
<lb n="3136"/>
<lb n="3137"/><p><span>3.  Líne áirithe é EF agus poinnte áirithe amach uaidh é B.</span>
<lb n="3138"/><span>Ceangail B do phoinnte ar bith atá ar EF, do C cuir i</span>
<lb n="3139"/><span>gcás, agus leig le BC go D agus bíodh C.D agus BC comhada.  Cá</span>
<lb n="3140"/><span>bhfuil rian-phoinnte D, agus C ag gluaiseacht ar feadh EF.</span></p>
<lb n="3141"/>
<lb n="3142"/><p><span>4.  Dhá phoinnte áirithe iad A, B.  Tarraing líne</span>
<lb n="3143"/><span>díreach ar bith thré A agus tarraing BL ingearach leis.  Cá</span>
<lb n="3144"/><span>bhfuil rian-phoinnte L, agus A.L ag casadh thart timcheall</span>
<lb n="3145"/><span>ar A?  (Féach ceist a 7 Cl..  XXIV.).</span></p>
<lb n="3146"/>
<lb n="3147"/><p><span>5.  Dhá líne dhíreacha iad DE, DF agus iad dronuillinneach</span>
<lb n="3148"/><span>le n-a chéile sa bpoinnte D.  Dhá phoinnte iad A, B,</span>
<lb n="3149"/><span>atá ag gluaiseacht ar feadh DE, DF agus 4 hórlaí d'fhad i</span>
<lb n="3150"/><span>gcomhnuidhe eatortha.  Cá bhfuil rian-phoinnte de lár-</span>
<lb n="3151"/><span>phoinnte AB?</span>
<lb n="3152"/></p>
</div>
<pb n="85"/>
<div><lb n="3153"/><p><span>6.  Poinnte istigh i gcearcall é P.  Lár-phoinntí na</span>
<lb n="3154"/><span>línte díreacha a tarraingightar ó P go dtí an tim</span>
<lb n="3155"/><span>cheallaí, cá bhfuil a rian-phoinntí sin (1) nuair isé P lár</span>
<lb n="3156"/><span>an chearcaill, nuair (2) nach é P lár an chearcaill?</span></p>
<lb n="3157"/>
<lb n="3158"/><p><span>7.  Líne díreach é AB agus é ag gearradh cearcaill</span>
<lb n="3159"/><span>áirithe, agus poinnte istigh sa gcearcall é P.  Sbáin cén</span>
<lb n="3160"/><span>chaoi a dtarraingeofaí líne díreach CD, thré P, ceann</span>
<lb n="3161"/><span>de a bheith ar AB agus an ceann eile dhe ar an timcheallaí,</span>
<lb n="3162"/><span>agus CP agus DP a bheith comhada.  Cé mhéad líne dhíobh is féidir</span>
<lb n="3163"/><span>a tharraint?  An féidir an cheist a réiteach i gcomhnuidhe?</span>
<lb n="3164"/></p></div></body></text></TEI>
Historical Irish Corpus
1600 - 1926

Tús na Céimseatan - Leabhar a hAon

Search Texts

Historical Irish Corpus1600 - 1926

Tús na Céimseatan - Leabhar a hAon

Search Texts

Historical Irish Corpus
1600 - 1926
