Algéber i nGaedhilg.

II.

30. AN DEALUGHADH.

Má's rud é go bhfuil orainn diorna a dhealughadh nó a bhaint
as diorna eile, cuir i gcás b as a, is mar so a réidhtighthear an
obair: a-b.

Dá bhrígh sin,

Má tá orainn diorna breise ar bith, mar b, a dhealughadh nó
a bhaint as a, is follus gur féidir sin a dhéanamh, acht an chomh-
artha atá roimh b d'athrughadh, nuair a bhéas a-b againn.

Ar an nós céadna,

31. Má tá orainn diorna mar b+c a dhealughadh nó a bhaint
as a, is follus nach mór dhúinn an comhartha roimh b agus c
d'athrughadh, is an obair a leagan amach mar seo: a-b-c, de
bhrigh gur "lugha" a bhéas fágtha de bharr b+c a bhaint as a 'ná
gan baint as acht b amháin.

32. Acht má baintear b - c as a, béidh orainn na diornaí a
chórughadh mar seo: a-b+c, de bhrigh gur "mó" bheadh fágtha

de'n diorna a an diorna b-c a baint as 'ná bheadh dá mbaintí
b+c as.

Riaghail: Chun dornán a dhealughadh nó a bhaint as dornán
eile, athruigh na comharthaí dá bhfuil roimh gach uile roinn ins an
dornán, agus bisigh an dá dornán le chéile mar déantar i
mBiseacht, 29 thuas. (Féach IRISLEABHAR na Bealtaine).

Sompla 1:

Dealuigh … ó …

'Ghá gcórughadh mar seo, is ag athrughadh na gcomharthaí, tá
againn

Sompla 2:

Fáigh iomlán … agus … agus dealuigh an
toradh ó …

Réidhtigh mar seo iad, agus bisigh:

an t-iomlán.

'Ghá réidhteach mar seo annsin:
…
…
… =
(agus na comharthaí aca athruighthe)

an toradh.

33. Is gnáthach go réidhtighthear litreacha an dornáin de
réir ord na haibghitreach, i dtús na hoibre; d'éis beagán
taithighe, ní bhéidh ar an mac léighinn na comhartha d'athrughadh acht
amháin i 'na mheamhair.

34. AN MÉADUGHADH, NÓ AN tIOMADUGHADH.

Is ionann an méadughadh is uimhir a mhéadughadh an oiread so
uaireanta léi féin, nó le uimhir ar bith eile.

'Sé is brígh do axb go bhfuil iomlán a (cia'r bith tairbhe atá
ceaptha dhó) le bheith méaduighthe b uaireanta, nó iomlán b (cia'r
bith tairbhe atá ceaptha dhó) le bheith méadaighthe a uaireanta.

Dá bhrigh sin, is ionann axb agus b+b+b (a uair-

eanta), nó a+a+a+ … (b uaireanta). Agus, 'ghá réir
sin, is ionann axb agus bxa agus is ionann ab is ba, mar
dubhradh thuas 6.

35. Acht má tá na comharthaí roimh dhiornaibh den chineál so
éagsamhail, béidh an toradh 'na dhiorna easnaimh.

Cuir i gcás: Is ionann ax-b (.i. a móide méadaighthe fó
b lughaide) agus -ab. Ar an nós gcéadna, is ionann -axb
agus -ab.

Arís: Is ionann -ax-b agus ab; mar is ionann -ax-b
agus -a méadaighthe b uaireanta is dealaighthe; acht is ionann
-a méadaighthe b uaireanta agus -ab. Acht tá an diorna
easnaimh seo -ab le dealughadh; agus, do réir riaghal an deal-
aighthe, seasann -ab do ab.

36. Taisbeánann so go dtugann dhá dhiorna easnaimh mar
-a agus -b, méadaighthe fó na chéile, diorna breise mar
thoradh.

Dá bhrigh sin, is fíor-chinnte gur ionann

+ax+b agus +ab (.i. móide a fó mhóide b, agus móide ab)
+ax-b agus -ab (.i. móide a fó lughaide b, agus lughaide ab)
-ax-b agus +ab (.i. lughaide a fó lughaide b, agus móide ab)
-ax+b agus -ab (.i. lughaide a fó mhóide b, agus lughaide ab).

Uatha soin, chífear fírinne na riaghlach so leanas:

Dá dhíorna ar bith a bhfuil an comhartha céadna leó, is a
méaduighthear fó n-a chéile, béidh toradh breise 'ghá mbarr; acht
má bhíonn na comharthaí éagsamhail, béidh toradh easnaimh 'ghá
mbarr.

Nó 'ghá rádh so i n-aithghiorra:

Bheireann comharthaí atá cosamhail "móide" is comharthaí
atá éagsamhail "lughaide".

37. Is ionann AM X AN agus axaxa … (m uaireanta)
méadaighthe fó axaxa … (n uaireanta); agus is ionann
é seo is axaxaxa … (m+n uaireanta), 'sé sin le
rádh, am+n.

Dá bhrígh sin, nuair atá diornaí a bhfuil a gcomharthaí comh-
samhail méadaighthe fó n-a chéile, níl orainn acht na foillsí a
bhreisiughadh le chéile: cuir i gcás, is ionann a3xa2 agus a5.

38. Riaghalacha an Mhéadaighthe.

I. Nuair atá an t-iomadóir agus an t-iomad 'n-a ndornán
simplidhe: -

Riaghal: Méaduigh fó n-a chéile na héifeachta uimhreacha,
tiomsuigh na litreacha le chéile, is cuir a líon (nó a "suim")
leis an toradh uimhreach.

Sompla 1: Méadaigh 4ab fó 3c;

Is ionann so 's 4x3 = 12;

'S, ag cur na litreacha leis, tá 12abc againn mar thoradh.

Sompla 2: Méadaigh 6a2b fó -3a3b2;

Is ionann so 's 6x-3 = -18 (féach 36.).

Agus, ag cur na litreach leis so, is a gcuid follus tiom-
suighthe le chéile, do-gheibhmíd -18a5b3.

B'fhéidir an obair a réidhteach mar so:

62ab an t-iomad,
-3a3b2 an t-iomadóir.

-18a5b3 an toradh.

39. II. Nuair atá an t-iomad 'n-a dhornán comhsuidhighthe
agus an t-iomadóir 'n-a dhornán simplidhe: -

Riaghal: Méadaigh gach roinn den iomad leis an iomadóir,
ag tosughadh ar an taobh clé, agus cuir an comhartha ceart roimh
gach roinn den toradh.

Sompla: Méadaigh 3x+4y-2z le (nó fó) 2x

'Ghá réidhteach mar seo, is ag leanmhaint don riaghal thuas:

3x+4y-2z
2x

6x2+8xy-4xz an toradh.

40. III. Nuair atá an t-iomadóir agus an t-iomad 'n-a
ndornáin cómhshuidhighthe.

Riaghal: Méadaigh gach roinn den iomad le gach roinn den
iomadóir, ag tosughadh ar an taobh clé, mar deineadh cheana.
socruigh na ranna a bhfuil a gcomharthaí cosamhail fá n-a chéile;
ag breisiughadh na dtorthaí le chéile, gheobhamuid an mórthoradh,
nó an comh-iomad.

Sompla.

Méadaigh 4x2-2y3 fó 3x2+6y3.

'Ghá réidhteach mar so:

4x2-2y2 an t-iomad;
3x2 + 6y3 an t-iomadóir;

12x4 - 6x2y3 (.i. an t-iomad méadaighthe le 3x2);
+ 24x2y3 - 12y6 (.i. an t-iomad méadaighthe le 6y3);

12x4+18x2y3-12y6 = an mór-thoradh, nó an cómh-iomad.

41. Is cuma cia an t-ord nó réidhteach a bhéas ar chuideóg-
aibh an toraidh; chuir i gcás, is mar an gcéadna i dtairbhe xyz2,
x2xy, xz2y agus yz2x. Acht mara bhfuil na litreacha i rannaibh an
iomaidh is i rannaibh an iomadóra réidhtighthe do réir cúmhachtaí
ag éirighe, nó cumhachtaí ag ísliughadh, ní fuláir iad a réidhteach
amhlaidh. Cuir i gcás:

Méadaigh x2+y-2xy fó y2+2xy+x2.

'Ghá réidhteach so do réir cumhacht ag ísliughadh den litir x
("cros") is féidir an obair a leagan amach mar so:
x2-2xy+y2
x2+2xy+y2

x4-2x3y+x2y2
+2x3y+x2y2
+x2y2-2xy3+y4

x4 - 2x2y2 +y4 an toradh.

42. Is "toradh ar aghaidh" toradh trí diornaí, nó níos mó,
méadaighthe fó n-a chéile.

Cuir i gcás: Faigh "toradh ar aghaidh" na ndornán x-y
x+y, agus x2+y2.

Tá (x-y) x (x+y) comhionann le x2-y2;

Agus tá … cómh-ionann le …, an toradh
a bhí ar iarraidh.

Riaghal: Méadaigh dhá dhiorna ar bith fó n-a chéile, agus a
dtoradh leis an tríomhadh diorna, agus mar sin de; is é an
toradh deire an toradh ar aghaidh. (Féach 17.).

43. Is gnáthach go gcuirtear (nó gceangaltar) dornán

cómhshuidhighthe i lúibíní (24) chum iad a mhéadughagh fó n-a
chéile, agus annsin ní gábhadh comhartha an méadaighthe x a chur
eatorra.

Cuir i gcás …; 'ghá scaoileadh so as na
lúibínibh:

Tá …

Is ionann soin is …

an toradh.

44. Torthaí Coitcheanta 'sa Méadughadh.

Badh chóir na cumtha so leanas a choinbháil i meamhair:

Is ionann … agus …

Dá bhrígh sin,

I. Tá an dara cumhacht d'iomlán dhá dhiornal ar bith cómh-
ionann le dara cumhacht an dá dhiornal sin, breis fá dhó a
dtoradh.

Is ionann … agus …

Dá bhrígh sin:

II. Tá an dara chumhacht den difir atá idir dhá dhiorna ar
bith cómhionann le iomlán an dara chumhacht den dhá dhiorna sin,
lughaide fá dhó a dtoradh.

Is ionann … agus …

Dá bhrigh sin:

III. Tá toradh iomláine is difire dhá dhiorna ar bith cómh-
ionann leis an difir atá idir an dara cumhacht den dá dhiorna
sin.

45. Is féidir an dara cumhacht de dhornán d'fhagháil de réir
na riaghlach so leanas:

Cuir síos an dara cumhacht de dhornán d'fhagháil de réir
na riaghlach so leanas:

Cuir síos an dara cumhacht de gach roinn, agus toradh fá dhó
de gach roinn, (méadaighthe) fó gach roinn dá leanann é.

Sompla:

Faigh an dara cumhacht den dornán
…

Tá an dara cumhacht den chéad roinn comhionann le …,
Tá an dara cumhacht den dara roinn comhionann le …,
Tá an dara cumhacht den treas roinn comhionann le …,
Tá an dara cumhacht den cheathramha roinn comhionann le …,

Tá an toradh fá dhó an chéad roinn fó an dara roinn = …,
Tá an toradh fá dhó an chéad roinn fó an treas roinn = …,
Tá an toradh fá dhó an chéad roinn fó an g4adh roinn = …,
Tá an toradh fá dhó an dara roinn fó an dtreas roinn = …,
Tá an toradh fá dhó an dara roinn fó an g4adh roinn = …,
Tá an toradh fá dhó an treas roinn fó an g4adh roinn = …,

'Ghá mbailiughadh so le chéile, is 'ghá réidhteach do réir cumhacht
ag ísliughadh den litir a, chífear go bhfuil
…

TAGRA.

Ní gábhadh dhom a rádh nach ag tabhairt ceachta i nAlgéber atáim 'san alt
so; nílim acht ag iarraidh a thaisbeánadh don té a bhfuil eólas aige ar an
ealadhain seo cheana (i mBéarla, etc.) cionnus an obair a dhéanamh as Gaedhilg.
Chífear ón méid atá ráidhte thuas, agus i nIRISLEABHAR na Bealtaine, gur
féidir sin a dhéanamh réidh goleor. Mar dubhras cheana, nílim sásta leis na
téarmaibh go léir; acht níl amhras nach ndéanfaid an gnó le haghaidh na
hoibre.

Follus (pl. foillsí), index, exponent (Coney).
Mór-thoradh, complete or final product.
Comhachtaí ag éirighe, ascending powers.
Comhachtaí ag ísliughadh, descending powers.
Toradh ar aghaidh, continued product.
Comhionann, equal (in quantity, etc.).
Torthaí coitcheanta, general results or products.
Cumthaí, formulae.
Breis fá dhó, increased by twice.
Iomlán is deifir, sum and difference.
An dara cumhacht, second power, square of a quantity. I would be inclined
to write fo-chumacht for the "square" of a quantity, leaving "ceathrach" to
stand for "square root"..
Fó, or méaduighthe fó, multiplied by.

TIGHEARNACH.

Creach na bhfann do rineamair,
Gach olc nó cam do chuireamair,
Gach breath claon dá rugamair
Go teach Dé ní leigeann sinn.