Algébar 1.
Cuid I.

Seaghán Mac hEnrigh.
do sgríobh.

"An t-athrughadh agus an t-aistriughadh."
Ben Músa.

Clódhanna Teo.:

Ar n-a chur amach
do
Chonnradh na Gaeilge

I mBaile Átha Cliath.

1913.

Ar n-a chur i gcló
d'Ua Cathail agus d'á bhuidhean,
40 Céibh Urmhumhan Iachtair,
Baile-Átha-Cliath.

Réamhrádh.

I gCrois Uí Mhaoilfhíona i bhFairche Chille hAlaidh is
eadh do tionnsgnadh bun-adhbhar an leabhair seo. Ar gcur
críche dham leis an teagasg do bhíos a thabhairt 'sa nGaedhilg
d'oidíbh sgoile na fairche sin 'sa mbliadhain 1905, an tan
ba heasbog ann an Dr. Ró-oirmhidneach Ua Conamidhe,
do fhoillsigheas dóibh an tslighe ar bh'fhéidir adhbhar léighinn
a theagasg tré Ghaedhilg.

Cheapadar a lán de na hoidíbh go mba cheart na ceachta
so, go mór-mhór an méid díobh do bhí ag trácht ar Algébar,
a mhéadughadh agus a gcur i bhfuirm leabhair. Ón am sin
i leith, táim ag tabhairt faoi anois agus arís do réir
mar do bhí sé d'uain agam; agus ag so cuid de thoradh
mo shaothair. Níor leanas go dlúith d'aon leabhar amháin
ar an ealadhain seo, acht amhail na beacha a théidheas ó
bhláth go bláth, bhailigheas eólas ón iomad leabhar, agus
foillsighim annso é as Gaedhilg chomh soiléir agus chomh
so-thuigsionach agus is féidir liom. Is é an tionnsgnadh
is deacra i ngach ní go huile; tá mór-chuid den ealadhain
seo an Algébair gur dheacair Gaedhilg shimplidhe shnasta
do chur air; acht fágaim fá bhreitheamhnas an léightheora
cia mar d'éirigh liom.

Ní heól damh-sa gur curieadh tús nó tionnsgnadh le
Algébar i nGaedhilg riamh roimhe seo; do chuireas a
thuairisg sin ar ollamhnaibh se héigse, agus dubhradar
liom nár casadh ortha aon trácht air i sean-litridheacht
na nGaedheal.

Táim fá chumaoin mhóir ag Eoghan Ó Neachtain, ughdar

"Chéimseata," a léigh go cúramach adhbhar an leabhair
seo, agus a thug d'á bhreith air go raibh sé "soiléir, ro-
léighte, so-thuigsionach."

Táim go han-bhuidheach freisin do Sheósamh Laoide,
M.R.I.A., a chuir an leabhar i n-eagar, agus a rinne a
chion fein le cóir is slacht a chur air.

Do ghlacas le beagán athruighthe do mhol an Laoideach
agus Eoghan Ó Neachtain dam.

Ón aimsir a nallód anuas, do cheapadar lucht éigse
agus seanchais gur ins na hIndiachaibh Thoir nó ins an nGréig
do tionnsgnadh bunadhas an Algébair; acht taisbeánann
sean-mheamram nó "papíros" Éigipteach a fríoth suim
bliadhanta ó shoin, go raibh eólas ar shlighe áirimh an Algébair
'san Éigipt 1700 bliadhain roimh Chríost. Acht do réir
dheallraidh is é Díophantus, a mhair i nAlexandria tuairim
is 350 A.D. a sgríóbh an chéad aiste ar Algébar, go bhfuil
aon trácht air. Is eisean do cheap comhartha áirithe don
"lughaide" agus na riaghlacha ag baint leis i nAlgébar.

Is ó feallsamhain ins na hIndiachaibh dár bh'ainm
Ariabhatta a tháinig an chéad leabhar ar Algébar ins
an siseadh haois; ins an seachtmhadh haois do chuir fear
eile den chineadh chéadna, dar bh'ainm Brahmagupta
amach leabhar ar Algébar; agus chuireadar an bheirt
seo feabhas mór air thar mar bhí sé ag Díophantus, óir
rinneadar úsáid de chrothaibh, is thugadar fá deara an
dara fréamh ins na cóimhriarthaibh cearnacha, cé nár thuig-
eadar a bhfuasgailt.

Le linn an árdríogh Harún-al-Raisid (786-809 A.D.)
ba mhór an chéim ar aghaidh a rinne litridheacht agus ealadhanta
i measg Arabach; agus bhailigheadar fir léighinn na hEorpa
agus na n-Indiacha chum a ríoghrátha sin i mBagdad. I

n-imtheacht na haimsire seo is eadh go sgríobh Mahommed
Ben Músa a leabhar dárbh thiodal "Al gébr wa'muqábala"
.i. "An t-athrughadh agus an t-aistriughadh"; agus is ó'n
leabhar so do fríoth an focal "Algébar," atá mar ainm
ar an ealadhain seo gus an lá indiu. I measg na Múrach
a ghabh cuid den Spáinn, do bhíodh dian-stuidéar dhá dhéanamh
aca ar ealadhantaibh ins na meádhon-aoisibh; agus is cinnte
gur uatha-san a fuair Leonardo Fibónacci a chuid eólais
ar áireamh.

Ba ceannaidh Iodálach é Leonardo, a thaisteal an
Eóraip, agus do sgríobh sé leabhar ar "Áireamh is
Algébar" sa mbliadhain 1202; agus tá fuasgailt aige
ann ar chóimhriarthaibh cearnacha — acht tá an leabhar i n-a
sgríbhinn go fóill, níor clóbhuaileadh riamh é — agus tá na
fioghracha Arabacha i n-úsáid ag Leonardo, mar atáid
againn fá láthair.

Is ó láimh Lúcáis de Búrgo a tháinig an chéad leabhar
ar Algébar a cuireadh i gcló riamh. Ba hollamh re héigse
agus sagart de Ord Phroinnsiais Naomhtha an fear léigh-
eannta so, agus cuireadh a leabhar ar Algébar i gcló sa
mbliadhain 1494; acht ní'l mórán ola ar aghaidh aige
ann thar mar d'fhág Leonardo é, acht go raibh tuigsint
an-mhaith ag an mBúrgach ar fhuasgailt na gcóimhriar
gcearnach. 'San Iodáilis is eadh do bhí an leabhar so
sgríobhtha.

Leithchéad bliadhain i n-a dhiaidh seo, d'éirigh le Tartaléa
fuasgailt a dhéanamh ar chóimhriarthaibh ciúbacha; do leig
Tartaléa an t-eólas fá rún le sear darbh' ainm Cardánó;
acht ins an mbliadhain 1545, d'fhoillsigh Cardánó an
fhuasgailt sin i n-a leabhar "Ars Magna." "Riaghail
Chardánó" a goirthear den fhuasgailt ó shoin i leith.

Tuairim an ama so, do sgríobh beirt Ghearmánach Micheál
Stifl agus Seóhm Séibl leabhra ar Algébar; agus budh
iad a cheap na comharthaí +, -, agus ...

Níor thug aon tSagsanach faoi leabhar do sgríobhadh
ar an ealadhain seo go dtí an bhliadhain 1557, an tan do
sgríobh Riobard Record a leabhar "Whetstone of Witte";
acht níl aige-san acht gur lean do shlighe na nGearmánach.

Budh é an feallsamh Réné Descartes be hughdar le
feabhas mór a chur ar an Algébar ins an seachtmhadh haois
déag. I n-a leabhar mór "Geometria" a clóbhuaileadh
sa mbliadhain 1637, taisbeánann se an tslighe ar féidir
ceisteanna i gcéimseatan d'fhuasgailt tré Algébar.
Do fhág Descartes agus an Sagsanach Newton a cheap
"teóir an dúbalta" an tAlgébar beagnach 'sa treó
agus 'sa gcruth chéadna i n-a bhuil sé fá láthair.

Tuigthear nach bhfuil luaidhte annseo agam acht amháin
na sár-úghdair is mó clú, a d'fhoillsigh, do fheabhsuigh agus
do aibigh ealadha an Algébair, agus a d'fhoirleathnuigh é
ar fud na hEórpa; agus is adhbhar áthais dúinn go raibh
sagart de bhun-chineadh na mBúrcach i n-a measg .i. Lúcás
de Búrgo.

Seághan Mac hEnrigh
(Árd-Thimthire ag Connradh na Gaedhilge).

Baile Átha Cliath,
Lá Nodlag Mór, 1912.

Clár inniste an Leabhair.

Caibidil

I. - Sonnruighthe agus Comharthaí, 1.
Bríogha Uimhreacha, 6.

II. - An Breisiughadh, 11.

III. - Na Lúibíní, 17.

IV. - An Dealughadh, 22.

V. - An t-Iomadughadh, 27.

VI. - Iomadughadh na Tortha Coitcheannta, 36.

VII. - An Rannadh, 48.

VIII. - Na Cóimhriartha Simplidhe, 62.
Sgrúidcheisteanna Simplidhe, 68.
Sgrúidcheisteanna a I., 71.
Sgrúidcheisteanna a II., 74.
Sgrúidcheisteanna Deismireachta, 78.
Bríogha na nDeismireacht, 85.
Foclóir, 100.

Algébar

Caibidil a I.

Sonnruighthe agus Comharthaí.

1. Algébar is ainm don ealadhain a dtaisbeántar
léi cionnus áireamh a dhéanamh tré litreachaibh na haibghitre.
Is iad na litreacha Rómhánacha is oireamhnaighe do'n ealadhain
seo mar chomarthaíbh, acht tig ainmneacha Gaedhealacha a
chur ortha, acht ar na trí litreachaibh deiridh.

2. Is é is Díorna ann, uimhir nó rud ar bith nó cuid
bheag nó mhór de rud ar bith is féidir a thomhas, a mhéadughadh,
a laghdughadh nó a roinnt; rud ar bith a bhfuil méid,
toirt nó meádhchan ann. I n-Algébar is féidir litir nó
comhartha ar bith eile a chur i n-ionad díorna, is cuma é
bheith i n-a dhíorna bhreise, nó i n-a dhíorna easnaimh (dearc
ar #15.)

3. Taisbeántar díornaí cinnte tré litreachaibh tosaigh
na haibghitre: a, b, c (.i. a, bé, cé), agus rl., agus díornaí
éigcinnte tré na litreachaibh deiridh: "ecs,"
"ipsílon," agus "zéta" fá seach.

4. Is é is + (móide) ann, comhartha an BHREISIGHTHE,
agus tá gach uile litir nó gach uile uimhir dá bhfuil sé rompa
le breisiughadh (nó suimiughadh). Is é sin le rádh: táid
le tiomsughadh i gceann a chéile, i n-aon iomlán amháin.
Cuir i gcás, taisbeánann a + b go bhfuil a agus b le
tiomsughadh i n-aon iomlán amháin, cia ar bith uimhir, méad
nó toirt a bhfuilid ar éin-mhéid leis. Nuair nach bhfuil
comhartha ar bith roimh litir, tá + iontuigthe; is é sin
le rádh, is ionann a agus +a.

5. Is é is - (lughaide) ann, comhartha an dealuighthe,
is é sin le rádh, tá gach litir nó uimhir dá bhfuil "lughaide"
roimpi le dealughadh ó dhíorna éigin .i. is í brígh a - b go

bhfuilthear le b do dhealughadh ó a. Acht tagann na comharthaí
+ (móide) agus - (lughaide) isteach agus gan breisiughadh
nó dealughadh i gceist (dearc ar #15).

6. Is é is x (fá) ann, comhartha an IOMADUIGHTHE, agus
tá gach uile litir nó uimhir dá bhfuil sé eatorra le n-a
hiomadughadh fá n-a chéile. Is ionann a x b agus ab nó
a. b. Is é sin le rádh, is ionann litreacha, nó litreacha
agus uimhreacha ar bith a chur le chéile mar so: - abc, nó
a.b.c, agus an comhartha x a chur eatorra mar so: -
a x b x c.

7. Is é is - (roinn) ann, comhartha an ROINNTE. Is
ionann a - b agus a do roinnt ar b. Is minic go gcuirtear
díornaí atá le roinnt i riocht gnáth-choda; cuir i gcás,
is ionann a/b agus a-b.

8. Is é is = (cóimhionann le) ann, comhartha an CHÓIMH-
IONANNTAIS. Taisbeánann an comhartha = gurab
ionann i méid, i mbrígh nó i dtoirt na díornaí a
bhfuil sé dhá gceangal. Cuir i gcás: is ionann méid do
a agus do b sa riocht so, a = b. Léightear a = b mar
so: "Tá a cóimhionann le b."

9. Cialluigheann an comhartha > "níos mó ná; "is
é sin, taisbeánann a > b gur mó de bhrígh nó de mhéid
atá le a 'ná atá le b.

10. Cialluigheann an comhartha < "níos lugha ná;"
is é sin, taisbeánann a < b gur lugha de bhrígh nó de mhéid
atá le a ná atá le b. Tugtar fá deara go mbíonn béal
na gcomhartha so > agus < iompuighthe chum na díorna is
mó.

11. Cialluigheann an comhartha … "Dá bhrígh sin";
agus cialluigheann an comhartha … "De bhrígh go."

12. SLONN ALGÉBAIR nó SLONN a goirthear de'n
oiread so litreacha, agus rl., bailighthe i gceann a chéile idir na
comharthaíbh + agus - ; cuir i gcás, is slonn 3a+ 5b- 2c.

13. Goirthear MÍR de gach giota den tslonn; cuir i
gcás' is mír 3a, nó 5b, nó 2c, 'san tslonn 3a+ 5b- 2c.

14. Is é is SLONN SIMPLIDHE ann, slonn nach bhfuil ann
acht aon mhír amháin.

Is é is SLONN CÓMHSHUIDHTE ann, slonn a bhfuil níos mó
ná mír amháin ann.

Is é is SLONN DÚBALTA ann, slonn a bhfuil dhá mhír
ann; mar 3a+ b.

Is é is SLONN TRÉIDHEACH ann, slonn a bhfuil trí
míreanna ann, mar a+2b-3c.

Is é is SLONN IOLDA ann, slonn a bhfuil níos mó 'ná
trí míreanna ann, mar 2a+2b-c+3d.

15. Is é is DÍORNA BHREISE ann, an díorna nó mír a
bhfuil an comhartha + roimhe; agus is é is DÍORNA
EASNAIMH ann, díorna nó mír a bhfuil an comhartha -
roimhe.

16. Is é is CODÁIN de dhíorna ar bith ann, na míreanna
nó na huimhreacha a hiomaduighthear fá n-a chéile, agus
bhéarfas mar thoradh nó cóimhiomad an díorna chéadna
soin. Cuir i gcás, is codáin den díorna abc na míreanna
a, b agus c. Nó dá mbadh rud é go mba ionann na litreacha
so agus 2, 3 agus 4 do réir a riartha, bheadh 2 x 3 x 4 ar
fagháil againn; is é sin 24. Is codán de 24 ceachtar
de na huimhreachaibh 2, 3 agus a 4.

7. Is é is TORADH ann, líon nó cóimhiomad dhá dhíorna
ar bith a hiomaduighthear fá n-a chéile. Cuir i gcás gur
dhá dhíorna ar bith a agus b; má hiomaduighthear fá n-a
chéile iad mar so: a x b, gheobhfar ab mar thoradh nó cóimh-
iomad. Is TORADH AR AGHAIDH a gheibhthear de bharr níos
mó ná dhá dhíorna, dhá mhír nó dhá uimhir do iomadughadh fá
n-a chéile.

18. Is é is CUIMSE ann, an toradh a gheibhthear nuair
a hiomaduighthear díorna fúithi féin an oiread so uaire.
Cuir i gcás, má hiomaduighthear uimhir fúithi féin, is ionann
é agus a rádh go bhfuil toradh na huimhre sin i n-a cuimse,
.i. an dara cuimse. Taisbeántar méad na cuimse le
fioghair a chur le gualainn na huimhre nó na díorna mar
so: 3², &rl.

…

19. Is é is FOLLUS ann, an fhioghair a cuirtear le
gualainn díorna nó uimhre chum méid nó oiread na cuimse
do thaisbeánadh. Cuir i gcás, is follus an ² atá le 3
thuas (#18) agus an 4 atá le a.

20. Is é is CÓIMHÉIFEACHT ann, an t-iomadthóir a
cuirtear le mír ar bith i nAlgébar. Ins an mír ab, is
cóimhéifeacht an t-a.

21. Is é is cóimhéifeacht uimhreach ann, an uimhir nó na
huimhreacha a cuirtear le mír ar bith. 'Sa mír 9x, is
cóimhéifeacht uimhreach an 9.

22. Goirthear FRIGHDEOG de gach uile litir i mír; agus
is é méid nó céim na bhfrighdeog iomlán na bhfollus. Is é sin
le rádh, tá sé frighdeoga ins an mír ab²c³, nó a¹b²c³, mar
táid seo cóimhionann le a x b x b x c x c x c, óir is ionann
a agus a¹. Tá seacht bhfrighdeoga ins an mír bc d² .i.
b x c x c x c x c x d x d; agus mar sin dóibh.

Nuair atá na frighdeoga in gach mír i slonn ar bith
ins an gcéim chéadna tá an slonn soin CÓIMHGHNÉITHEACH.
Cuir i gcás, tá an slonn x² + 2xy+y² cóimhghnéitheach, óir

is ionann iomlán na bhfollus in gach mír den tslonn .i.

23. Tá díornaí nó míreanna ar bith COSAMHAIL nuair
atáid ar aon litir nó litreachaibh, agus na litreacha den
chuimse chéadna. Tá a, 3a, 5a; agus x²y, 4x²y, -x²y
cosamhail. Acht tá a³b²c, a²b4c², ÉAGSAMHAIL, óir
ní mar a chéile foillse na litreach.

24. LÚIBÍNÍ is eadh a goirthear de na comharthaíbh seo
(),[ ], { }; agus is díorna shimplidhe díorna ar
bith atá istigh eatorra. Cuir i gcás, taisbeánann a- (b+c.)
go bhfuil b+c i n-a dhíorna shimplidhe, agus go bhfuil a
iomlán le baint as a.

I n-ionad lúibín, is féidir slabhra do chur os cionn na
ndíorna, mar so: … agus mar an gcéadna,
is díorna shimplidhe b+c-d atá faoi'n slabhra; agus
ní'l orainn acht na litreacha so a thiomsughadh i gceann
a chéile i n-aon iomlán amháin, agus é seo do dhealughadh
ó a.

…

…

28. I n-áireamh ní'l aon chiall le díorna mar …
acht ní'l sin le rádh i dtaobh díorna algébair.

I n-algébar is gnáthach do gach uile dhíorna bheith i n-a
díorna bhreise nó i n-a díorna easnaimh (#15).

Cuir i gcás gur ghnódhuigh fear £20, acht gur chaill sé
£17, seo é an córughadh bheadh ar an sgéal i n-algébar:
£20-£17=£3.

Acht dá mbadh rud é nár ghnódhuigh sé acht £17, agus
gur chaill sé £20, seo é an córughadh bheadh air: £17-£20
= - £3; .i. £3 i bhfiachaibh.

Arís, cuir i gcás go bhfuil a cóimhionann le 8, agus b
cóimhionann le 12 is ionann a-b agus +8-12 = -4.

Ar an adhbhar sin, nuair atá brígh uimhreach ceaptha do
na litreachaibh, is féidir a dtoradh d'fhagháil réidh go leór,
acht aire a thabhairt do na comharthaíbh.

Cuir i gcás:-

má tá a=1, b=2, c=3, d=4, e=5, agus f=0,

Faigh toradh na slonn so síos:

(I.) 2a-3b+6c-8d+7e-5f.

Do reir na bríogha uimhreach atá curtha ar na litreachaibh
so thuas, is ionann an slonn agus —

2x1, -3x2, +6x3, -8x4, +7x5, -5x0;

is ionann iad so agus -

2-6+18-32+35-0.

Anois, bailigh le chéile na huimhreacha a bhfuil an comhartha
+ rompa i n-aon tslonn amháin; agus na huimhreacha a
bhfuil an comhartha - rompa i slonn eile, mar so:

2+18+35 agus -6-32-0.

Ar n-a dtiomsughadh so i gceann a chéile, tá +55 agus
-38 againn dá mbarr agus ar toradh. Tugtar
fá deara gurab ionann uimhir ar bith iomaduighthe fá 0
agus neimhní.

…

Ar fhagháil na fréimhe cearnaighe dhúinn do 49 agus 25,
.i. 7 agus 5, beidh 7-5x5 = 7-25 ar fagháil; agus
dá bhrígh sin, an toradh.

Cleachtaí a I.

Má tá a=1, b=2, c=3, d=4, e=5, f=0, faigh na
bríogha uimhreach ag baint leis na slonntaibh an so síos:

…

Má a=8, c=0, k=9, x=4, y=1, faigh bríogha uimhreacha
na slonn ann so síos:

…

Cleachtaí a II.

Má tá a=1, b=2, c=3, d=5, e=8, faigh bríogha na
slonn so:

…

Má tá a=5, b=4, c=½ faigh bríogha na slonn so:

…

10. Má tá x=2, no 3, taisbeán gurab ionann
x²-5x+6 agus neimhní.

Má tá a=8, b=6, c=1, x=9, y=4, faigh bríogha na
slonn so:-

Ar na deismireachtaibh thuas do cuireadh bríogha áirithe
leis na litreachaibh; acht ní fuláir don mhac léighinn bheith
ag cleachtadh na hoibre do réir modha an algébair, .1. le
litreachaibh i n-ionad fioghrach. Ní'l acht brígh amháin le
fioghair; acht tig linn brígh ar bith do cheapadh do na
litreachaibh i n-algébar.

Cuir i gcás, chuaidh bádóir 6 mhíle i n-imtheacht 3 uaire,
.i.= 2 mhíle san uair.

I n-algébar, is feidir obair an bhádóra a chur mar so:

…

Beidh beagán eile againn le rádh arís ar láimhsiughadh
na slonn i n-algébar, ar theacht dúinn go dtí na cóimhriartha
simplidhe.

Dála na hoibre atá rómhainn, ní mór don té atá ar
tí an t-algébar d'fhoghlaim bheith go han-aireach gan comhartha
an chóimhionanntais (=) do chur idir díornaí ar bith acht
cinn atá i gcóimhbhrígh le chéile.

Agus freisin, ar fhuasgladh na ndeismireacht dhó, dhá
dheise, dhá chruinne agus dhá shnasdacht dá mbeidh an obair
leagtha amach, is amhlaidh is réidhe agus is éasgaidhe a
gheobhfar an cheart-bhrígh. Ní fuláir don aos léighinn
cleachtadh go mion minic ar shlonntaibh algébair do rádh
as Gaedhilg gus gan leigean do'n Bhéarla bheith ag briseadh
amach ortha. Badh cheart don oide slonnta agus ildheis-
mireachta eile mar atá annso síos a chur ar chlár dubh
agus gach mac léighinn dá léigheadh ós árd as Gaedhilg:-

a³b²c á go dtí an treas chuimse, fá bé go dtí an
dara cuimse, fá cé.

x²+2xy-y²: ecs go dtí an dara cuimse móide a dó
fá ecs fá ipsílon lughaide ipsílon go dtí an dara cuimse.

a-(b+c): á lughaide bé móide cé faoi lúibíníbh.

…

…

Trídeág fá á, lughaide a haondéag fá bé faoi
lúibín (díreach) móide cé faoi lúibín (casta) lughaide
seacht fá ecs móide a cúig fá zéta faoi lúibíníbh
(cama).

…

CAIBIDIL A II.

AN BREISIUGHADH.

29. Is gnáthach go ndéantar obair an bhreisighthe ar thrí
modhaibh:-

1. Chum míreanna cosamhla a bhreisiughadh, a
bhfuil na comharthaí céadna leó.

RIAGHAIL: Breisigh le chéile cóimhéifeachta na míreann
agus cuir leó na litreacha a bhaineas leó, agus na comharthaí
eatorra, má tá sé riachtanach.

…

Ag tiomsughadh na gcóimhéifeacht le chéile i n-aon iomlán
amháin agus ag cur na litire leis seo, tá 18a ar fagháil
mar thoradh.

…

'Ghá dtiomsughadh so le chéile ar an nós céadna, tá
-12ab ar fagháil mar thoradh.

30. II. CHUM MÍREANNA COSAMHLA A BHREISIUGHADH
A BHFUIL COMHARTHAÍ ÉAGSAMHLA LEO.

RIAGHAIL: Breisigh le chéile na cóimhéifeachta a bhfuil
+ leó, i n-aon iomlán amháin, agus na cóimhéifeachta a
bhfuil - leó i n-iomlán eile.

Faigh an deifridheacht atá idir an dá iomlán, agus
cuir léi seo (má's riachtanach é) comhartha an iomláin is
mó, agus an litir a bhaineas leó.

Deism. (1) Faigh iomlán an tsluinn seo: -

…

'Gha dtiomsughadh so le chéile, chítear gur 14 iomlán
na gcóimhéifeacht a bhfuil + leó .i. 6+4+3+1; agus gur
12 iomlán na gcóimhéifeacht a bhfuil. - leó .i. -7-5.
Dá bhrígh sin, is 2 an deifridheacht atá idir an dá iomlán,
agus ar chur na litire leis, tá 2a ar fagháil mar thoradh.

Deism. (2) …

Is 18 iomlán na gcóimhéifeacht a bhfuil + leó; agus is
20 iomlán na gcóimhéifeacht a bhfuil - leó; dá bhrígh
sin, is - 2x²y an toradh.

31. III. CHUM MÍREANNA ÉAGSAMHLA A BHREISIU-
GHADH.

RIAGHAIL: Breisigh le chéile na díornaí éagsamhla mar
aon le I. agus II. thuas; cuir síos na míreanna eile,
agus na comharthaí a bhaineas leó.

Deism. (1) Breisigh le chéile

…

Ar thabhairt gach saghas litreach i gceann a chéile,
gheibhthear: 4x-2x, +4y+3y-5y. Is ionann an méid seo
agus 2x+2y.

Nuair atá móran díornaí le breisiughadh i gceann a
chéile, is réidhe na míreanna d'ullmhughadh ar an tslighe
seo:

Cuir gach mír dá bhfuil cosamhail i n-aon líne amháin
faoi n-a chéile, agus na comharthaí a bhaineas leo rompa.
Tiomsuigh míreanna gach líne i gceann a chéile, ag tosnughadh
leis an líne ar an láimh chlé.

Seo an deismireacht thuas córuighthe ar an tslighe seo:-

…

.i. móide 4x, lughaide 2x, fágtar móide 2x; agus arís:
Móide 4y agus móide 3y .i. móide 7y, lughaide 5y, fágtar
móide 2y; dá bhrígh sin, is 2x+2y an t-iomlán.

Dheism. (2) Tiomsuigh le chéile na slonnta so:-

Ar n-a gcórughadh so dhúinn, os cionn a chéile, tá
againn:-

…

Deism. (3) Tiomsuigh le chéile na slonnta so:-

…

…

'Sa deismireacht so, mar aon leis an dá cheann thuas,
cuireadh na míreanna atá cosamhail, bídís móide nó
lughaide, i n-aon líne amháin faoi n-a chéile. Ag tosnughadh
annsin leis an líne ar an láimh chlé, fríoth iomlán na míreann
a bhfuil an comhartha móide leó , .i. 3x³ agus 3x³; agus is ionann
so agus 6x³.

Annsin fríoth iomlán na míreann a bhfuil an comhartha
lughaide leó, .i. 2x³ agus x³; is ionann so agus -3x³.
ar n-a ndealughadh so ó 6x³, tá 3x³ fágtha, .i. an chéad
mhír den iomlán 'sa deismireacht thuas.

Déantar mar an gcéadna le gach líne eile.

Ar chórughadh na deismireachta (3) dhúinn, do cuireadh
na cóimhéifeachta a bhfuil x³ leó faoi n-a chéile sa gcéad
líne ar an láimh chlé; na cóimhéifeachta a bhfuil x² leó
sa gcéad líne eile, agus mar sin dóibh, do réir mar bhí
céim na frighdeoige x ag ísliughadh (nó ag laghdughadh) agus
na cóimhéifeachta nach bhfuil litir ar bith leó 'sa líne deiridh.

Sin é an córughadh is fearr le cur ar dheismireachtaibh
a bhfuil míreanna éagsamhla ionnta.

…

…

Ar n-a chórughadh so dhúinn, do cuireadh a sa gcéad
líne; b sa dara líne, agus mar sin dóibh; Leantar don
réidhteacht soin i ndeismireachtaibh den t-saghas so, nuair
is ionann cuimse dhóibh; acht dá mbadh rud é go mbeadh
a³, a², b &rl., i míreannaibh atá le breisiughadh, caithfear
a gcórughadh do réir céime na bhfollus, mar rinneadh le
x san deismireacht (3.) thuas.

Ar fhuasgladh na ndeismireacht so síos dó, ní fuláir
don mhac léighinn bheith go han-chúramach 'ghá gcórughadh,
agus leanmhaint go dlúith don teagasg atá tugtha fá
dtaobh de.

CLEACHTAÍ A IV.

Breisigh le chéile i n-aon tslonn amháin na míreanna
'sna slonntaibh so síos: -

…

…

Breisigh le chéile na slonnta so síos: -

…

Seo í an tslighe is fearr chum a leithéid seo do chórughadh:

…

'Sa treas líne den deismireacht so tá trí chineál litreach,
a, c agus z; acht ní'l orainn acht iad a sgaradh amach san
iomlán, agus a gcuid cóimhéifeacht agus comharthaí a
chur leó.

CAIBIDIL A III.

NA LÚIBÍNÍ.

32. Ag trácht dúinn ar na lúibíníbh, b'fhéidir go mb'fhearr
don mhac léighinn dearcadh arís ar #24. Agus ní fuláir
dó na ceisteanna ag baint le lúibíníbh a chleachtadh go
maith.

33. I. Má tá an comhartha + (móide) le slonn ar bith
atá i lúibíníbh, ní'l orainn acht na lúibíní a ghlanadh as,
gan athrughadh ar bith.

34. II. Má tá an comhartha - (lughaide) le slonn an
bith atá i lúibíníbh, tig na lúibíní a bhaint as, acht comhartha
de gach mír dá raibh istigh ins na lúibíníbh d'athrughadh .i.
móide a dhéanamh den lughaide (-) agus lughaide (-)
den mhóide (+).

35. III. Nuair atá lúibíní istigh i lúibíníbh eile, bain
amach na lúibíní is fuide isteach, do réir na riaghlach (I.)
agus (II.) thuas; annsin, bain amach na lúibíní is goire
dhóibh, ar an tslighe chéadna; agus mar sin dóibh, go
mbaintear amach iad go léir.

Cuir i gcás, is ionann a+(b+c) agus a+b+c (I.)
Agus is ionann a-b-(c-d+e) agus a-b-c+d-e. (II.).

…

Ag tosnughadh leis na lúibíníbh cama,( ), óir is iad
is fuide isteach (III.), ar a mbaint amach dhúinn, tá
13a-[11a+{9a-7a-5a}] ar fagháil.

Ag baint amach anois na lúibíní casta, { }, gheibhthear:-
13a-[11a+9a-7a-5a]. Agus anois tig linn na lúibíní
díreacha a bhaint amach, acht comhartha gach míre dá bhfuil
eatorra d'athrughadh, agus tá 13a-11a-9a+7a+5a ar
fághail againn.

'Ghá dtiomsughadh le chéile i n-aon iomlán amháin, tá
25a-20a .i. ar fagháil mar thoradh.

(2) Glan na lúibíní as 4-(1-a)+{3-(5a+a-7)}

…

Má tá líne díreach os cionn míreann nó slonn (.i.
slabhra nó vinculum) is féidir a bhaint as do réir riaghlach
na lúibín.

(3) Glan na lúibíní as an slonn so:

a-[b-{c-(d-e-f)}]

Is ionann so agus a-[b-{c-(d-e+f)}]
Is ionann so agus a-[b-{c-d+e-f}]
Is ionann so agus a-[b-c+d-e+f]
Is ionann so agus a-b+c-d+e-f

37. Tugtar anois fá deara go grinn na leagain seo
síos:

Tá +(-a)= -a; agus -(-b)=+b
Tá +(+c)= +c; agus -(+d)=-d

Táid seo fíor, is cuma cad iad na litreacha, nó cad
é an bhrígh atá leó.

Dá bhrígh sin: Má breisighthear díornaí i gceann a chéile
a bhfuil an comhartha céadna leó, beidh an t-iomlán i n-a
dhíorna bhreise; acht má tá na comharthaí atá leó éagsamhail,
beidh an t-iomlán i n-a dhíorna easnaimh.

38. Is minic a bhíos orainn slonn do chur faoi lúibíníbh.

(1) Is féidir míreanna ar bith a chur faoi lúibíníbh, gan
aon athrughadh, acht comhartha an mhóide bheith rompa go
léir.

(2) Is féidir míreanna ar bith a chur faoi lúibíníbh, acht
comhartha an lughaide a chur rompa go léir, agus athrughadh
a chur ar ach comhartha idir lúibíníbh.

Cuir i gcás, a-b+c-d+e

Táid so cóimhionann le a-b+(c-d+e)
nó a-b+c+(-d+e)
nó a-(b-c+d-e)
nó a-b-(-c+d-e)

Cuir faoi lúibíníbh: a-6b+9c-3d-12e+18f-24g

Táid seo=a-(6b-9c+3d)-(12e-18f+24g)
=a-3(2b-3c+d)-6(2e-3f+4g)

'Sa tslonn, -a²x-7a+a²y+3-2x-ab, cuir gach cuimse
den litir a faoi lúibíníbh, i roicht is go mbeidh an comhartha
lughaide roimh na lúibíníbh:

Is ionann an slonn agus -(a²x-a²y)-(7a+ab)-(2x-3)
Is ionann an slonn agus -a²(xy)-a(7+b)-(2x-3)
Is ionann an slonn agus -(x-y)a²-(7+b)a-(2x-3).

CLEACHTAÍ A V.

Glan na lúibíní as na slonntaibh ann so síos agus bailigh
na míreanna cosamhla i gceann a chéile: -
…

Cleachtaí a VI.

Cuir faoi lúibíníbh na slonnta so síos -
…

Ins na slonntaibh seo síos cuir gach cuimse de x faoi
lúibíníbh, agus córuigh iad i riocht agus go mbéidh an comhartha
- (lughaide) roimh gach lúibín:
…

Ins na slonntaibh seo síos cuir gach cuimse de x faoi
lúibíníbh agus córuigh iad i riocht is go mbeidh an comhartha
+ (móide) roimh gach lúibín:
…

Caibidil a IV.

An dealughadh.

39. Má's rud é go bhfuil orainn díorna a bhaint as
díorna eile, cuir i gcás, 3 as 6 nó b as a, is gnáthach go
dtaisbeántar an obair ar an tslighe seo i n-algébar: -
6-3, nó a-b, [móide a 6, lughaide a 3, nó móide a lughaide b].

Ar an adhbhar sin, má tá orainn díorna bhreise ar bith
mar b a dhealughadh nó a bhaint as a, is féidir sin a dhéanamh
acht an comhartha atá le b d'athrughadh, nuair a bhéas a-b
againn.

Ar an nós céadna:

40. Má tá orainn díorna mar b+c a dhealughadh ón
díorna a, is soiléir nach mór dhúinn na comharthaí atá
le b agus c d'athrughadh, agus an obair a chórughadh mar
so:

a-b-c [.i. móide a, lughaide b, lughaide c]

De bhrígh gur lugha bheas fágtha de bharr b+c a bhaint as a
ná gan a bhaint as acht b amháin.

41. Acht má baintear b-c as a, ní fuláir na díornaí
a chórughadh mar so: -

a-b+c [.i. móide a, lughaide b, móide c]

De bhrígh gur mó bheadh fágtha den díorna a, díorna b-c
a bhaint aisti, ná bheadh dá mbaintí b+c aisti.

Chífear ciall na haisnéise seo, má cuirtear brígh uimhreach
leis na litreachaibh.

Cuir i gcás gurab ionann a agus 12
Cuir i gcás gurab ionann b agus 6
agus gurab ionann c agus 4, annsin

Beidh, a-b-c=12-6-4, agus
Beidh a-b+c=12-6+4
Acht tá a-b-c=a-(b+c) .i. 12-(6+4),
agus tá a-b+c=a-(b-c) .i. 12-(6-4) #37.

Anois má baintear 6+4 as 12, beidh 2 fágtha; acht má
baintear 6 as 12, bainfear an iomarca as, óir ní 6 atá
le baint as, acht 6-4 .i. 2; agus ar n-a bhaint seo as 12
dhúinn, beidh 10 fágtha.

…

42. Chum díorna nó slonn do dhealughadh, nó
a bhaint as díorna nó slonn eile: -

Riaghail: Athruigh na comharthaí atá le gach mír ins an
slonn atá le dealughadh; annsin, tiomsuigh i gceann a
chéile, mar níthear sa mbreisiughadh.

…

9x an iondamhlacht,
Agus an athrughadh comhartha 7x an laghdughadh
2x an fuighleach nó iarmhar.

…

Tar éis taithighe bheith ag an mac léighinn ar obair an
dealuighthe, ní gábhadh dhó comharthaí an tsluinn atá le
dealughadh d'athrughadh, acht i n-a mheabhair.

Deism. (4) Faigh iomlán 6a-8b+c agus 5b-10a, agus
dealuigh a toradh as c-6b.

…

Deism. (5) Faigh amach an díorna atá le dealughadh as
a-b-c i riocht agus go mbeidh a+b fágtha mar fhuighleach
nó iarmhar.

…

43. Do-chífear ó dheismireacht (2) thuas, nach é amháin
gurab ionann brígh do na comharthaíbh + agus - i n-algébar
agus i n-áireamh, acht i n-a theannta sin, go bhfuil brígh
áirithe leis na comharthaíbh seo i n-algébar, thar mar
atá i n-áireamh.

Mar dubhradh cheana (#28) ní'l aon chiall i n-áireamh le
díorna mar 3-8; acht castar a leithéid orainn go minic
san algébar.

Cuir i gcás go raibh feilm agus siopa ag Conn. An
chéad bhliadhain d'éirigh leis go raibh £50 de bhrabach aige
de bharr na feilme; acht chaill sé £30 ar ghnó an tsiopa.
Mar sin féin, bhí £20 de bhrabach aige de bharr na bliadhna.
Acht sa dara bliadhain rinne sé dearmad ar an bhfeilm

ar son an tsiopa, agus is amhlaidh do bhí an sgéal go ndeárnaidh
sé £10 de bhrabach sa tsiopa, acht chaill sé £25 leis an
bhfeilm; is é sin le rádh, do chaill sé £15 ar ghnó na bliadhna.

Anois do chuirfidhe an aisnéis seo síos mar so do réir
an algébair: -

An chéad bhliadhain, d'éirigh le Conn mar so: £50-£30=£20.
An dara bhliadhain, d'éirigh le conn mar so: £10-£25=-£15.

Arís, dá dtéidheadh Conn ag siubhal 5 mhíle ó n-a áit
chómhnuidhthe, soir ar a láimh dheis abraimís, do cuirfidhe
síos an t-achar so mar +5 mhíle.

Acht dá dtéidheadh sé 5 mhíle ar a láimh chlé, siar abraimís,
do cuirfidhe síos an t-achar mar -5 mhíle.

Ar a shon soin, badh chóir a chongbhail go glan i meabhair go
gcuirtear an comhartha móide (+) le brabach nó gnódhughadh,
agus do ghnáth, le hachar ar bith ar do láimh dheis; agus go
gcuirtear an comhartha lughaide (-) le caillteanas, nó
le hachar ar bith ar do lámh chlé, nuair a thig neithe den
tsórt so i gceisteannaibh algébair.

Cleachtaí a VII.

…

…

Cleachtaí a VIII.

(1) Dealuigh iomlán na slonn, 2x-5+7x² agus
3x³+4-2x³+x as 5x³+3x-1.

(2) Dealuigh 3a-7a³+5a² as iomlán na slonn 2+8a²-a³
agus 2a³-3a²+a-2.

(3) Dealuigh 5x²+3x-1 as 2x³ as agus breisigh an fuighleach
leis an slonn 3x³+3x-1.

(4) Faigh iomlán na slonn 5a-7b+c agus 3b-9a;
agus dealuigh an t-iomlán so as c-4b.

(5) Breisigh le chéile 3x³-7x+5 agus 2x³+5x-3, agus
dealuigh 3x³+2 ó'n iomlán.

(6) Má breisighthear slonn áirithe le 5x²-7x+2, gheobhfar
7x²-1 mar iomlán. Cia an slonn é?

(7) Cia an slonn a cuirfear i mbreis le 4x³-3x²+2, chum
is go mbeidh 4x³+7x-6 d'iomlán againn?

(8) Cia an slonn atá le dealughadh as 9x²+11x-5,
chum go mbeidh 6x²-17x+3 d'fhuighleach fágtha?

(9) Má dealuighthear slonn áirithe as, 3ab+5bc-6ca,
gheobhfar 6ca-5bc mar fhuighleach. Cia an slonn é?

(10) Má dealuighthear 3x²-7x+2 as neimhní, cad é an
slonn a bheas fágtha?

Caibidil a V.

An t-iomadughadh.

44. Is eól don mhac léighinn cheana gurab ionann 3x2x5
agus 5x2x3, agus 2x5x3, &rl.

Ar an nós céadna, is ionann abc agus cab agus bac
agus bca, &rl.

Mar an gcéadna, is ionann x(y+z) agus (y+z)x,
cia ar bith brígh atá curtha leis na litreachaibh seo.

Dá bhrígh sin, is ionann iomadughadh agus uimhir nó díorna
do mhéadughadh, an oiread so uair, fútha féin, nó fá uimhir
nó dhíorna ar bith eile.

Ar an adhbhar soin, is ionann ab, .i. axb, agus iomlán
a (cia ar bith brígh atá ceaptha don litir) do mhéadughadh b
uaire; nó iomlán b (cia ar bith brígh atá ceaptha do'n
litir) do mhéadughadh a uaire.

45. Is gnáthach obair an iomaduighthe a dhéanamh ar thrí
odhaibh.

I. Iomadughadh sluinn tsimplidhe fá shlonn
simplidhe eile.

II. Iomadughadh sluinn chómhshuidhte fá shlonn
simplidhe.

III. Iomadughadh sluinn chómhshuidhte fá shlonn
cómhshuidhte eile.

I. Toradh dhá shlonn simplidhe: -

Cuir i gcás go bhfuil orainn 3x a iomadughadh fá 4y.

Is féidir a thaisbeáint sgartha amach mar so: -

3xXx4xy, nó 3x4xXxy

Is ionann ceachtar de na córuighthibh seo agus 12xy.

Ar an adhbhar sin: -

Chum slonn simplidhe a iomadughadh fá shlonn
simplidhe eile:

Riaghail: - Iomaduigh na cóimhéifeachta uimhreacha fá n-a
chéile; agus cuir na litreacha leis an gcóimhiomad nó
toradh.

Deism. (1) Iomaduigh 4ab fá 3c, .i. 12abc.

Dob' fhéidir an obair a thaisbeánadh mar so: -

4ab=inmhéadughadh
3c=iomadthóir
12abc=cóimhiomad.

46. Cuir i gcás go bhfuil orainn díornaí mar 2a² agus
3a³ a iomadughadh fá n-a chéile.

Anois is ionann a² agus aa nó axa.
Agus is ionann a³ agus aaa nó axaxa
is ionann 2a²x3a³ agus 6a5.

Ar an nós céadna:

…

…
Breisighthear i gceann a chéile cuimsí na
míreann.

47. Acht dá mbadh rud é go raibh orainn Cuimse de
chuimse eile d'fhagháil, cuir i gcás, an treas chuimse
de a4.

…

48. II. Toradh sluinn chómhshuidhte agus sluinn tsimplidhe,
Cuir i gcás go bhfuil orainn a iomadughadh fá 5,
déan mar so é: 5(x+y) is é sin le rádh, 5x+5y.

Ar an nós céadna is ionann 7(a+b) agus 7a+7b.
agus is ionann 4(x-y) agus 4x-4y.
agus is ionann c(a+b) agus ca+cb.

Dá bhrígh sin:

Chum slonn comhshuidhte a iomadughadh fá
shlonn simplidhe:

Riaghail: Iomaduigh gach mír den tslonn chomhshuidhte
fá an slonn simplidhe, ag tosnughadh ar an taobh chlé,
agus cuir an comhartha ceart roimh gach mír den toradh.

…

Má iomaduighthear gach mír den inmhéadughadh fá 2x
i ndiaidh a chéile, gheobhfar an toradh céadna.

…

49. Chítear as an deismireacht so:

Má iomaduighthear díornaí fá n-a chéile, a bhfuil an
comhartha céadna leó (má's móide lughaide é), beidh an
toradh i n-a dhíorna bhreise; acht má bhíonn comharthaí
éagsamhla leó (móide agus lughaide) beidh an toradh
i n-a dhíorna easnaimh.

…

…
50. Chum dá shlonn chomhshuidhte a ioma-
dughadh fá n-a chéile: -

Riaghail: Iomaduigh gach mír den inmhéadughadh le gach
mír den iomadthóir, ag tosnughadh ar an taobh chlé. Má's
ionann comhartha do na míreannaibh a hiomaduighthear,
cuir móide (+) le n-a dtoradh; acht munab ionann
comhartha dhóibh, cuir lughaide (-) le n-a dtoradh.

…

51. Is cuma cia an t-ord nó córughadh a bhéas ar chodánaibh
an toraidh. Cuir i gcás, is ionann i mbrígh xyz², z²xy, xz²b
agus yx²x, &rl.

Acht muna bhfuil na litreacha i míreannaibh an inmhéad-
uighthe agus i míreannaibh an iomadthóra réidhtighthe do
réir Cuimsí ag Éirghe* nó do réir Cuimsí ag Ísliughadh*
de litir éigin ag baint leó, ní fuláir na litreacha
d'ullmhughadh amhlaidh.

Cuir i gcás:

(2) Iomaduigh x²+y-2xy fá y²+2xy+x².

'Ghá réidhteach so do réir cuimsí ag ísliughadh den litir
x is féidir an obair a chórughadh mar so:
…

52. Is é is toradh ar aghaidh ann, toradh trí slonn
nó níos mó, iomaduighthe fá n-a chéile (dearc ar #17).

Deism: (1) Faigh toradh ar aghaidh ar na slonntaibh so:

x-y, x+y agus x²+y²
Is ionann (x-y)x(x+y) agus x²-y².

* .i. ag éirghe nó ag ísliughadh de chéimeannaibh na bhfollus.

agus, is ionann (x²-y²)x(x²+y²)agus x4-y4, an toradh
ar aghaidh do bhí ar iarraidh.

Riaghail: Iomaduigh dhá dhíorna fá n-a chéile, iomaduigh
an toradh a faightear, agus mar sin de go dtí an díorna
dheiridh; is é an toradh deiridh an toradh ar aghaidh.

53. Is gnáthach go gcuirtear (nó go gceangaltar) slonnta
cómhshuidhte i lúibíníbh (#24) chum iad do iomadughadh fá
n-a chéile. Annsin ní gábhadh comhartha an iomaduighthe x a
chur eatorra.

Dá bhrígh sin:

Is ionann (x-y)(x+y) agus (x-y)x(x+y)
Is ionann (a-b)(b+c)(c-d)agus (a-b)x(b+c)x(c-d)

Agus freisin:

Is ionann (a+b)² agus (a+b)(a+b) .i. a²+2ab+b²
agus is ionann (a-b)² agus (a-b)(a-b) .i. a²-2ab+b².

Beidh a thuilleadh le rádh againn i dtaobh an dá shlonn
deiridh seo go gairid; acht is féidir don mhac léighinn a
dtortha do dhearbhughadh éasgaidh go leór anois.

Deism. Faigh toradh na slonn so síos, bain as lúibíníbh
iad, agus breisigh a dtortha i n-aon iomlán amháin: -

a(a-b)(a+b)-a(a-b)².

Ar n-a sgaoileadh so as na lúibíníbh:

…

Ar n-a mbreisiughadh so i gceann a chéile dhúinn, is
an toradh.

Chítear as (1) gurab ionann (a²-b²) agus (a-b)(a+b)
Chítear as (2) gurab ionann (a-b)² agus a²-2ab+b²
Chítear as (3) gurab ionann a(a²-2ab+b²) is a³+2a²b-ab²
Chítear as (4) gurab ionann a(a²-b²) agus a³-ab².
…

…

Caibidil a VI.

Tortha coitcheannta san iomadughadh.

Badh chóir na cumtha annso síos a choingbheáil i
meabhair: -

Is ionann (x+4)² agus x²+8x+16.

Dá bhrígh sin:

I. Is ionann an dara cuimse d'iomlán dhá
dhíorna ar bith agus iomlán na dara cuimse
den dá dhíorna chéadna móide a dtoradh fá
dhó.

Cuir i gcás, an dá dhíorna x agus a 4, is (x+4) a
n-iomlán; agus is (x+4)² an dara cuimse d'iomlán an
dá dhíorna agus fós: is iad x² agus 16 (.i. 4²) an dara
cuimse den dá dhíorna chéadna leo féin; agus is 8x a
dtoradh fá dhó .i. 2(4x).

Ar n-a n-iomadughadh fá n-a chéile dhúinn chífear fírinne
na haisnéise thuas go soiléir: -

…

Cuir i gcás go mbeadh orainn an dara cuimse den
uimhir 87 d'fhagháil, is féidir sin d'fhagháil go héasgaidh
do réir na riaghlach a thuas.

…

Is iad 30 agus 7 an dá dhíorna; is (30+7)² an dara
cuimse d'iomlán an dá dhíorna agus:

Is 30²+7² .i. 900+49=949 iomlán na dara cuimse
den dá dhíorna chéadna agus:

Is 2(30 x 7) .i. 420 a dtoradh fá dhó.

II. Is ionann an dara cuimse den deifri-
dheacht atá idir dhá dhíorna ar bith agus
iomlán na dara cuimse den dá dhíorna
chéadna, lughaide a dtoradh fá dhó.

.i. is ionann (x-4)² agus (x-4)(x-4);
agus is ionann (x-4)(x-4) agus x²-8x+16;

Óir, is x-4 an deifridheacht atá idir an dá dhíorna
x-4 agus taisbeánann (x-4)² an dara cuimse
den deifridheacht so;

Agus fós is x²+16 .i. 4², iomlán an dara cuimse
den dá dhíorna chéadna; agus is 8x .i. 2(4x) a dtoradh
fá dhó.

Ar na n-iomadughadh fá n-a chéile dhúinn, chífear fírinne
na haisnéise a II.

…

Cuir i gcás go mbeadh an dara cuimse de 47 uainn,
dob' fhéidir sin d'fhagháil do réir riaghlach a II.

Is ionann 47² agus (50-3)².

…

III. Dearcthar anois ar an gcuma so:

Is ionann (x+a)(x-a) agus x²-a²
agus is ionann (x+3)(x-3) agus x²-9.

Dá bhrígh sin:

Is ionann toradh iomláine is deifridheachta
dhá dhíorna ar bith agus an deifridheacht atá
idir an dara cuimse den dá dhíorna chéadna.

Anois is iad (x+a) agus (x-a) iomlán agus deifridheacht
dhá dhíorna áirithe; agus is (x²-a²) an deifridheacht atá
idir an dara cuimse den díorna chéadna.

Ar na n-iomadughadh dhúinn, chífear fírinne na haisnéise
a thuas, go soiléir.

…

Cuir i gcás go raibh orainn a fhagháil amach cia an dei-
fridheacht do bhí idir dhá dhíorna nó dhá uimhir áirithe, b'fhéidir
a fhagháil go héasgaidh, do reir na riaghlach a III.: abraimís,
153 agus 147.

Anois, is ionann (153)²-(147)²
agus (153+147)(153-147)
=300x6
=1800 an deifridheacht a bhí uainn.

Cuirmid na cumtha so anois i ndiaidh a chéile annso,
óir ní fuláir don mhac léighinn iad do bheith aige de ghlan-
mheabhair: -

(1) Is ionann (a+b)² agus a²+2ab+b²
(2) Is ionann (a-b)² agus a²-2ab+b²
(3) Is ionann (a+b)(a-b) agus a²-b²

Cuir i gcás: Faigh an dara cuimse de 3x+2y.

Anois de réir (1) -

Is ionann (3x+2y)² agus (3x)²+2(3x2y)+(2y)²
.i. 9x²+12xy+4y²

Faigh an dara cuimse de 5a-4b.

Do réir (2)-

Is ionann (5a-4b)² agus (5a)²-2(5a+4b)+(4y)²
.i. 25a²-40ab+16y².

Faigh toradh na slonn 3x+7y agus 3x-7y.

Do réir (3)-

Is ionann (3x+7y)(3x-7y) agus (3x)²-(7y)²
.i. 9x²-19y².

55. Is féidir an dara cuimse de shlonn iolda ar bith
d'fhagháil, do réir na riaghlach so síos: -

IV. Cuir síos an dara cuimse de gach mír,
agus an toradh fá dhó ar gach mír, iomaduighthe
fa gach mír dá leanann é.

Deismireacht:

(1) Faigh an dara cuimse de a³-2a²-3a+4.

Anois -

…

56. Faigh an dara cuimse de a+b+c.

Bíodh agus gurab ionann A agus a+b; annsin, tá againn
(A+c)² tá so = A²+2Ac+c² (I.)

…

Tar éís beagán cleachtaidh, ní deacair don mhac léighinn
an dara cuimse de shlonn ar bith do sgríobhadh síos ar áit
na mbonn.

Faigh an dara cuimse de m-n+p-r. Ar gcur A i
n-ionad m-n agus B i n-ionad p-r, beidh (m-n+p-r)²
=(A+B)²=A²+2AB+B².

…

Anois dob' fhéidir é seo, agus tuilleadh mar é d'fhuasgladh
do réir riaghlach a IV thuas; cuir i gcás, tá (m-n+p-r)²
=m²+n²+p²+r²-2mn+2mp-2mr-2np+2nr-2pr
mar aon leis an toradh do fríoth cheana.

Badh cheart don mhac léighinn an dá shlighe do chleachtadh
go mion minic.

57. Is é corughadh na slonn a réidhteóchas an tslighe
dhúinn 'san algébar.

(1) Cuir i gcás: faigh toradh (a+b+c)(a+b-c)

…

(2) Faigh toradh (p-q+r-s)(p-q-r+s).

…

Cleachtaí a XII.

Faigh bríogha na slonn so síos:
…

58. Do bhíomar ag trácht cheana (#50) ar iomadughadh
slonn cómhshuidhte fá n-a chéile; agus taisbeanadh an
tslíghe chum a dhéanta de ghnáth.

Acht ar n-a n-infhiúchadh dhúinn i gceart, chífear gur
féidir toradh dhá shlonn dúbalta ar bith do sgríobhadh síos
glan díreach.

…

…

59. Tuigfear anois brígh agus tádhbhacht na gcumadh so
síos: -

(1)Is ionann (x+a)(x+b) agus x²+(a+b)x+ab
(2)Is ionann (x+a)(x-b) agus x²+(a-b)x-ab
(3)Is ionann (x-a)(x+b) agus x²-(a-b)x-ab
(4)Is ionann (x-a)(x-b) agus x²-(a+b)x+ab

…

Má táid seo, agus na trí cumtha, de ghlan-mheabhair
ag an mac léighinn, is mór a réidhteóchas siad slighe na
hoibre dhó.

Cleachtaí a XIII.
…

…

…

I. Is ionann an treas chuimse de iomlán dhá
dhíorna ar bith agus iomlán a dtreas chuimse
le chéile, móide a dtoradh fá thrí agus é
iomaduighthe fá n-a n-iomlán.

Ar an nós céadna is féidir a thaisbeánadh gurab ionann
(A-B)³ agus A³-3AB(A-B)-B³,
nó A³-3A²B+3AB²-B³

Agus dá bhrígh sin:

II. Is ionann an treas chuimse de deifri-
dheacht dhá dhíorna ar bith, agus deifridheacht
a dtreas chuimse le chéile, lughaide a dtoradh
fa thrí agus é iomaduighthe fá n-a ndeifri-
dheacht.

Cuir i gcás anois go raibh orainn an treas chuimse de
shlonn mar x+y+z d'fhagháil.

…

Is fiú dearcadh go grinn ar an ndeismireacht so, agus
a thuigsin i gceart; agus an da chuma so síos freisin: -

…

Cleachtaí a XIV.

Faigh toradh na slonn so síos: -
…

Caibidil a VII.

An Rannadh.

Is ionann an rannadh agus díorna nó uimhir ar bith
a rannadh (nó a roinnt) ar dhíorna nó uimhir eile.

'San iomadughadh méaduighthear dhá dhíorna fá n-a chéile
chum an chóimhiomaid (nó toraidh) d'fhagháil, acht is é a mhalairt
de sgéal é 'sa rannadh, óir roinntear an díorna is mó
brígh ar an díorna is lugha, chum an chómhrainn d'fhagháil
amach.

…

62. I. Chum slonn simplidhe a roinnt ar
shlonn simplidhe eile.

II. Chum slonn cómhshuidhte a roinnt ar
shlonn simplidhe.

III. Chum slonn cómhshuidhte a roinnt ar
shlonn cómhshuidhte eile.

63.
…

Dá bhrígh sin, chítear go mbaineann riaghlacha na gcomhartha
leis an rannadh, dálta mar bhaineann leis an iomadughadh.
…

Dá bhrigh sin is é

Riaghail na bhfollus, 'sa rannadh: Dealuigh ó n-a
chéile foillse na litreach atá cosamhail.

65. Tá díorna ar bith a bhfuil neimhní mar fhollus léi
cóimhionann le haondacht.

I. Chum slonn simplidhe a roinnt ar shlonn simplidhe
eile: -

Riaghail: Roinn cóimhéifeacht uimhreach an ionrannaidhe
ar chóimhéifeacht uimhreach an rannadthóra, agus lean do
riaghlachaibh na gcomhartha agus na bhfollus.

…

Má tá an codán céadna ar fagháil 'sa rannadthóir agus
'san ionrannaidhe, tig a sgriosadh amach.
…

Chítear freisin, go ndealuighthear foillse na litreach 'sa
rannadthóir uatha so atá le litreachaibh an ionrannaidhe.

66. II. Chum slonn cómhshuidhte a roinnt ar shlonn simplidhe.

Riaghail: Roinn gach mír den ionrannaidhe ar an rannad-
thóir.
…

…

67. III. Chum slonn cómhshuidhte a roinnt ar shlonn
cómhshuidhte eile.

Riaghail:- (1) Córuigh chomh gar agus is féidir é an
rannadthóir agus an t-ionrannaidhe do réir cuimse ag
ísliughadh nó cuimse ag éirghe de litir éigin a bhaineas
leó;

(2) Roinn an chéad mhír den ionrannaidhe ar an gcéad
mhír de'n rannadthóir, chum an chéad mhír den chómhrann
d'fhagháil amach;

(3) Iomaduigh gach mír den rannadthóir fá an gcómhrann
so do fríoth, agus

(4) Dealuigh an toradh ón ionrannaidhe;

(5) Cuir leis an iarmhar (nó fuighleach) a bhéas fágtha,
na míreana eile den ionrannaidhe nar baineadh leo, agus
annsin beidh ionrannaidhe nua ar fagháil. Leantar den
obair leis an ionrannaidhe nua so, go díreach ar an nós
céadna.

…

(3) Do roinneadh an chéad mhír 88x³, den ionrannaidhe,
ar an gcéad mhír 8x den rannadthóir; fríoth de sin, 11x²,
an chéad mhír 'sa gcómhrann.

(4) Do hiomaduigheadh gach mír den rannadthóir fá
11x² agus

(5) Do dealuigheadh a dtoradh, 88x³-77x²y ón ion-
rannaidhe.

(6) Do cuireadh leis an bhfuighleach -48x²y a bhí fágtha,
an mhír eile den ionrannaidhe, chum an ionrannaidhe
nua -48x²y+82xy² d'fhagháil.

Do roinneadh annsin arís mar aon le (2) thuas agus
fríoth -6xy, an dara mír de'n chómhrann. Do hiom-
aduigheadh an rannadthóir fá an -6xy seo, agus do fríoth
an toradh, -48x²y+42xy²; agus ar n-a dhealughadh so
dhúinn ón ionrannaidhe nua, do fágadh 40xy² mar fhuighleach.

Do cuireadh leis seo an mhír dheiridh de'n chéad ionrann-
aidhe, -35y³, chum an treas ionrannaidhe a dheánamh suas, .i.
40xy²-35y³.

Do roinneadh 40xy² ar a 8x, agus fríoth 5y² mar thoradh.

Do hiomaduigheadh an rannadthóir arís, fá an torad
so, agus fríoth 40xy²-35y³.

Ar n-a dhealughadh so dhúinn ón ionrannaidhe deiridh,
ní raibh dadamh fágtha, agus da bhrígh sin, bhí críoch ar an
obair.

Acht dá mbeadh fuighleach féin fágtha, níor bh'fhéidir dul
níos fuide, ó's rud é gur tugadh anuas an mhír dheiridh
den chéad ionrannaidhe.
…

Ar dtosnughadh na hoibre seo dhó, bíodh an mac leighinn
aireach go mbeidh an chéad mhír den rannadthóir agus an
chéad mhír den chómhrann, iomaduighthe fá n-a chéile = leis
an gcéad mhír 'san ionrannaidhe.
…

Ar réidhteach an ionrannaidhe 'sa ndeismireacht so
dhúinn, do fágadh beárna bheag idir a² agus -b², de bhrígh
go raibh dhá mhír, -ab agus +ac le dealughadh, nach raibh
'san ionrannaidhe.

Tugtar fá deara nach n-athruighthear comhartha na míreann
a tugtar anuas ón gcéad ionrannaidhe, chum críoch a chur
ar an dara hionrannaidhe.

Cuir i gcás, do hathruigheadh na comharthaí atá le
'sa dara hionrannaidhe, mar gheall air gur dealuigheadh
iad ón gcéad ionrannaidhe; acht níor hathruigheadh an
comhartha atá le b² 'sa dara hionrannaidhe, nó an ceann
atá le 'sa treas ionrannaidhe, mar go mbainid leis
an gcéad ionrannaidhe, agus nach bhfuil ann acht gur tugadh
anuas iad chum críoch a chur ar na hionrannaidhthibh eile.

68. Is gnáthach míreanna an ionrannaidhe a chur fá
lúibíníbh, má's féidir é, óir giorruighthear an obair leó.

…

B'fhéidir nár ro-shoiléir don mhac léighinn an tslighe
a ndealuighthear cx² ó (a+b+c)x²; acht, má coingbhighthear
i meabhair gurab ionann an slonn so agus ax²+bx²+cx²,
beidh sé soiléir go leór; ar ndealughadh cx² as ax²+bx²+cx²,
beidh ax²+bx² fágtha, .i. (a+b)x².

Tuilleadh fós, tá orainn (a+b)cx do dhealughadh ó
(ab+ac_bc)x.

Acht tá (a+b)cx=(ac+bc)x; agus tá an chuid eile den
obair soiléir go leór.

69. Taisbeánadh cheana (#61) go raibh gaol beag idir
an t-iomadughadh agus an rannadh; ar an tslighe chéadna
tá gaol áirithe idir an t-ionrannaide, an rannadthóir agus
an cómhrann.

Bíodh is go bhfuil R i n-ionad rannadthóra;
Bíodh is go bhfuil C i n-ionad cómhrainn;
Bíodh is go bhfuil I i n-ionad ionrannaidhe; agus
bíodh is go bhfuil F i n-ionad fhuighligh (nó iarmhair).
…

Cuir i gcás go raibh deismireacht ós ar gcomhair a mbeadh
an córughadh so air:
…

agus go raibh orainn an chuid eile d'fhagháil amach. Is é
an t-ionrannaidhe atá ar iarraidh. Acht is ionann an cómhrann
agus é iomaduighthe fán rannadthóir is an fuighleach 'sa
mbreis agus an t-ionrannaidhe (2) thuas: dá bhrígh sin,
tá (x²-2ax+4a²)(x+2a)+(-8a³)=x³=an t-ionrannaidhe
do bhí ar iarraidh.

70. Má ghlacann mac léighinn an algébair cómhairle
a leasa, déanfaidh sé dian-chleachtadh ar a ndeachaidh roimhe
seo, go háirithe 'san iomadughadh agus 'sa rannadh.

Dá chlisteacht dá mbéidh sé ag iomadughadh agus ag
rannadh, is eadh is réidhe dhó an obair thádhbhachtach atá amach
rómhainn.

Ar an adhbhar soin do b'fhiú dhó a thabhairt fá deara
gur féidir, gach deismireacht dá raibh againn ins an iom-
adughadh, a tharraing isteach mar chleachtadh ins an rannadh.

Cuir i gcás: Má roinntear toradh dhá dhíorna ar bith
ar cheachtar de na díornaíbh sin, gheibhthear tuilleadh cleachtaí
'sa rannadh.

Ó tharla go bhfuil (x²+3x)(x-1)=x³+2x²-3x, má
déantar rannadthóir de x²+3x, agus arís de x-1, gheibh-
thear dhá chleachta 'sa rannadh. Agus freisin, tig rann-

adthóir a dhéanamh de na cómhrannaibh a bheadh de bharr na
hoibre sin, chum tuilleadh cleachtaí d'fhagháil.

Agus ó thárla go bhfuil an rannadthóir x cómhrann = ion-
rannaidhe, gheobhfar cleachtaí 'san iomadughadh as an rannadh.

Cleachtaí A XVI
…

…

…

(21) Faigh toradh na slonn (1+mn-nx²)(1-mn+nx²).

(22) Faigh toradh na slonn (-14-x)(-7+x).
…
(24) 5 an rannadthóir agus 3y and cómhrann; faigh amach
an t-ionrannaidhe.
…
(29) Bíodh is bhfuil ag duine £x, y sgillingí agus z pingne.
Cé mhéad (a) sgilling,(b) réal, is (c) pinginn aige?

(30)Má tá (x²+6xy+5y²) de throighthibh cearnacha i
ndromchlá dronuilleóige, agus (x+y) troighthe i
n-a leithead, cia an fad atá 'sa dronuilleoig?

(31) Cia mhéad a chosnóchas sé, seomra atá 17½ troighthe
ar fad, agus 16 troighthe ar leithead, a fholughadh
le straille atá 7 dtroighthe ar leithead, agus a
chosain 5x sgillingí an tslat chearnach?

(32)Má 's £(x+2) luach (3x²-x-14) de rudaíbh, cia mhéad
rud a gheabhfar ar £1?

(33) Má siubhail fear 4 mhíle i n-imtheacht uaire, cá fhaid
a chuaidh sé i n-imtheacht x uaire?
…

(35) x² an toradh (nó cóimhiomad) is xy an t-iomadthóir,
faigh amach an t-inmhéadughadh.

(36) Tá duine x bliadhna d'aois anois; cia an aois a bheas
sé fá cheann x-a de bhliadhantaibh?

(37) 15 an deifridheacht atá idir dhá uimhir, agus x an
uimhir is mó dhíobh, cad í an uimhir eile?

(38) Faigh dromchlá an ghuirt atá (3x+4) slata ar fhad,
agus (2x+5) slata ar leithead.

(39) Iomaduigh x²-2x+3 fá (x-1)². Cuir 3 i n-ionad x,
agus cruthuigh go bhfuil an toradh a gheibhthear ceart.
…

(41) Cia mhéad sa deifridheacht atá idir 21x agus -11x?
…

…

(53) Faigh iomlán , deifridheacht agus toradh na slonn
3x²-4xy+4y² agus 4x²+2xy-3y².
…

(56) Sgríobh síos glan díreach an treas chuimse de x+8y.
…

Caibidil A VIII

Na Cóimhriartha Simplidhe.

72. Dhá shlonn ar bith a bhfuil an comhartha so = eatorra,
táid i n-a gcóimhriar.

Is é is taobh den chóimhriar ann, gach aon den dá shlonn
a bhfuil an comhartha = eatorra.

Is cóimhriar coingheallach ann, cóimhriar nach bhfuil
comhthrom gan brígh áirithe bheith le n-a chuid litreacha.

Cuir i gcás: Ní'l an cóimhriar a+3=9-a fíor (nó
comhthrom) munab ionann a agus 3.

Is é is CÓIMHRIAR IONANNTAIS ann, cóimhriar atá
fíor nó comhthrom ann féin, is cuma cia an bhrígh atá le
n-a chuid litreacha.

Cuir i gcás, is fíor go bhfuil:

(a+b)²=a²+2ab+b² comhthrom cia ar bith brígh a cuirtear
leis na litreachaibh a nó b. Ar an adhbhar soin, is cóimhriar
ionanntais an slonn (a+b)²=a²+2ab+b².

Ar an gcuma chéadna, is ionanntas ceachtar de na
slonntaibh seo: (x+a)(x²-xa+a²)=x³+a³
(x+y)(x-y)=x²-y²,&rl.

Chítear anois go bhfuil dhá shaghas cóimhriartha againn (1)
cóimhriar ionanntais, .i. cóimhriar atá fíor nó comhthrom
do shíor, cia ar bith brígh atá le n-a chuid litreacha; agus
(2) cóimhriar coingheallach; .i. cóimhriar a gcuirtear brígh
Áirithe le n-a chuid litreacha ionnus go mbeadh sé comhthrom.

DÍORNA ÉIGCINNTE a goirthear den litir a bhfuil a
brígh uainn 'sa gcóimhriar; agus

FUASGLADH is eadh a tugthar ar an obair atá riachtanach
chum na bhríghe sin d'fhagháil amach.

Is minic tugtar fréamh an chóimhriartha ar an mbrígh do
gheibhthear don litir nó do na litreachaibh seo; agus ar
gcur na fréimhe seo i n-ionad na litire, beidh an cóimhriar
CÓIMHLÍONTA agus chífear go mbeidh an dá thaobh de comh-
throm, .i. cóimhionann i mbrígh.

Cuir i gcás:

Tá 3x=6, nuair atá x=2.

Do réir na soiléirsí nó na mbunráidhte annso síos
is eadh a fuasgaltar na cóimhriartha: -

(1) Má breisighthear neithe cóimhionanna i dteannta neithe
atá cóimhionann, beidh na hiomláin cóimhionann.

(2) Má dealuighthear neithe cóimhionanna ó neithibh atá
cóimhionann, beidh na hiarmhair cóimhionann.

(3) Má iomaduighthear neithe cóimhionanna fá neithibh atá
cóimhionann, beidh na tortha cóimhionann.

(4) Má roinntear neithe cóimhionanna ar neithibh atá
cóimhionann, beidh na cómhranna cóimhionann.

Tá fírinne agus ciall na mbunrádh so chomh soiléir
sothuigsionach agus go nglacthar leó gan aon chruthughadh;
agus is ó (1) agus (2) thuas a leanas an tairgsint thádh-
bhachtach so:-

Ní móide agus ní lughaide brígh an chóimhriartha mír ar
bith d'aistriughadh ó thaobh go dtí an taobh eile den chóimhriar,
acht comhartha na míre d'athrughadh.

Deismireachta:

(1) Faigh an bhrígh atá leis an litir a 'sa gcóimhriar
10a-14=4a+16.

Anois ó's rud é gur féidir mír ar bith d'aistriughadh
ó thaobh cóimhriartha go dtí an taobh eile acht an comhartha
d'athrughadh, cuirimíd an córughadh so ar an gcóimhriar
thuas:-

10a=4a+16+14

má dealuighthear anois 4a as gach taobh, gheibhthear:

6a=16+14
.i. 6a=30;

má roinntear an dá thaobh anois ar a 6, beidh

a=5 ar fagháil againn
.i. is 5 brígh na litire a 'sa gcóimhriar.

Anois, má cuirtear 5, an bhrígh do Fríoth, i n-ionad na
litire a 'sa gcóimhriar thuas, is féidir cruthughadh gurab
ionann a agus 5; agus dá réir sin go bhfuil 10a-14=4a
+16 comhthrom.

(2) Cad is brígh do x 'sa gcóimhriar
2x+3=x+5?

Aistrigh +3, agus athruigh an comhartha, agus gheibhthear:
2x=x+5-3.

Roinn an dá thaobh ar x, agus gheibhthear:

x=5-3
tá x=2.

(3) Fuasgail 5(4x-4)=4(x+3). Iomaduigh an dá thaobh
fá n-a gcóimhéifeachtaibh uimhreacha féin, agus gheibhthear:
20x-20=4x+12; aistrigh - 20, agus athruigh an comhartha,
agus gheibhthear: 20x=4x+12=20.

Dealuigh 4x ón dá thaobh, agus beidh
16x=12+20 ar fagháil
.i. 16x=32

Roinn an dá thaobh ar 16 agus beidh
x=2.

(4) Fuasgail: 4(3x-2)-2(4x-3)-3(4-x)=0.

Ar n-a nglanadh so as lúibíníbh, gheibhthear:
12x-8-8x+6-12+3x=0
.i. 7x-14=0.
aistrigh -14, agus beidh 7x=14 ar fagháil.

Roinn an dá thaobh ar 7 agus beidh x=2.
…

Roinn an dá thaobh ar 8, agus chífear go bhfuil x=3.

Ar bhfagháil na bríghe atá le x, nó le díorna éigcinnte
ar bith eile, badh cheart don mhac léighinn an bhrígh do chur
i n-ionad na litire ar gach taobh den chóimhriar chum a thais-
beánta go bhfuil sé comhthrom.

Cuir i gcás, má cuirtear 3 i n-ionad x ins an deis-
mireacht (6) thuas, chífear go bhfuil

(3-5)(3+9)=(3+3)(3-7)
táid seo= 9+12-45=9-12-21
táid seo= 12-45=-12-21
táid seo=-33=-33

Agus dá bhrígh sin, tá an cóimhriar comhthrom, agus fríoth
an bhrígh cheart don litir x.

CLEACHTAÍ A XVIII.
…

…

SGRÚID-CHEISTEANNA SIMPLIDHE.

73. Ní fuláir don mhac léighinn machtnamh a dhéanamh
ar cheisteannaibh a bhaineas le cóimhriarthaibh, óir is air
féin a bhéas an córughadh comhthrom a dhéanamh chum a bhfuas-
galta. Dá bhrígh sin, ní mór dhó bheith ag cleachtadh canamhna
an algébair.

Bhéarfar fá deara ón méid atá ráidhte thuas (# 72) chum
sgrúid-cheisteanna d'fhuasgailt, go gcaithfear cruth áirithe,
.i. x, y, nó z, do chur i n-ionad na díorna éigcinnte, agus
an cruth so do cheangladh leis na díornaíbh atá cinnte,
i riocht cóimhriartha.

Má bhíonn aisnéis nó canamhain na ceiste soiléir so-
thuigthe, beidh an bóthar réidh go leór; acht is minic nach
mbíonn soin amhlaidh, agus nach fuláir an cheist d'infhiúchadh
go geár, chum a córuighthe i riocht cóimhriartha.

B'fhéidir go mb'fhearr na deismireachta so mar thionn-
sgnamh oibre 'ná aon ní eile dá mb'fhéidir do rádh.

(1) Má dealuighthear a as b, cia mhéad a bheas fágtha?
Má dealuighthear 3 as 8 beidh 8-3, .i. an 5 fágtha; má
dealuighthear a as b beidh b-a fágtha.

(2) Cia an bhrígh atá ag x thar a 15? Cuir i gcás cia
an bhrígh atá ag 20 thar a 15? Is soiléir gur 20-15, .i.
a 5 an bhrígh; agus mar sin de, is x-5 an brígh atá ag
x thar a 15.

(3) Cia an iomarca atá ag x thar a 18? Cia an iomarca
atá ag 20 thar a 18? Is soiléir gur 20-18, .i. a 2 an
iomarca sin; dá bhrígh sin is x-18 an iomarca atá ag
x thar a 18.

(4) Cia an laighead i mbrígh atá ag b ar ghualainn a 15?
Anois, is lugha de 15-9 (.i. a 6) an 9 'ná an 15; agus
is lugha de 15-b an b 'ná an 15.

(5) Cia mhéad de laighead atá ag a ar 20. 20-15 (i.
a 5) an laighead atá ag 15 ar 20; 20-a an laighead
atá ag a ar 20.

(6) Cia mhéad 'sa mbreis atá le cur le y chum 12 d'fhagháil?

Caithfear 12-5 do chur 'sa mbreis le 5, chum go mbeidh
12 ar fagháil;

Caithfear 12-y a bhreisiughadh le y, chum go mbeidh
12 againn; is é sin le radh:

tá 12-y
+y
=12

(7) 15 an deifrideacht atá idir dhá uimhir, is y an uimhir
is lugha; céard í an uimhir eile?

Tá an uimhir is mó lughaide an uimhir is lugha=15;
agus tá an uimhir is mó lughaide y=15.

Tá an uimhir is mó=y+15.

(8) Cia an uimhir atá le hiomadughadh fá x, chum go
mbeidh 24 de thoradh dhá mbarr?
…

(9) Má's x an uimhir láir de thrí uimhreachaibh leanta,
cuir síos na trí uimhreacha.

Ó thárla gurab í x an uimhir láir, ní fuláir gur
x-1 an uimhir is lugha ná x, agus
x+1 an uimhir is mó iad ná x
is iad x-1, x, agus x+1, trí uimhreacha.

(10) Tá trí uimhreacha leanta ann atá comhthrom; is
2b an uimhir láir, cad iad na huimhreacha eile? Ó's rud
é go bhfuil a 2 de dheifridheacht idir uimhreacha comhthroma,
agus gur 2b an uimhir láir, ní fuláir gur
2b-2 an uimhir is lugha ná 2b, agus gur
2b+2 an uimhir is mó ná 2b; agus
is iad 2b-2, agus 2b+2 na huimhreacha.

(11) Má tá duine x bliadna d'aois anois, cia an aois
a bheas sé i gceann 7 mbliadhan?

Má tá duine 20 bliadhain anois, beidh sé 20+7 fá cheann
7 mbliadhan;

má tá Duine bliadhna anois, beidh sé x+7 bliadhna,
i gceann 7 mbliadhan.

(12) Tá x corónacha, agus y réalacha ag duine; cé mhéad
pinginn 'sa méid sin airgid?

Ó's rud é go bhfuil 60 pinginn i gcoróin, agus 6 pingne
i réal, tá

60x+6y pingne aige.

(13) Cia an uimhir a bhfuil a innte mar mhéaróig chéad-
amhail, mar mhéaróig dheicheamhail, agus c mar mhéaróig
aondamhail?

'San uimhir cuir i gcás,
tá 2 i n-a méaróig chéadamhail,
tá 4 i n-a méaróig dheicheamhail, agus
tá 3 i n-a méaróig aondamhail,
is 100a+10b+c an uimhir.

(14) Ce mhéad gaimbidhe a bheas de bhárr £p a chur amach
ar ghaimbín ar feadh 5 bliadhna, ar c sa gcéad?
…

Sgrúid-cheisteanna a I.

(1) Má's 5 an rannadthóir, agus b an cómhrann, cad é
an t-ionrannaidhe?

(2) Cia mhéad 'sa mbreis atá ag 3x ar x².

(3) Má roinntear 100 i n-a dhá chuid, agus bíodh x ar
ceann aca, faigh amach an chuid eile.

(4) Tá uimhir ann is lugha den díorna c ná 20; cia an
uimhir í?

(5) 11 is eadh an deifridheacht atá idir dhá uimhir; x an
uimhir is lugha; cad í an uimhir eile?

(6) Cia mhéad punt a chosnóchas 40 leabhar Gaedhilge
ar x sgillingíbh an ceann?

(7) Beidh Art 36 bliadhna d'aois fá cheann x bliadhna:
cia an aois anois é?

(8) Má chaitheann fear lá le gort coirce a ghearradh,
cá fhaid a chaithfeadh seisear aca le n-a ghearradh?

(9) Má tá 5x cóimhionann le 20, cad is brígh do x?

(10) Siubhlann fear do réir y mílte 'san uair; cá
fhaid a rachas sé i n-imtheacht x uaire?

(11) Téidheann traen do réir x mílte 'san uair; cá
fhaid a bheas sí ag dul ó Bhaile Átha Cliath go Gaillimh,
120 míle d'achar?

(12) Cia an iomarca atá ag 2x-5 ar x+1?

(13) Tá an oiread so fiach ar x daoine; íocann gach
duine dhíobh an oiread céadna, .i. trí sgillingí agus tuistiún;
cia mhéad pinginn do bhí 'sa mbille ar fad?

(14) Tá x buachaillí i rang ar sgoil; táid y buachaillí
ag foghluim Gaedhilge, z buachaillí ag foghluim Algébair,
acht táid an chuid eile dhíobh díomhaoineach. Cia mhéad 'sa
mbreis atá ag obair, thar an méid atá díomhaoineach?

(15) Cuir síos ceithre uimhreacha leanta, go bhfuil
x ar an uimhir is lugha díobh.

(16) Faigh iomlán trí uimhreacha leanta, atá corr,
agus go bhfuil 2n+1 ar an uimhir láir díobh.

(17) Tá Conn x bliadhna d'aois anois; fá ceann chúig
bhliadhna eile, beidh sé leath chomh sean le n-a athair; cia
an aois athair Chuinn anois?

Cad is brígh do x nuair:-

(18) Atá an ceathramhadh cuid de x cóimhionann le 6?

(19) Atá an iomarca atá ag x ar a 6 cóimhionann le 5?

(20) Is 11 an iomarca atá ag x fá thrí ar a 4?

(21) Atá toradh x agus 2 cóimhionann le hiomlán x
agus 2 fá thrí?

(22) Atá an dara cuimse de x cóimhionann le toradh
x agus x+1?

(23) Is 24 iomlán trí uimhreacha leanta, a bhfuil x
ar an uimhir is mó aca?

(24) Má roinntear 100 i n-a dhá chuid, agus gur x
ceann aca, cad í an chuid eile?

(25) 100 an deifridheacht atá idir dhá uimhir, x an ceann
is mó aca, cad í an uimhir eile?

(26) Má's lán-uimhir a, cad iad an dá uimhir is neasa
do a, acht atá níos lugha agus níos mó ná í.

(27) Do bhí Conn x bliadhna d'aois 5 bliadhna ó shoin.
(a) Cia an aois anois é?; (b) cia an aois a bheas sé fá
cheann y bliadhna.

(28) Cá fhaid a bheas Art ag siubhal x mílte, do réir
m mílte 'san uair?

(29) Tá Art agus Conn ag imirt chárdaí; ar thosnughadh
dhóibh do bhí £x ag Art, agus £y ag Conn. Gnódhuigheann
Art £5 ó Chonn; cia mhéad atá annsin ag gach duine aca?

(30) Tá m leath-chorónacha, agus u sgillingí ag fear;
cia mhéad réal aige?

…

(32) Cia an gaimbidhe a bheas de bharr £200 a chur amach
ar ghaimbín go ceann u bliadhna ar 3 'sa gcéad?

(33) Faigh amach cia mhéad an gaimbidhe a thiocfas as
£1000 a chur amach ar ghaimbín go ceann 5 bliadhna ar
r 'sa gcéad.

(34) Má cuirtear £1000 amach ar ghaimbín go ceann
b bliadhanta, ar c sa gcéad, cia an gaimbidhe a thiocfas
as?

(35) Cuirtear £x amach ar gaimbín ar 5 'sa gcéad go
ceann b bliadhanta; faigh amach cia mhéad an gaimbidhe.

(36) Tá seomra cearnach ann a bhfuil x troighthe i
ngach taobh de. Cia mhéad slat chearnach de straille
atá ag teastbháil le n-a fholughadh?

(37) Tá ballaí seomra p troighthe ar fhad, agus x slata
ar leithead; cia mhéad slat de straille, dhá throigh ar
leithead, atá ag teastbháil le n-a fholughadh?

(38) x troighthe gach brathadh is eadh luas traenach; cia
mhéad mile a rachas sí i n-imtheacht y uaire?

(39) Cia an gaimbidhe a bheas de bharr a chur amach
ar ghaimbín ar 5 'sa gcéad, go ceann x bliadhanta?

(40) Má cuirtear £500 amach ar ghaimbín go ceann
5 bliadhna, ar y 'sa gcéad, cia an gaimbidhe a bheas dá bharr?

Badh cheart don oide tuilleadh deismireacht den
tsaghas so a thabhairt don aos léighinn, go mion is go minic.

Sgrúid-cheisteanna a II.

74. Seo anois tuilleadh deismireacht, ag dul níos
doimhne 'san obair. Badh chóir a thabhairt fá deara go
bhfuil brígh uimhreach leis an díorna éigcinnte i gcomhnuidhe,
.i. le x, y nó z; agus ná déantar dearmad air seo, 'sé
brígh é sin' am, miosúr, airgead, &rl., do mhionughadh nó
a tharraing amach agus a gcur fá aon ainm amháin. Is
é sin le rádh: má tá uaire agus nóiméid i gceist, déan
nóiméid de na huairibh; má tá troighthe agus slata,
mionuigh na slata go troighthibh; ar an nós céadna má
tá punta, sgillingí, pingní agus mar sin, i gceist, mionuigh
anuas go pingníbh iad go léir. Annsin' má leantar do
choingheallachaibh na ceiste go cúramach, ní deacair í chur
i riocht cóimhriartha agus a fhuasgailt.

Deismireachta:-

(1) Tá Máire x bliadhna d'aois; tá Brighid 10 mbliadhna
níos sine. 54 bliadhna is eadh iomlán aos na beirte.
Cia an aois Máire agus Brighid?

Do réir na ceiste, x bliadhna aois Mháire, agus x+10
bliadhna aois Bhrighde; agus táid seo cóimhionann le 54.

Tá x+(x+10)=54
2x=54-10
=44

x=22, .i. aois Máire; acht tá Brighid
10 mbliadhna níos sine ná Máire, agus dá bhrígh sin, 22+10
.i. 32 aois Bhrighde.

(2) Tá seomra x troighthe ar fhad, agus 12 troighthe
ar leithead. Tá 30 slat chearnach de dhromchlá (nó
d'urlár) 'sa seomra. Faigh amach fad an tseomra.

…

(3) Roinntear 30 acra talmhan ar thriúr sgológ, A, B, C,
i riocht is go mbeidh dhá acra ag B, agus trí acra ag C, ar
gach acra dá mbeidh ag A; cia mhéad acra a bheas ag gach
duine?

Cuir i gcás gurab ionann x agus an méid atá ag A
Is ionann 2x agus an méid atá ag B
Is ionann 3x agus an méid atá ag C
Is ionann 6x agus 30 acra
Is ionann x agus 5 acra .i. Cuid A;
Agus dá bhrí sin tá 10 n-acra ag B,
is ta 15 acra ag C.

(4) Is ionann an uimhir 36 agus iomlán x 'sa mbreis
leis an dá uimhir is goire dhi; cad is brígh do x ? 'Siad
x+1 agus x+2 an dá uimhir is goire do x; agus tá
x+(x+1)+(x+2)=36, do réir na ceiste.

Tá 3x+3=36
Tá 3x=36-3
=33
x=11

(5) Tá 100 acra talmhan ag fear ar £150 sa mbliadhain;
acht tá 27s. an t-acra de chíos ar chuid den talamh, agus
37s. an t-acra ar an gcuid eile dhe; cia mhéad acra den
dá chinéal talmhan aige?

Cuir i gcás gurab x an oiread acraí atá aige ar 37s.;
annsin is 100-x an oiread acraí atá aige ar 27s.

Anois chum an chíosa atá ar x acraí d'fhaghail i sgillingíbh,
iomaduighthear x fá 37, .i. 37x; agus chum an chíosa atá
ar 100-x fá 27 .i. 2700-27x; annsin, is ionann iomlán an
dá chíos so agus £150, .i. 3000 sgilling. AGus anois
chítear go bhfuil

37x+2700-27x=3000
.i. 37x-27x=3000-2700.
.i. 10x=300
Tá x =30. .i. an oiread acraí
atá faoi 37s. an t-acra; agus
100-30 nó 70 acra atá faoi 27s. an t-acra.

(6) Do cheannuigh sgológ an oiread so géanna agus
lachain ar £28 4s. Thug sé 7s. ar gach gé agus 3s. ar
gach lachain. Idir ghéanna agus lachain do bhí 108 éin a
bhaile leis. Faigh amach cia mhéad gé agus cia mhéad lacha
a cheannuigh sé.

Cuir i gcás gurab ionann x agus an méid géanna;
ní fuláir gurab ionann x 108-x an méid lachan.

Anois, do chosain gach aon ghé 7 sgillingí,
chosain x géanna 7x sgillingí
Agus ó chosain gach aon lacha 5 sgillingí,
do chosain 108-x lachain 3(108-x) sgillingí,
Do chosain na géanna agus na lachain 7x+3(108-x)
sgillingí. Acht do réir na ceiste chosain na héin go léir
£28 4s., .i. 564 sgillingí.

Tá 7x+3(108-x)=564
.i. tá 7x+324-3x=564
.i. tá 7x-3x=564-324
.i. 4x=240
.i. x=60, an méid géanna a cheannuigh sé,
Agus
Tá 108-x=108-60=48 an méid lachan a cheannuigh sé.

(7) Tig le sgolóig móinfhéar a ghearradh i n-imtheacht
8 lá; acht do chaithfeadh buachaill aimsire 10 lá leis an
obair chéadna; cá fhaid a bheadh an bheirt aca ag gearradh
an mhóinfhéir, is iad a bheith ag obair i gcuideachtain?
…

(8) Tá an oiread so tae ag Muintir Mhadadháin ar
dhá sgilling an punt; tá tuilleadh aca níos fearr ná
sin ar thrí is réal an punt. Cia mhéad den dá chineál
a caithfear a mheasgadh le chéile, chum go dtiocfaidh le
Muintir Mhadadháin 100 punt den tae a dhíol ar leath-
choróin an punt?

Cuir i gcás gurab x an oiread punt den tae ar 2s.
caithfidh sé gur 100-x an oiread punt den tae ar 3s
is réal.

…

Sgrúid-cheisteanna A II.

Deismireachta.

(1) Fuair cailín £20 de bhronntanas; do bhí aici annsin
a chúig oiread agus do bhí aici sul a bhfuair sí na fiche punt:
Cia mhéad a bhí aici ar dtús?

(2) Tá a thrí oiread airgid ag Art agus tá ag Conn;
tá ag an mbeirt eatorra: Cia mhéad an duine atá
ag Art agus ag Conn?

(3) Tá £36 de chíos ar thigh agus ar gharrdha i mBaile
Átha Cliath; tá cíos an tighe a chúig oiread le cíos an
gharrdha: Cia mhéad atá ar an dtigh, agus ar an ngarrdha?

(4) Fuair sgológ caora, gabhar agus uan ar do
chosain an gabhar a thrí oiread leis an uan; do chosain
an chaora a dhá oiread leis an ngabhar. Faigh amach luach
gach ainmhidhe.

(5) Saothruigheann Art, Conn agus Máire naoi sgillingí
'sa ló eatorra. Saothruigheann Conn a dhá oiread le
Máire; acht saothruigheann Art a dhá oiread le Conn:
Cia an tuarastal atá ag gach duine díobh 'sa ló?

(6) Roinn £84 idir Art, Brighid is Conn i riocht is go
mbeidh £6 ag Art do bharraidheacht ar Brighid, agus an
oiread ag Conn agus bheas ag Art is ag Brighid le chéile.

(7) Roinn £72 idir an triúr thuas i riocht is go mbeidh
£2 ag Art sa mbreis ar Bhrighid, agus aige níos lugha
ná tá ag Conn.

(8) Tá gasúr ceithre bliadhna d'aois indiu; tá a athair
ocht n-uaire chomh sean leis an mac: Cia mhéad bliadhain
go dtí nach mbeidh an t-athair acht trí huaire chomh sean
leis an mac?

(9) Tosuigheann beirt de na Fiannaibh ag siubhal maidin
lae ar a naoi de chlog, buachaill aca ó Bhaile Átha Cliath
go hÉadan Doire, ag dul do réir ceithre mhíle 'san uair,
an buachaill eile ó Éadan Doire go Baile Átha Cliath do
réir chúig mhíle 'san uair. Tá sé 36 mílte ó Bhaile Átha
Cliath go hÉadan Doire: (a) Cia an t-am a gcasfar ar a
chéile iad; (b) cia mhéad míle a bheas siad ó Bhaile Átha
Cliath?

(10) Téidheann bádóir síos an tSionainn ó Bhéal Átha
Luain go Cluain Mhic Nóis agus ar ais arís, i n-imtheacht
seacht n-uaire. Ag dul síos dó leis an sruth, téidheann
sé 4 mhíle 'san uair; acht ag a theacht ar ais dó, is do
réir 3 mhíle 'san uair a thagas sé: Cia mhéad míle Cluain
Mhic Nóis ó Bhéal Átha Luain?

(11) Buaileann Fiann suas go bárr sléibhe, is leigeann
uair an chluig de sgíth dhe; tagann anuas an sliabh agus
sroicheann an baile i n-imtheacht ocht n-uaire ar fad. Is
do réir dhá mhíle 'san uair a chuaidh sé suas an cnoc, acht
do tháinig anuas do réir chúig mhíle 'san uair: Cia mhéad
míle a shiubhail sé?

(12) 8 an deifridheacht atá idir dhá uimhir; má breisigh-
thear a 2 leis an uimhir is mó aca, beidh a thrí oiread innti
agus tá 'san uimhir is lugha: Cia na huimhreacha iad?

(13) Siubhlann fear deich míle de bhóthar; téidheann ar
thraen tamall eile dhá aistear, agus níos fuide fá dhó arís
ar charr ná mar do chuaidh sé ar an traen. Cuir i gcás
gur 70 mile an t-achar ar fad, cia mhéad míle a chuaidh
ar an traen?

(14) 58 iomlán dhá uimhir; an deifridheacht atá
eatorra; cad iad na huimhreacha?

(15) Roinn 105 i n-a dhá chuid, i riocht is má dealuighthear
20 ó cheann de na codaibh, agus 15 ón gcuid eile, go mbeidh
an dá uimhir cóimhionann.

(16) Faigh amach trí uimhreacha leanta, gur 84 a n-iomlán.

(17) 8 iomlán dhá uimhir áirithe; má breisighthear 22 le
ceann aca, beidh a chúig oiread innti is bheas 'san uimhir
eile; cad iad an dá uimhir?

(18) Faigh amach dhá uimhir a bhfuil a deich de dheifridheacht
eatorra, agus a n-iomlán cóimhionann le dúbailt na
deifridheachta sin.

(19) Chuaidh Art agus Conn ag imirt chárdaí. Do
thosuigheadar le £6 an duine. Cuir i gcás gur imreadar
go raibh fá dhó an oiread airgid ag Art agus do bhí ag
Conn: Cia mhéad a ghnódhuigh Art?

(20) 121 an deifridheacht atá idir an dara cuimse de
dhá uimhir leanta: Cia na huimhreacha iad?

(21) Má roinntear acra talmhan idir Art, Pádraig
agus Conn, i riocht is go mbeidh 30 acra ag Pádraig sa
mbreis ar Art, agus 20 acra ag Conn sa mbreis ar Phádraig:
Cia mhéad acra a bheas ag gach duine dhíobh?

(22) Chaith bean £9 8s. ar 23 slata síoda agus 50 slat
línéadaigh; má tá síoda sé huaire chomh daor agus atá
línéadach: Cia mhéad an tslat a chosain an síoda agus
an línéadach?

(23) Tá athair ceithre huaire chomh sean le n-a mhac; fá
cheann 4 bliadhna ar fhichid ní bheidh sé acht fá dhó chomh sean
le n-a mhac: Cia an aois an t-athair agus an mac faoi
láthair?

(24) Is fuide de thrí troighthe fad seomra 'ná a leithead;
acht dá mbeadh dhá throigh eile d'fhad agus dhá throigh de
leithead ins an seomra, do bheadh 60 troighthe cearnacha
de dhromchlá (nó d'urlár) ann thar mar atá: faigh amach
fad agus leithead an tseomra.

(25) Tá a chuid airgid leigthe amach ar ghaimbín ag fear;
tá dhá dtrian an airgid amuigh ar £4 'sa gcéad; an
ceathramhadh cuid de ar £3 sa gcéad; agus an chuid eile
ar £2 'sa gcéad: Cia mhéad is fiú é, má tá £430 de theacht
isteach sa mbliadhain aige de bharr a chuid airgid a bheith
ar gaimbín?

(26) Tá Conn tríochad bliadhain d'aois; tá mac aige
dhá bhliadhain d'aois; cá fhaid go mbeidh an t-athair ocht
n-uaire chomh sean le n-a mhac?

(27) 7 an deifridheacht atá idir dhá uimhir; 33 a n-iomlán:
cad iad na huimhreacha?

(28) Tá Art, Pádraig agus Conn i n-a gcomhlucht oibre
dhóibh féin; cuirid an triúr £155 le chéile san obair, acht
cuireann Pádraig isteach £15 sa mbreis ar Art; agus
cuireann Conn isteach £20 sa mbreis ar Pádraig: Cia
mhéad a chuir gach duine díobh san obair?

(29) Tá Art fá dhó chomh sean le Brighid anois; seacht
mbliadhna ó shoin do bhí aois na beirte le chéile cóimhionann
go díreach leis an aois atá ag Art anois: Cia an aois
Art agus Brighid faoi láthair?

(30) Má breisighthear 56 le uimhir áirithe, beidh an t-iomlán
trí oiread na huimhre: Cia an uimhir í?

(31) Tá ceann bric naoi n-orlaigh ar fad; tá a earball
chomh fada le n-a cheann agus leath a dhroma; agus tá a
dhruim chomh fada le n-a cheann agus le n-a earball le
chéile; Cia an fad atá i n-a dhruim agus i n-a earball?

(32) Roinn an uimhir 84 i n-a dá cuid, i riocht agus go
mbeidh cuid fá thrí di cóimhionann leis an gcuid eile
fá cheathair.

(33) Tá dhá bhairille ann cóimhionann i dtoirt; tar éis
34 galúin a tharraing as ceann aca, agus 80 galún as an
gceann eile, d'fhan go díreach a thrí oiread ins an gcéad
bhairille agus d'fhan 'sa dara ceann: Cia mhéad galún
do bhí ins gach bairille ar dtús?

(34) Roinntear £1 idir fiche duine bocht; gheibh cuid
aca réal an duine agus an chuid eile sgilling is tuistiún
an duine: Cia mhéad duine dhíobh nach bhfuair acht réal?

(35) Roinn an uimhir 20 'n-a dhá cuid, i riocht agus go
mbeidh iomlán coda díobh fá thrí, agus iomlán na coda
eile fá chúig, cóimhionann le 84.

(36) Cuir i gcás gur chuir Connradh na Gaedhilge leabhar
amach i n-a chodaibh míosamhla, a chosnóchadh ar
fad; acht dá mbeadh gach cuid de sgilling is pinginn níos
daoire, do chosnóchadh an leabhar críochnuighthe
Cia mhéad cuid mhíosamhail a bheadh 'sa leabhar?

(37) Roinn 45 i n-a dhá cuid i riocht agus go mbeidh an
chéad chuid, is í bheith roinnte ar 2, cóimhionann leis an dara
cuid, iomaduighthe fá 2.

(38) Tá Sean trí huaire chomh sean le n-a mhac; ceithre
bliadhna ó shoin do bhí an t-athair ceithre huaire chomh sean
le n-a mhac: Cia an aois an bheirt anois?

(39) Do casadh drong dhaoine bocht ar fhear lá; agus
ar dtabhairt tuistiúin an duine dhóibh, ní raibh fágtha aige
féin acht sgilling is tuistiún; dá mbeadh sgilling eile
i n-a sparán, do bheadh sé i n-innmhe réal an duine a thabhairt
do na daoinibh bochta; Cia mhéad duine aca a bhí ann?

(40) Do chuaidh Art agus Conn ag imirt chárdaí; do
bhí ag Art agus ag Conn nuair a thosnuigheadar.
Thar éis tamaill ag gnódhchan agus ag cailleadh dhó, chuaidh
an chluiche ar Chonn, agus do ghnódhuigh Art i riocht agus
go raibh a thrí oiread airgid aige agus bhí ag Conn: Cia
mhéad a ghnódhuigh Art agus a chaill Conn?

(41) Do chuir triúr iasgairí, Art, Pádraig agus Conn,
gceann a chéile chum báid d'fhaghail dob' fhearr ná

mar do bhí aca. Do chuir Pádraig síos a dhá oiread airgid
is do chuir Art agus £12 le n-a chois sin; do chuir Conn
síos a thrí oiread airgid is do chuir Padraig, agus £12
le n-a chois sin: Cia mhéad a chuir gach duine dhíobh ins an
gcomhobair?

(42) Ta slaitín ann atá orlach agus fiche ar fhad: gearr
an tslat i riocht is go mbeidh giota di trí ceathramhna an
ghiota eile, .i. an ceathramhadh cuid níos giorra 'ná an
giota eile.

(43) Tá fear siopa banc-bhriste, agus ní'l de mhaoin
fágtha aige acht. Tá fá dhó an oiread ag Pádraig
air agus tá ag Art; acht tá an oiread ag Conn air agus
tá ag Art is Pádraig le chéile air: Cia an chaoi a roinn-
fear na £300 idir an triúr?

(44) Do bhí an Gobán Saor ag déanamh caisleáin do
fhathach uair amháin, agus rinne an fathach margadh leis
cúig déag 'sa ló a thabhairt dhó ar feadh 60 lá, acht ar an
gcoingheall go gcaillfeadh an Gobán coróin airgid lá
ar bith a d'fhanfadh se ó n-a chuid oibre go mbeadh sé críoch-
nuighthe. I ndeireadh na dála bhí £12 ag dul don Ghobán:
Cia mhéad lá a chaith sé le déanamh an chaisleáin?

(45) Do bhí giota talmhan ag garrdhadóir, agus é ar chuma
dronuilleóige; bhí taobh de ceithre slata déag níos fuide
ná an taobh eile. Do bhí uaidh athrughadh a chur ar chuma
na talmhan, acht gan an dromchlá .i. méad an gharrdha, a
mhéadughadh ná a laghdughadh. Is é do rinne sé: Fiche slat
a chur leis an taobh ba lugha den dronuilleóig agus seacht
slata déag a bhaint as an taobh ba mhó dhe; do bhí annsin
an oiread céadna talmhan go díreach le leasughadh aige:
Cia mhéad slat a bhí i ngach aon de dhá thaobh na dronuilleóige
sul ar hathruigheadh é?

(46) Tá 50 acra agu sgolóig ar £75 'sa mbliadhain de
chíos; acht tá cuid den talamh aige ar £1 7s. an t-acra;
agus an chuid eile dhe ar £1 17s. an t-acra: Cia mhéad acra
den dá chineál aige?

(47) Déan ceithre ghiota de rópa atá 51 troighthe ar
fhad, i riocht agus go mbeidh leath an chéad ghiota, trian
an dara giota, an cúigeadh cuid den treas ghiota, agus
an seachtmhadh cuid den cheathramhadh giota, cóimhionann
le chéile.

(48) Tá Gaillimh 126 mílte ó Bhaile Átha Cliath; imthigheann
Art ar rothar Gallda as Baile Átha Cliath go Gaillimh ar
a sé a chlog ar maidin is téidheann ar aghaidh do réir naoi
míle 'san uair. Dhá uair is fiche nóiméad 'na dhiaidh sin,
leanann Pádraig é ar rothar Gaedhealach, is téidheann sé
ar aghaidh do réir aon mhíle déag 'san uair: Cia an t-am
a bheas sé nuair a thiocfas Pádraig suas le Art; agus
cia mhéad míle ó Ghaillimh iad?

(49) Tá dhá uimhir ann: 2 an deifridheacht atá eatorra.
Tá an uimhir is mó, agus ceithre huaire an uimhir is lugha,
breisighthe le chéile, cóimhionann le 27: Cad iad an dá
uimhir?

(50) Do chuaidh Art agus Pádraig le chéile ar a laethibh
saoire go Meriocá. Do bhí £100 ag Art agus £48 ag
Pádraig. Do bhuail beirt eile umpa, rinneadar cáirdeas
leó, acht tharla go mba beirt ghadaidhthe a bhí ionnta. Do
ghoideadar a dhá oiread ó Art agus do ghoideadar ó
Pádraig; acht 'na dhiaidh sin. Bhí a thrí oiread fágtha ag
Art agus bhí ag Padraic: Cia mhéad a goideadh ó gach
duine dhíobh?

…

Foclóir.

Mar is eól do chách, cuirtear brígh áirithe le foclaibh
i ngach ceird agus i ngach ealadhain thar mar atá leó de
ghnáth; mar chítear ón mion-fhocloir annso síos, do rinneadh
mar a gceádna san Algébar.